WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

z = z(t), = (t), При изучении сложного движения каждое движение рассматривается по отдельности. Мысленно остановим переносное движение и рассмотрим относительное, тогда координаты точки M (x, y, z) меняются в относительном движении. Мысленно закрепим точку M с подвижной системой, тогда координаты (x, y, z) – постоянные в переносном движении.

1. Сложение скоростей В классической механике рассматривается движение со скоростями много меньшими скоростей света, поэтому ход времени в системах K и K1 одинаков t = t1. Вычислим скорость при сложном движении точки. Очевидно, что R = + = + x + y + z (79) r i j k.

Согласно определению скорости ( ) ( ) dR d d d d dx dy dz i j k абс = = + x + y + z + i + j + k. (80) v dt dt dt dt dt dt dt dt Здесь абс – абсолютная скорость материальной точки, то есть ее скорость v относительно неподвижной системы координат. Заметим, что дифференцировать необходимо и орты подвижной системы координат, так как они меняют свое положение в пространстве с течением времени. Последняя скобка в (80) представляет собой относительную скорость материальной точки отн, v то есть ее скорость относительно подвижной системы координат K1:

dx dy dz отн = i + j + k, (81) v dt dt dt а оставшиеся слагаемые в (80) представляют собой переносную скорость, то есть ту скорость, которую имела бы точка M, если бы она в данный момент времени была жестко связана с подвижной системой координат:

d d d d i j k пер = + x + y + z. (82) v dt dt dt dt В выражение для переносной скорости входят производные от единичных векторов, чьи координаты зависят от времени. Преобразуем эти производные, используя полученную ранее при изучения естественного способа задания движения формулу для производной от единичного вектора (21) d d k i j, d = пер = пер j = пер k, (83) i, dt dt dt где пер является мгновенной угловой скоростью вращения подвижной систе мы отсчета относительно точки О.

В результате получим d пер = + пер (84) v r.

dt Таким образом, абсолютную скорость можно записать в виде абс = пер + отн, (85) v v v где отн определяется формулой (81), а пер – формулой (84).

v v Рассмотрим частный случай, когда начала координат обоих систем совпадают (например, такая ситуация возникает при рассмотрении движения гироскопов). В этом случае = 0 и d = 0 и, следовательно, абсолютная /dt скорость будет иметь следующий вид:

dR d r абс = = отн + пер = + пер (86) v v v r.

dt dt Так как начала обеих систем координат совпадают, то R = и мы получим r, d d r r = + пер (87) r.

dt dt Здесь вектор d является производной вектора в неподвижной системе r/dt r координат и называется полной или абсолютной производной вектора, а вектор d является производной вектора в подвижной системе координат и r/dt r называется относительной или локальной производной.

2. Сложение ускорений Найдем абсолютное ускорение материальной точки. Воспользуемся, как обычно, определением ускорения:

dабс dотн dпер v v v wабс = = +. (88) dt dt dt Вначале вычислим производную от относительной скорости ( ) ( ) dотн d dx dy dz d2x d2y d2z v = i + j + k = i + j + k dt dt dt dt dt dt2 dt2 dt( ) dx d dy d dz d i j k + + +. (89) dt dt dt dt dt dt Выражение в первой скобке в (89) представляет себой относительное ускорение wотн. Преобразуем выражение во второй скобке. Снова воспользуемся формулой для производной единичного вектора (21), получим dx d dx i = пер i = пер (отн)x (90) v i.

dt dt dt Аналогично dy d dy j = пер j = пер (отн)y, (91) v j dt dt dt dz d dz k = пер k = пер (отн)z (92) v k.

dt dt dt Сложим полученные выражения, получим dx d dy d dz d i j k + + = пер отн. (93) v dt dt dt dt dt dt Таким образом, полную производную от абсолютной скорости по времени можно представить в виде суммы двух слагаемых:

dотн v = wотн + w1, (94) dt где относительное ускорение имеет вид d2x d2y d2z wотн = i + j + k, (95) dt2 dt2 dtа дополнительное ускорение w1 = пер отн (96) v возникает из-за влияния переносного движения на относительное, а именно из-за влияния переносного движения на относительную скорость (при ненулевой пер вектор относительной скорости поворачивается относительно аб солютной системы координат за счет вращения подвижной системы координат).

