WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

dB dA d r r r = +. (120) dt dt dt Последняя производная в (120) равна нулю, так как r = BA = const и направление вектора остается постоянным. Следовательно, A = B, то r v v есть при поступательном движении все точки твердого тела движутся с одинаковыми скоростями. Очевидно, что и ускорения всех точек тела при поступательном движении равны wA = wB = const. Таким образом, можно сделать вывод, что все точки тела при поступательном движении двигаются одинаково (одинаковы скорость, ускорения, траектории). Следовательно, для описания поступательного движения твердого тела достаточно описать движение одной точки (как правило, центра масс).

2.2. Вращательно движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси Рассмотрим произвольное твердое тело, вращающееся вокруг закрепленной оси z. Мысленно свяжем с телом две плоскости: неподвижную P и жестко связанную с телом Q. Тогда положение точек тела будет определяться углом поворота относительно неподвижной плоскости (рис. 22а). Очевидно, что такая система имеет одну степень свободы s = 1, так как положение твердого тела однозначно определяется обобщенной координатой q =. Зная зависимость угла поворота от времени, можно найти угловую скорость = и угловое ускорение = твердого тела относительно оси z.

w z z w Df P R MDf f Dr M r a Q а б Рис. 22. Вращательное движение твердого тела Рассмотрим траекторию движения одной из точек твердого тела (рис. 22б).

Точка M за время t перейдет в точку M1, при этом она пройдет путь s, - -равный длине дуги MM1, и совершит перемещение MM1, равное Из r.

рис. 22б видно, что s = R, а R = r sin. Следовательно, s = r sin, (121) где – угол между векторами и.

r Очевидно, что движение любой точки твердого тела по окружности будет определено, если будут заданы ориентация плоскости, в которой лежит окружность, и направление поворота. Характеристикой, удовлетворяющей этим двум требованиям, является вектор поворота (или бесконечно малого поворота, если ориентация плоскости меняется), который направлен вдоль оси вращения в ту сторону, чтобы поворот происходил против часовой стрелки (правило буравчика). Заметим, что если ось вращения неподвижна, то векторы, угловой скорости = d/dt и углового ускорения = d /dt направлены одинаково.

С учетом вышесказанного, формулу (121) можно переписать и в векторном виде, заметив, что вектор ортогонален как вектору, так и r вектору r:

= (122) r r.

Разделим обе части последнего равенства на t и устремим t к нулю.

В результате получим d r = = (123) v r.

dt Найдем ускорение точек твердого тела при вращательном движении вокруг оси:

d d d d v r w = = ( = + = + r) r r v. (124) dt dt dt dt Здесь w = является тангенциальным ускорением, а wn – нормаль r ным ускорением.

3. Углы Эйлера Будем рассматривать движение твердого тела как сложное движение, состоящее из движения какой-либо выбранной точки тела O (полюса) и движения остальных точек тела относительно полюса (как правило, в качестве полюса удобно выбирать центр масс тела). Обозначим положение произвольной точки M твердого тела в неподвижной системе координат x1y1z1 посред ством R, а в подвижной xyz посредством (рис. 23).

r В этом случае движение точки M твердого тела будет являться сложным движением, и положение точки M в пространстве будет задаваться радиус-вектором R = + Если бы точки тела не были жестко связаны r.

между собой, то для описания положения системы необходимо было бы взять 3N независимых координат.

Однако, так как все точки твердого тела жестко связаны между соzz бой, для однозначного задания полоM r жения твердого тела в пространстве y R необходимо иметь только шесть обобO x щенных координат (справедливость r данного утверждения была показана O' yв предыдущих разделах). В качестве xтаких координат удобно взять координаты радиус-вектора центра масс Рис. 23. Задание положения точек твердого твердого тела и три координаты, затела дающие ориентацию твердого тела в пространстве. Удобно данную ориентацию задавать с помощью трех углов, называемых углами Эйлера (рис. 24).

