WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

r uuuur VMA Вращательная скорость направлена перпендикулярно к отрезку AM в сторону вращения тела и по модулю равна произведению угловой скорости тела на расстояние точки от полюса. Модуль и направление вращательной скорости определяются формулами uuuur ur uuuu r r r VMA = AM ; VMA AM..

;

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ r VMA Вращательную скорость можно представить в виде векторного r uuuur произведения вектора угловой скорости тела на радиус-вектор AM точки М, проведённой из полюса А:

r r ur uuuu r r VMA =, = AM.

где Скорость точки М при плоском движении тела изображается диагональю параллелограмма, построенного при точке М на скорости полюса А, перенесённого в точку М, и вращательной скорости точки М вокруг полюса А.

При плоском движении проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, алгебраически равны.

VA cos = VB cos ;

VAx =VBx.

3.3.1. Мгновенный центр скоростей Если движение плоской фигуры в данный момент времени не является r поступательным (угловая скорость ), то в этот момент времени существует единственная точка Р плоской фигуры, скорость которой в данной момент равна нулю. Скорости остальных точек находятся, как при вращении фигуры вокруг точки Р. Точка Р называется мгновенным центром скоростей (МЦС).

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ МЦС находится на перпендикуляре к вектору скорости полюса на VA расстоянии от полюса. Направление перпендикуляра находится поворотом r VA вектора на 90° в сторону вращения тела вокруг полюса.

Скорость любой точки М плоской фигуры по модулю равна произведению угловой скорости на расстояние этой точки от МЦС и направлена перпендикулярно к отрезку, соединяющему точку с МЦС, в сторону вращения тела:

ur uuuu r ur uuuu r r VM = PM ; V PM.

Модули скоростей точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям этих точек до МЦС.

Определение положения мгновенного центра скоростей 1. Плоское движение осуществляется путём качения без скольжения выпуклой плоской фигуры по неподвижной выпуклой прямой.

В этом случае МЦС находится в точке Р соприкосновения плоских кривых. В точке касания точки кривых должны иметь одинаковые скорости.

Так как одна из плоских кривых неподвижна, то точка соприкосновения есть МЦС.

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ 2. Известны направления скоростей точек А и В плоской фигуры.

В этом случае МЦС находится в точке Р пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек А и В к направлениям этих скоростей.

3. Векторы скоростей двух точек А и В фигуры параллельны между собой uuur и перпендикулярны отрезку АВ. Случай, когда вектор AB не uur uur перпендикулярен VA (или VB ), невозможен, так как тогда не будут равны uu uu r r проекции VA и VB на прямую, проходящую через точки А и В.

В этом случае МЦС находится в точке Р пересечения отрезка АВ или его продолжения с прямой, проходящей через концы векторов VA и VB :

4. Скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны между собой, равны по модулю и направлены в одну сторону.

В этом случае тело совершает поступательное движение, и МЦС находится в бесконечности.

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ 3.3.2. Ускорение точек плоской фигуры Ускорение любой точки плоской фигуры определяется геометрической суммой ускорения полюса и ускорения во вращательном движении точки вокруг этого полюса:

uu uur uuur r aB = aA + aBA, uur aA где – ускорение полюса;

r aBA – ускорение во вращательном движении точки В вокруг полюса А.

Ускорение во вращательном движении, в свою очередь, складывается из ц вр aBA аВА двух составляющих: центростремительного и вращательного :

ц аВА = аВА + вр.

аВА ц вр ц аВА вр аВА =-2 АВ аВА = АВ аВА Величины и определяются: ;

Таким образом, ускорение точки плоской фигуры определяется из выражения ц аВ = аА + аВА + вр.

аВА НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ 3.3.3. Мгновенный центр ускорений В любой момент времени непоступательного движения плоской фигуры существует единственная точка, ускорение которой в этот момент равно нулю.

Эта точка называется мгновенным центром ускорений Q (МЦУ).

Для определения МЦУ звена АВ необходимо знать ускорение одной из точек, например А, угловую скорость и угловое ускорение этого звена.

Расстояние от точки А до МЦУ, точки Q, равно aA AQ =.

2 + Угол, который составляет вектор ускорения точки А с прямой AQ, определяется из выражений tg = = arctg ;

2.

Угол откладывается от ускорения точки А в сторону углового ускорения, и проводится прямая, на которой откладывается расстояние AQ.

Для определения ускорения точки В следует соединить точки В и Q, и от этой прямой отложить угол в ту сторону, чтобы ускорения точек А и В были направлены относительно мгновенного центра ускорений в сторону направления углового ускорения.

Модуль ускорения точки В определяется по формулам aB = BQ + 4 ;

aA AQ + 4 AQ = =, aB BQ 2 + 4 BQ т.е. модули ускорений точек звена, совершающего плоское движение, пропорциональны расстояниям этих точек до МЦУ. Для определения ускорения любой точки С звена АВ надо соединить точки С и Q, и от этой прямой отложить угол в сторону, противоположную направлению :



НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ Модуль ускорения любой точки можно определить:

aA aB aC = =.