Теперь вычислим полную производную по времени от переносной скорости.

[ ] dпер d d v = + пер (x + y + z = i j k) dt dt dt d2 dпер d = + + пер (x + y + z = r i j k) dt2 dt dt d2 d d d i j k = + пер + пер (x + y + z )+ r dt2 dt dt dt dx dy dz d + пер ( i + j + k) = + пер r+ dt dt dt dt+ пер пер + пер отн. (97) r v Таким образом, производную по времени от относительной скорости можно представить в виде суммы двух слагаемых, имеющих разный физический смысл:

dпер v = wпер + w2. (98) dt Здесь d wпер = + wпер + wпер (99) n dtявляется переносным ускорением, причем по своему смыслу часть переносного ускорения wпер = пер (100) r является его тангенциальной составляющей, а часть wпер = пер пер (101) n r является его нормальной составляющей.

При этом второе дополнительное слагаемое в (97) w2 = пер отн (102) v описывает влияние относительного движения на переносное (заметим, что оно по виду совпадает с (96)), а именно, из-за влияния относительного движения на переносную скорость (при ненулевой относительной скорости положение точки в подвижной системе меняется, а значит, меняется и переносная скорость).

Сложив полученные выражения для производных по времени от относительной и переносной скорости, можно записать абсолютное ускорение материальной точки при сложном движении в следующем виде (теорема Кориолиса):



wабс = wотн + wпер + wкор, (103) где дополнительное ускорение wкор = 2 пер отн (104) v называется ускорением Кориол и описывает взаимное влияние друг на иса друга переносного и относительного движений.

Пример 3.1. Рассмотрим на примере влияние переносного и относительного движений друг на друга. Пусть по радиусу вращающейся платформы движется точка M. Свяжем с платформой неинерциальную систему отсчета K1, а с поверхностью земли – инерциальную систему отсчета K.

Если бы диск не вращался, то точка M совершала бы прямолинейное движение со скоростью отн отноv r сительно инерциальной системы отсчета. Путь теперь диск вращается с O M угловой скоростью пер. Тогда будет v v ОТН ОТН происходить изменение направления скорости отн в неподвижной системе v w пер координат K, то есть у точки за счет Рис. 14. Движение точки по радиусу вращапереносного движения появится доющегося диска полнительное ускорение w1 = wn = = перотн, по смыслу нормальное. Теперь рассмотрим влияние относитель v ного движения на переносное. Если бы точки не совершала относительное движение, то она двигалась бы по окружности со скоростью пер = пер v r.

Пусть теперь точка движется по радиусу диска. Тогда радиус окружности, по которой движется точка, будет увеличиваться, то есть появляется добавочное ускорение w2 = w = пер отн, по смыслу тангенциальное. Для v доказательства рассмотрим положение точки M в два близких момента времени:

t : пер = пер v(1) r, (105) t + t : пер = пер ( + v(2) r r).

Тогда ускорение будет иметь вид:

пер - пер пер ( + - пер v(2) v(1) r r) r w2 = lim = lim = пер отн. (106) v t0 tt t Таким образом, дополнительное ускорение wкор = 2 пер отн, возника v ющее за счет влияния друг на друга относительного и переносного движения, совпадает с ускорением Кориолиса, как и должно быть.

Задача 3.1. По ободу круглого диска радиуса R = 50 см движется точка M согласно уравнению = t2 рад (рис. 15а). Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку O, с угловой скоростью = (3+4t) с-1. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M для момента времени t1 = 1 с.

f O1 M Of w w M O O б а Рис. 15. Рисунок к задаче 3. Определим, в каком положении находится точка M согласно условию задачи. В момент времени t = 1 с угол = 3/2. Нарисуем правильное положение точки M (рис. 15б). Найдем направления относительной и переносной скорости. В относительном движении точка движется по окружности радиуса R с центром в точке O1, поэтому относительная скорость направлена по касательной к ободу диска в точке M (рис. 16). В переносном движении точка также движется по окружности, но радиуса r = 2R с центром в точке O (рис. 16).