Углы Эйлера вводятся следующим способом. Совместим начала zподвижной и неподвижной систем f y координат (для определения углов z Эйлера это не принципиально). Тоy гда плоскость xOy подвижной систеq мы координат пересечет плоскость O y yx1Oy1 подвижной системы по некотоf q рой прямой ON которая называется N x линией узлов.

xПрямая ON, очевидно, ортогональна осям z и z1, а положительное Рис. 24. Углы Эйлера направление ON задается направлением векторного произведения, nz nz где и – орты осей z и z соответственно.

nz nz Угол (0 ) между осями z1 и z называется углом нутации.

Угол (0 2) между ON и осью x называется углом прецессии. Угол (0 2) между ON и x1 называется углом собственного вращения.

Направления углов Эйлера,, определяется стандартным правилом винта при повороте вокруг осей z1, ON и z, соответственно.

Как уже отмечалось ранее, движение твердого тела является слож ным движением, поэтому скорость любой точки твердого тела V1 может быть представлена в виде суммы скорости поступательного движения центра масс V и вращательного движения вокруг центра масс, которое задается скоростью изменения углов Эйлера:

V1 = V + (125) r, где – угловая скорость вращения твердого тела, которая будет одинакова для всех точек тела.

Выразим угловую скорость через углы Эйлера и их производные. Для этого найдем проекции угловых скоростей,, на оси подвижной системы координат. Угловая скорость направлена вдоль оси z. Угловая скорость направлена вдоль линии узлов и ее проекции на оси координат имеют вид x = cos, y = - sin, z = 0. (126) Угловая скорость направлена вдоль оси z1 и ее проекции на оси ко ординат имеют вид x = sin sin, y = sin cos, z = cos. (127) Таким образом, угловая скорость имеет следующие проекции на оси подвижной системы:



x = sin sin + cos (128) y = sin cos - sin z = cos +.

Данные уравнения называются кинематическими уравнениями Эйлера.

Глава КИНЕМАТИКА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1. Общая характеристика плоскопараллельного движения Плоскопараллельным движением называется движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Таким образом, расстояние всех точек тела от неподвижной плоскости остается постоянным во время движения. В качестве примеров плоскопараллельного движения можно привести движение колеса по прямолинейному рельсу (рис. 25а) и движение кривошипно-шатунного механизма (рис. 25б) (кривошипно-шатунный механизм – устройство, служащее для преобразования возвратно-поступательных движений поршня во вращательное движение коленчатого вала).

VB B A VC C O w B A б а Рис. 25. Примеры плоскопараллельных движений Пусть некоторое тело движется плоскопараллельно относительно неподвижной плоскости Q (рис. 24).

Пересечем тело плоскостью P, параллельной Q. Возьмем произвольную точку A полученного сеA чения и проведем через нее пряB s P мую AA, перпендикулярную плоскости сечения. Очевидно, что все точки, лежащие на этой прямой, будут A' B' двигаться аналогично точке A. То Q же самое можно сказать про пряРис. 26. Плоскопараллельное движение мую BB и т.д. Следовательно, вместо изучения пространственного движения тела достаточно рассмотреть движение любого сечения тела S, параллельного неподвижной плоскости. Положение сечения на плоскости определяется двумя точками сечения (отрезком, соединяющим эти точки).

Рассмотрим произвольный отрезок AB, лежащий в сечении (рис. 26).

Положением отрезка полностью определяется положение сечения. Пусть точки A и B имеют координаты A(x1, y1) и B(x2, y2). Так как расстояние между точками не меняется со временем, то AB = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = const.

Следовательно, данная система имеет s = 4 - 1 = 3 степени свободы и для описания плоскопараллельного движения твердого тела необходимы три обобщенных координаты.

Рассмотрим подробно движение отрезка AB (рис. 27).

Из любого начальное положение в любое конечное отрезок (сеB Bчение) можно перевести с помощью D f двух независимых движений (послеf f довательность не играет роли): поA A(I) (II) ступательного переносного движения (I) в плоскости сечения xOy и Рис. 27. Последовательность независимых относительного вращательного двидвижений жения вокруг оси z (II), проходящей через произвольную точку отрезка (например, точку A или точку D), которую принято называть полюсом. Заметим, что в данном случае имеются две поступательные и одна вращательная степени свободы, а само движение тела является сложным, состоящим из поступательно движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса. Так как направление и угол поворота одни и те же для разных полюсов, то и угловая скорость, и будут одинаковыми для всех полюсов.

