WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

dv vw = + = w + wn. (22) n dt Формула (22) выражает теорему Гюйгенса: ускорение точки wt при криволинейном движении рав- V t M но геометрической сумме тангенциw n ального ускорения w и нормального wn ускорения wn. Тангенциальное уско рение характеризует быстроту измеРис. 6. Ускорение при криволинейном движенения величины модуля скорости, а нии нормальное – быстроту изменения направления скорости. При этом тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории (если w > 0, то w если w < 0, то w а нормальное – вдоль вектора главной v, v), нормали к центру кривизны траектории (рис. 6).

Поскольку векторы тангенциального и нормального ускорения взаимно ортогональны, то полное ускорение будет направлено вдоль диагонали прямоугольника, составленного из данных векторов, а его модуль определится по формуле 2 w = w + wn (23) Если w = 0, то движение будет равномерным, то есть происходить с постоянной по модулю скоростью. Если wn = 0 (v = 0, то есть = ), то движение будет прямолинейным. Движение, при котором w = wn = (v = 0), называется равномерным прямолинейным движением. Заметим, что любое криволинейное движение является ускоренным.

Пример 1.Одним из простейших случаев криволинейного движения является движение материальной точки по окружности. Рассмотрим точку M движущуюся по окружности радиуса R. Тогда за время t она пройдет вдоль дуги окружности путь = R (рис. 7). В данном случае будет являться криволинейной координатой. Найдем скорость точки и ускорение точки M согласно формулам (14) и (22) соответственно:

= v = = R = R; (24) v vw = v = R = R = R, wn = = 2R (25) n n.

R Величина = называется угловым ускорением. Найдем полное wt ускорение точки:

w M 2 w = w + wn = R 2 + 4. (26) wn s f При равномерном движении по окружности = 0. Тогда полное ускорение O w = R2.

Задача 1.1. Найти уравнение траектории, скорость v, тангенциальное ускорение w, нормальное Рис. 7. Движение точки по окружности ускорение wn, абсолютную величину ускорения w, а также радиус кривизны траектории для момента времени t = 2с, если уравнения движения материальной точки имеют вид { x = 2 sin(t) - 3(см), (27) y = 3 cos(t) + 4(см).

Для нахождения уравнения траектории исключим из уравнений движения время:

{ x+= sin(t), (x + 3)2 (y - 4)2 t t 2 = + = sin2 + cos2 = 1. (28) y-4 9 8 = cos(t).

3 Следовательно, траекторией движения точки является эллипс с полуосями a = 2, b = 3 и с центром в точке (-3, 4).

Найдем проекции скорости на оси координат:

dx t 3 t vx = = cos, vy = - sin. (29) dt 4 8 8 Абсолютное значение скорости 2 t 92 t 2 v = vx + vy = cos2 + sin2 1 см/с. (30) 16 8 64 Найдем тангенциальное ускорение dv 52 sin(t/4) w = = 0, 1 см/с2 (31) dt cos2(t/8) + 2.25 sin2(t/8) Найдем нормальное ускорение. Для этого вначале вычислим модуль полного ускорения материальной точки через его проекции на оси x и y:

dvx 2 t wx = = - sin -0, 2 см/с2, (32) dt 32 dvy 32 t wy = = - cos -0, 3 см/с2. (33) dt 64 Тогда полное ускорение 2 w = wx + wy 0, 36 см/с2. (34) Теперь выразим полное ускорение через его проекции (нормальное ускорение и тангенциальное ускорение) на две другие взаимно ортогональные оси 2 w = w + wn. Отсюда wn = w2 - w 0, 35 см/с2. (35) Заметим, что нормальное ускорение можно вычислить и по стандартной формуле wn = v2/, используя хорошо известные математические соотношения, определяющие радиус кривизны траектории [2]. Однако удобнее сначала вычислить тангенциальное ускорение, а лишь затем найти радиус кривизны траектории = v2/wn. В нашем случае 2, 86 см.

Задача 1.2. Движение груза описывается уравнением x = c2t2 + + c1t + c0, где t – время, а c0, c1, R2 r c2 – постоянные. В начальный момент (t0 = 0) координата груза x0 = = 10 см, а его скорость v0 = 8 см/с.