Таким образом, по абсолютной величине vотн = R = R3t 471 см/с, (107) V пер V отн M OR V абс V r пер w V отн O б а Рис. 16. Направления скоростей vпер = r = 2R(3 + 4t) 495 см/с. (108) Заметим, что частота по смыслу является переносной, т.е. пер.

Найдем абсолютную скорость абс, векторно сложив переносную скоv рость пер и относительную скорость отн (рис. 16б). По теореме косинусов v v 2 vабс = vотн + vпер - 2vотнvпер cos(1350) 891 см/с. (109) Определим направления ускорений. Удобно разложить каждое из ускорений на тангенциальную и нормальную составляющую, поскольку и относительное и переносное движения представляют собой движение по окружности. На рис. 17a показано направление каждого из ускорений в соответствии с их физическим смыслом.

Найдем абсолютную величину каждого из ускорений согласно стандартным формулам, полученным при рассмотрении кругового движения:

dvотн vотн n wотн = = 3R 471 см/с2, wотн = 4437 см/с2; (110) dt R vпер dvпер n wпер = = 4 2R 283 см/с2, wпер = 3500 см/с2. (111) dt r Вектора и vотн взаимно ортогональны, поэтому wкор = 2vотн = 6594 см/с2. (112) Чтобы найти абсолютное ускорение wабс = wотн + wпер + wкор, (113) y n w w M Oкор отн wn w кор отн 450 x n w пер t wn w пер пер wt пер w t w отн O wt отн б) а) Рис. 17. Направления ускорений необходимо найти проекции всех составляющих ускорения на две взаимноперпендикулярные оси (рис. 17б):

n n (wабс)x = wотн + wкор + wпер cos(450) - wпер sin(450) 13283 см/с2, (114) n (wабс)y = -wотн - wпер cos(450) - wпер sin(450) -3119 см/с2.

Наконец, получим абсолютное ускорение wабс = (wабс)2 + (wабс)2 14030 см/с2.

x y Глава ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1. Степени свободы. Обобщенные координаты системы. Связи Прежде чем переходить к описанию движения абсолютно твердого тела, рассмотрим ряд необходимых в дальнейшем понятий классической механики.

Как было показано в предыдущих разделах, положение материальной точки в пространстве однозначно задается тремя координатами (не обязательно декартовыми). В случае, если имеется N материальных точек, то, очевидно, необходимо иметь 3N независимых координат, чтобы определить положение системы в пространстве. В общем случае число независимых координат, определяющих положение системы в пространстве, называется числом степеней свободы системы s, а сами независимые координаты q1, q2,..., qs называются обобщенными координатами. Производные от обобщенных координат называются обобщенными скоростями q1, q2,..., qs.





Теперь рассмотрим абсолютно твердое тело, под которым понимаz ется система точек, расстояние межA ду которыми не меняется со времеC B нем, и найдем число его степеней свободы. Так как реальное пространство O y является трехмерным, то положение тела в нем определяется положением трех любых его точек, не лежащих x на одной прямой (рис. 18). ПоложеРис. 18. Абсолютно твердое тело ние самих трех точек задается 9 координатами:

A(x1, y1, z1) 3N = 9. (115) B(x2, y2, z2) C(x3, y3, z3) Однако не все координаты точек A, B и C являются независимыми. Так как тело абсолютно твердое, то расстояние между данными точками не меняется:

AB = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 = const = C i = 3. (116) BC = (x3 - x2)2 + (y3 - y2)2 + (z3 - z2)2 = const = C CA = (x1 - x3)2 + (y1 - y3)2 + (z1 - z3)2 = const = CТаким образом, любые три координаты из девяти можно выразить через остальные с помощью трех уравнений (116). Такие уравнения называются уравнениями связей, а сами ограничения, накладываемые на координаты, скорости или ускорения точек системы, называются связями. Подчеркнем, что ограничения должны носить геометрический или кинематический характер, но не динамический. Как правило, связи представляют из себя тела, с которыми соприкасается объект при движении (поверхности, нити, шарниры и т.п.). Связи уменьшают число степеней свободы системы.