Следовательно, выбор полюса определяется исключительно соображениями удобства. В частности, в качестве полюса часто бывает удобно принимать ту точку, скорость которой известна.

2. Скорости точек плоской фигуры Пусть нам дано некоторое сечение P (рис. 26) тела, совершающего плоскопараллельное движение. Пусть известна скорость произвольной точки A данного сечения (фигуры). Возьмем данную точку за полюс и за начало подвижной системы координат (рис. 28).

Из рис. 28 видно, что B = A + r r + Найдем скорость точки B:

r.

y ''K'' B dB dA d r r r B = = + = A + BA.

v v v dt dt dt r x По своему смыслу B является абv ''K'' A солютной скоростью абс, A являетv v r B ся переносной скоростью пер, а BA v v r A – относительной скоростью отн. Так v O как расстояние между точками A и Рис. 28. Сложное движение точек фигуры B не меняется в процессе движения (тело абсолютно твердое), то BA представляет собой линейную вращательv ную скорость точки B вокруг полюса – точки A: BA = Тогда для v r.

скорости точки B получим следующую формулу (формулу Эйлера):

B = A + BA. (129) v v Таким образом, скорость любой точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полюса и линейной вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

Из формулы (129) легко получить два следствия:

1). Если в данный момент времени = 0, то скорости всех точек теv A AC=BC' ла геометрически равны (мгновеннопоступательное распределение скоC' C ростей.) A B v B 2). Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соеди- Рис. 29. Равенство проекций скоростей на прямую, соединяющую две точки фигуры.

няющую эти точки, алгебраически равны (B)AB = (A)AB (рис. 29).

v v Последнее утверждение непосредственно следует из того факта, что скорость точки B относительно A направлена перпендикулярно отрезку AB.

3. Мгновенный центр скоростей Докажем утверждение:

При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует единственная точка, связанная с фигурой, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Выберем произвольную точку A за полюс. Предположим, что существует такая точка P, мгновенная скорость которой равна нулю. Тогда согласно формуле Эйлера (129) P = 0 = A + P A. (130) v v Распишем данное равенство в проекциях на оси координат. Пусть ось z направлена перпендикулярно плоскости фигуры, тогда = A = A + k, v i + A, P A = (xP - xA) + (yP - yA) + (zP - zA) Учтем, что j i j k.





i j k P A = = i j 0 0 -(yP - yA) + (xP - xA).

xP - xA yP - yA zP - zA Тогда из (130) следует A A xP - xA =, yP - yA = -, (131) или в векторном виде - A v P A =. (132) Если в данный момент времени = 0 (мгновенно-поступательное движение), то точка P, как следует из формулы (132), находится на бесконечности.

Таким образом точка P всегда может быть найдена по формуле (132), что и доказывает наше утверждение.

Точку P принято называть мгновенным центром скоростей. Используя формулу (132), можно найти положение мгновенного центра скоростей, если известны угловая скорость и скорость полюса. Для этого необходимо сначала повернуть вектор A на угол /2 против часовой стрелки, смотря с v конца вектора A, потом от точки A в направлении повернутого вектора A v v отложить отрезок длиной vA/. Конец этого отрезка будет мгновенным центром скоростей P. Однако чаще всего вектор бывает неизвестен, при этом бывают известны скорости хотя бы двух точек плоской фигуры. Рассмотрим данный случай подробнее.

Выберем точку P в качестве полюса, тогда из формулы Эйлера для любых точек фигуры A, B, C и т.д. следует (учитывая, что P = 0) v A = PA, v (133) B = PB, v C = PC и т.д.

v Следовательно, плоскопараллельное движение по распределению скоростей можно представить как вращательное движение вокруг мгновенного центра скоростей, то есть поворота вокруг оси z, проходящей через точку P.