AQ BQ CQ 3.4. Сложное движение точки твёрдого тела Сложным называется такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или более движениях:

Рассмотрим движущееся тело А и точку М, не принадлежащую этому телу и совершающую по отношению к нему некоторое движение.

Через произвольную точку О движущегося тела А проведём оси координат X, Y, Z, связанные с этим телом. Систему осей X, Y, Z, называют подвижной системой отсчёта.

Неподвижные оси координат X1,Y1,Z1 жестко связаны с землёй. Систему осей X1,Y1,Z1 называют неподвижной системой отсчёта.

Движение точки М относительно подвижной системы отсчёта называют относительным.

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ Скорость и ускорение точки в относительном движении называются Vr относительной скоростью и относительным ускорением и обозначаются и ar (от латинского relativus - относительный).

Движение подвижной системы отсчёта X, Y, Z и связанного с ней тела А по отношению к неподвижной системе отсчёта X1,Y1,Z1 является для точки М переносным движением.

Скорость и ускорение точки тела А, связанного с подвижной системой отсчёта, совпадающей в данный момент времени с движущейся точкой М, называются переносной скоростью и переносным ускорением точки М и Ve ae обозначаются и (от французского enterainer – увлекать за собой).

Задачи на сложение движений и определения траекторий, делятся на два типа:

• известны относительное и переносное движения точки; требуется определить уравнения абсолютного движения и абсолютную траекторию точки;

• известны абсолютное и переносное движения точки; требуется определить уравнение относительного движения и относительную траекторию точки.

Первая задача сводится к сложению составляющих движения точки.

Вторая – заключается в разложении известного абсолютного движения на заданное переносное и подлежащее определению относительное.

Абсолютная скорость точки при сложном движении равна геометрической сумме относительной и переносной скорости этой точки:

.

V = Ve + Vr Модуль абсолютной скорости определяется по формуле:

,V V = Ve2 +Vr2 + 2VeVr cos(Vr r ).

Абсолютное ускорение точки при сложном движении определяется на основании теоремы Кориолиса.

При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение при ar сложном движении точки равно геометрической сумме относительного, ae aC переносного и Кориолисова ускорений:

a ar + ae + aC.

= НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ В случае поступательного переносного движения абсолютное ускорение ar при сложном движении точки равно геометрической сумме относительного ae и переносного ускорений точки:

a ar + ae.

= В общем случае при переносном вращательном движении абсолютное вр ц a = ar + arn + aе + aе + aC или ускорение можно представить в виде a = ar + ar + ae + ae + aC.

ar Относительное ускорение характеризует изменение относительной скорости V в относительном движении точки и вычисляется общими методами r ar = ar + arn или a = ar + ar.

r кинематики точки Переносное ускорение ae характеризует изменение переносной скорости Ve в переносном движении точки и вычисляется методами кинематики твёрдого вр ц ae = aе + aе = ar + ar.

тела aC Кориолисовым ускорением называется составляющая абсолютного ускорения точки в сложном движении, равная удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного вращения на вектор относительной скорости:

aC = 2(e Vr ).

Кориолисово ускорение существует только при сложном движении и только в случае, когда переносное движение не поступательно.

Кориолисово ускорение появляется в результате:

а) изменения модуля и направления переносной скорости точки вследствие её относительного движения;

б) изменения направления относительной скорости точки вследствие вращательного переносного движения.

Модуль Кориолисова ускорения определяется как модуль векторного произведения:

aC = 2eVr sin(e,Vr ).

Кориолисово ускорение обращается в ноль:

а) если e = 0, отсутствует вращение, т.е. в случае поступательного переносного движения или в моменты, когда угловая скорость непоступательного переносного движения обращается в ноль;

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ б) если Vr = 0, т.е. в случае относительного покоя точки, или в моменты, когда её относительная скорость обращается в ноль;

в) если sin(e,Vr ) = 0, т.е. когда относительная скорость V точки r e Vr параллельна оси переносного вращения ||.

Направление Кориолисова ускорения определяется как направление векторного произведения.

aC Вектор Кориолисова ускорения направлен перпендикулярно e Vr плоскости, проходящей через векторы и в ту сторону, откуда Vr e кратчайшее совмещение векторов и видно происходящим против хода часовой стрелки.





Для определения направления Кориолисова ускорения удобно пользоваться правилом профессора Жуковского:

Для определения направления Кориолисова ускорения необходимо спроектировать вектор относительной скорости Vr точки на плоскость, перпендикулярную к оси переносного вращения, и повернуть эту проекцию в этой же плоскости на 90° в сторону переносного вращения.

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ ЗАДАЧИ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ Задача №1 (10.2) По данным уравнениям движения точки найти уравнения её траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения.

1. x=3t – 5, y=4 – 2t.

Для получения уравнения движения точки из заданных уравнений исключаем время t.

x=3t-5 2 ; 2x=6t- y=4-2t 3; 3y=4-6t 2x + 3y – 2=0 – уравнение прямой линии.