Если на систему не наложены связи, она называется свободной, есz Vz ли наложены, то несвободной. Значит твердое тело имеет s = 9 - 3 = wz = 6 степеней свободы. Отметим, что Vy каждое независимое движение имеет O y wy одну степень свободы. В частности, Vx wx движение свободного твердого тела x можно представить как сложное двиРис. 19. Сложное движение твердого тела жение, состоящее из трех поступательных движений вдоль осей декартовой системы координат со скоростями vx, vy, vz, и трех вращательных движений вокруг этих осей с угловыми скоростями x, y, z (s = 6 = 3 пост + 3 вращ).

Пример 4.1. Пусть материальная точка движется по поверхности сферы. Свободная материальная точка имеет три степени свободы. Поверхность сферы представляет собой связь, уравнение которой f(x, y, z) = x2 +y2 +z2 R2 = 0 (R – радиус сферы). Следовательно, такая система имеет s = 3-1 = степени свободы.

В этом примере уравнение связи f(x, y, z) = 0 не зависит от времени. В общем случае если уравнение связи не зависит от времени, то связь называется стационарной.

Пример 4.2. Рассмотрим математический маятник, длина которого меняется со временем l = l(t) и который совершает движение в плоскости xOy. В этом случае уравнение связи будет иметь вид f(x, y, t) = x2 + y2 - l2(t) = 0, а система будет иметь s = 2 - 1 = 1 степень свободы.

В этом примере уравнение связи f(x, y, t) = 0 зависит от времени. В общем случае если уравнение связи явно зависит от времени, то связь называется нестационарной.

Пример 4.3. Пусть точка M1 движется по заданному закону x1 = = f1(t), y1 = f2(t), z1 = f3(t), а точка M2 должна двигаться так, чтобы в любой момент времени ее скорость 2 была направлена в точку M1. Примеv ром такого движения является самонаводящаяся на цель ракета.

Вектора 2 = 2 + 2 + v i j k и M1M2 = (x2 - x1) + (y2 - y1) + i j + (z2 - z1) сонаправлены, следоваk тельно, их проекции на оси коордиM нат должны быть пропорциональны v2 2 = = =.

x2 - x1 y2 - y1 z2 - zM (117) Отсюда получим Рис. 20. Движение по программе движения.

{ 2[x2 - f1(t)] = 2[z2 - f3(t)], (118) 2[x2 - f1(t)] = 2[y2 - f2(t)].

Следовательно, на уравнения движения точки M2 наложены две связи, зависящие от времени и от скорости.

Если связи накладывают ограничения и на координаты, и на скорости точек, они называются неголономными (кинематическими) связями. Если связь накладывает ограничение только на координаты точек, то связь называется голономной (геометрической). Таким образом, в последнем примере на движение материальной точки наложены две нестационарные неголономные связи, а сами уравнения связи представляют собой программу движения материальной точки.

Пример 4.4. Рассмотрим две материальные точки, связанные между собой нерастяжимой нитью. Очевидно, что в этом случае уравнение связи имеет вид f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - l2 0, то есть выражается неравенством.

В общем случае связи, выражающиеся неравенствами, называются односторонними, а связи, выражающиеся равенствами, называются двусторонними или удерживающими. В последнем примере связь является односторонней.

2. Кинематика простейших движений абсолютно твердого тела Описать движение твердого тела – означает описать движение каждой его точки. Рассмотрим, как кинематически описываются простейшие движения твердого тела.

2.1. Поступательное движение абсолютно твердого тела При поступательном движении любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно сама себе, или, другими словами, при поступательном движении перемещения всех точек тела геометрически равны. В качестве примеров поступательного движения можно привести движение эскалатора метро, движение лыжника с трамплина и т.п.

Так как любая прямая однозначно определяется двумя точкаz ми, то для описания поступательA ного движения достаточно рассмотr B r реть движение отрезка, соединяющеA го любые две точки тела (рис. 21).

r B O y Рассмотрим движение отрезка AB. Положения точек A и B связаны x следующей формулой r r r.

Рис. 21. Поступательное движение B = A + (119) Вычислим скорость точки B:

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.