Эту ось называют мгновенной осью вращения, а точку P – мгновенным центром вращения. Понятие мгновенной оси вращения, проходящей через точку P, имеет смысл только для распределения скоростей, но не для ускорений, поскольку для распределения ускорений необходимо знать два близких друг к другу положения скоростей, а мгновенная ось меняет свое направление как относительно тела, так и в пространстве. В процессе движения положение мгновенного центра скоростей меняется. Геометрическое место положений мгновенного центра на неподвижной плоскости называется неподвижной центроидой, а геометрическое место положений мгновенного центра скоростей в связанной с фигурой системе координат называется подвижной центроидой. При этом при движении системы подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной. Например, при движении колеса (рис. 25а) неподвижной центроидой будет прямая, по которой движется колесо, а подвижной центроидой будет обод диска.

- Вектор перпендикулярен плоскости фигуры ( AP, BP и т.д.), поэтому векторные произведения в (133) можно переписать в скалярном виде:

vA vB vA = = =... =. (134) AP BP CP Данная формула дает правило вычисления скоростей точек плоской фигуры, если известны величина угловой скорости вращения вокруг мгновенно центра скоростей p и расстояние до центра.

Из формулы (133) также следует, что векторы скорости точек плоской фигуры ортогональны векторам, соединяющим данную точку фигуры и полюс. Следовательно, чтобы найти положение мгновенного центра скоростей, необходимо восстановить перпендикуляры к скоростям любых двух точек плоской фигуры. На пересечении перпендикуляров и будет находиться мгновенный центр скоростей. На рис. 30 приведены некоторые примеры нахождения мгновенного центра скоростей. На рис.30а мгновенный центр скоростей находится на бесконечности, так как движение является мгновеннопоступательным, на рис. 30б мгновенный центр скоростей находится в точке B, поскольку ее скорость в данный момент времени равна нулю, на рис. 30с изображен общий случай расположения мгновенного центра скоростей.

v A A v A v =w B A O B(P) w O B v B б а P v A A O w B v B в Рис. 30. Нахождение мгновенного центра скоростей Таким образом, чтобы найти скорость любой точки плоской фигуры, необходимо, во-первых, зная направления скоростей двух точек фигуры, найти положение мгновенного центра скоростей, во-вторых, по формуле (134) найти угловую скорость вращения вокруг мгновенного центра p (зная модуль одной из двух скоростей) и, наконец, снова используя формулу (134), найти скорость нужной точки.

4. Ускорение точек плоской фигуры Покажем, что ускорение точек плоской фигуры можно представить в виде, аналогичном скорости, а именно как сумму ускорений поступательного и вращательного движений. Пусть точка A является полюсом, тогда по формуле Эйлера B = A + BA. (135) v v Продифференцируем данное соотношение по времени, получим dB dA dBA v v v = +. (136) dt dt dt Здесь wB = dB/dt – ускорение точки B, wA = dA/dt – ускорение точ v v ки A, wBA = dBA/dt – ускорение точки B относительно точки A. Последнее v слагаемое определяет ускорение, которое имеет точка при вращении вокруг полюса. Следовательно, его можно переписать в виде суммы нормального и тангенциального ускорений wBA = wBA + wBA = 2BA + BA. Однако при n нахождении ускорения точки данным способом возникают сложности, связанные с проблемой определения углового ускорения. Как правило, угловое ускорение находят согласно его определению как производную от угловой скорости = d/dt, но, как было показано выше, угловая скорость обычно находится в данный момент, т.е. представляет собой число, а не функцию времени. Поэтому более распространенным является способ, используемый в том случае, если известно направление движения (ускорения) какой-либо точки плоской фигуры. Проиллюстрируем данный способ на конкретном примере Задача 5.1. Для заданного положения кривошипно-шатунного механизма найти скорость и ускорение точки B, если OA = 2 с-1, OA = 3 с-2, OA = 50 см, AB = 80 см, = 450 (рис. 29а).

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.