Для построения прямой линии достаточно двух точек:

при x=0; y= ;

при y=0; x=1.

Для определения направления движения в начале определяется точка начала движения при t0 = 0 : X0 = -5, Y0 = 4, t >а затем точка при любом значении.

t x y M0(-5,4) 0 -5 1 -2 Ответ: полупрямая 2x + 3y – 2 = 0 c началом в точке x = – 5, y = 4.

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ x = 2t, y = 8t2..

Для получения уравнения траектории исключаем время t из заданных уравнений:

x x t = y = 8 = 2x2 ;

;

2 y = 2x2 – уравнение квадратной параболы.

Для построения траектории точки определяем координаты точек параболы в различные моменты времени (см. таблицу).

x -2 -1 0 1 y 8 2 0 2 Движение начинается из точки M0 (0,0) и происходит по правой ветви параболы.

Ответ: правая ветвь параболы y = 2x2 с начальной точкой x = 0, y = 0.

3. x = 2 – 3cos5t; y = 4sin5t – 1.

Для получения уравнения траектории исключаем время t из данных уравнений 2-x y +cos5t = ; sin5t =.

3 Эти два уравнения возводим в квадрат и складываем:

x ( - ) y +( ) cos2 5t = sin2 5t = ; ;

32 sin2 5t + cos2 5t =.

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ (x - 2)2 (y + 1)+ = 1 - уравнение эллипса.

32 x0 = Начало движения при t0 = 0, -; y0= – 1.

x ( - 2 y +) ( ) Ответ: эллипс +=1 с начальной точкой x = –1, y = –1.

Задача № Движение точки задано уравнениями : x=3t, y = (см).

t Определить в моменты времени t1 = 1c и t2 = 2 c скорость точки, ускорение точки, касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны траектории.

Определить и построить траекторию точки.

Решение Для определения уравнения точки исключаем параметр t из уравнений x t = движения:. Подставляем это значение в уравнение координаты y:

y = – уравнение гиперболы.

x Точка движется по ветви гиперболы, расположенной в верхнем правом квадрате, так как при подстановке времени t >0 в уравнения движения обе координаты принимают положительное значение. Движение точки происходит сверху вниз.

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ Траекторию строим по координатам (см. таблицу) 1 Время 0 1 2 t,c Xсм 0 1 1,5 3 6 Yсм 9 6 3 1,5 1 СaСanaVx1 aMa2 anVxVyVyV1 VОпределяем скорость точки по её проекциям на координатные оси:

cм 3 cм & & Vx = x = 3 Vy = y = ;.

с t2 с Проекции скорости и их значения для точек в заданный момент времени:

cм 3 cм Vx1 = 3 Vy1 =- =-t1 = 1c При ; ; ;

с 12 с НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ 2 см V1 = Vx2 +Vy2 = 32 + (-3 = 4, 2.

) 1 с см 3 3 cм Vx2 = Vy2 =- =t2 = 2c При ; ; ;

с 22 4 с 3 см V2 = Vx2 +Vy2 = 32 + = 3,1.

2 2 4 с Определяем проекции ускорения точки на координатные оси:

& && ax = Vx = x = d 3 6 см.

& && ay = Vy = y = - = dt t2 t3 с Проекции ускорения и их значения для точек в заданный момент времени:

6 cм см ay1 = = 6 ; a1 = ay1 = 6.

t1 = 1c ax1 = При : ;

13 с2 с 6 3 см 3 cм ay 2 = = t2 = 2c ax2 = 0 a2 = ay 2 = При : ;.

23 4 с2 ; 4 с Для определения касательного и нормального ускорений переходим к естественному способу задания движения точки.

Касательное ускорение Vxax +Vyay &&& &&& dv d d 2xx + 2yy & & a = = Vx2 +Vy2 = x2 + y2 = =.

dt dt dt & & 2 x2 + y2 V 30 + (-) 18 cм a 1 == - = -4, 2 ;

t1 = 1c При ;

4, 2 4, 2 с 30 - 0,750,75 см a 2 == -0,18.

3,1 с Нормальные ускорения:

an = a2 - a2.

2 см an1 = a1 - a2 = 62 -(-4, 2 = 4, 2.

) При t1 = 1c ; с 2 cм an2 = a2 - a2 = 0,752 -(-0,18 = 0,71.

) При t2 = 2c ; с Определяем радиус кривизны траектории в заданные моменты времени:

V a = an = ;

an.

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ V12 4, 1 = = = 4, 2 cм.

( ) t1 = 1c При ;

an1 4,V22 3,2 = = =13,5 см.

( ) t2 = 2c При ;

an2 0,Все результаты решения показаны на чертеже.

см см cм V1 = 4, 2, a1 = 6, a1 =-4, 2, t1 = 1c Ответ: при : с с2 с см см 3 cм, an1 = 4, 2, V2 = 3,1, a2 = 1 = 4, 2 cм ; t2 = 2c ( ) при :

с2 с 4 с см cм a 2 =-0,18, an2 = 0,71, 2 =13,5 см.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.