1 В момент t2 = 5 с координата груза x2 = 150 см. Определить коэфx фициенты c0, c1 и c2, при которых Rосуществляется движение груза 1, а r 3 также вычислить скорость и ускорение груза 1 и точки M для момента времени t1 = 4 с, если r2 = 20 см, M R2 = 40 см, r3 = 30 см и R3 = 60 см.

Вычислим скорость груза 1, который совершает поступательное Рис. 8. Рисунок к задаче 1.движение v = dx/dt = 2c2t + c1. Найдем коэффициенты c0, c1 и c2 из следующей системы уравнений:

x0 = c2t2 + c1t0 + c0, (36) x2 = c2t2 + c1t2 + c0, v0 = 2c2t0 + c1.

Подставляя в эту систему данные, приведенные в условии задачи, получим c0 = 10, c1 = 8, c2 = 4, 4. Таким образом, уравнение движения груза имеет следующий вид:

x = 4, 4t2 + 8t + 10(см), (37) а его скорость и ускорение dv v = 8, 8t + 8 (см/с), w = = 8, 8 (см/с2). (38) dt Следовательно, движение груза 1 равноускоренное.

Найдем скорость и ускорение груза в момент времени t1 = 4 с: v1 = 43, 2 см/с, w1 = 8, 8 см/с2.

Теперь рассмотрим точку M, которая совершает круговое движение.

Угловая скорость верхнего шкива 2 = v/R2 = 0, 22t + 0.2 в момент времени t1 = 4 с равна: 2 = 1, 08 с-1. Тогда скорость ремня vr = 2r2 = 4, 4t + 4 в момент времени t1 равна 21, 6 см/с. Так как скорость всех точек ремня одинакова, то его скорость будет передаваться и точкам нижнего шкива, соприкасающимся с ним. Отсюда угловая скорость нижнего шкива 3 = vr/r3 = 0, 15t + 0, 13 в момент времени t1 равна 0, 73 с-1. Скорость точки M в этом случае равна vM = 3R3 = 4, 2 см/с. Найдем угловое ускорение точки M: M = 3 = 0, 15 с-2. Тогда тангенциальное ускорение точки w = R3 = 9 см/с2, а нормальное ускорение wn = 3R3 = 1, 35 см/с2. И, 2 наконец, полное ускорение точки M: wM = w + wn = 9, 1 см/с2.

Глава ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА Часто при решении конкретной задачи бывает удобно пользоваться не декартовой системой координат, а криволинейной системой, в которой движение материальной точки может выглядеть проще. Такое часто случается, когда система обладает той или иной симметрией. Рассмотрим вначале движение материальной точки в полярных координатах, а затем рассмотрим общий случай произвольных криволинейных координат.



1. Движение материальной точки в полярных координатах.

Пусть материальная точка движется в некоторой плоскости xOy (рис. 9).

Движение точки, происходящее в неподвижной плоскости, часто опиy M сывают с помощью полярных координат: расстояния r от точки до полюr са O и угла между полярной осью (x) и отрезком, соединяющим полюс r p f и рассматриваемую точку. Уравнения движения материальной точки в O x полярных координатах имеют вид:

dp{ dt r = r(t), (39) Рис. 9. Движение материальной точки в по = (t).

лярных координатах Полярные и декартовы координаты связаны между собой очевидными соотношениями x = r cos, y = r sin.

Найдем скорость и ускорение точки M. Пусть 0 – единичный вектор, r направленный вдоль радиус-вектора, соединяющего полюс и точку M. Найдем скорость согласно ее определению:

d d dr dr r = = (0r) = 0 + r. (40) v r r dt dt dt dt Производная от единичного вектора 0 определяется формулой (18):

r d0 d r = p0, (41) dt dt где p0 – единичный вектор, повернутый против часовой стрелки на угол / относительно вектора 0. Оси, задаваемые единичными векторами 0 и p0, r r называются радиальной и трансверсальной соответственно. В результате получим следующее выражение для скорости материальной точки в полярных координатах d = (0r) = 0 + p0r = r +. (42) v r r v v dt Проекция скорости на радиальную ось vr = называется радиальной скоростью. Она характеризует быстроту изменения длины полярного радиуса r. Проекция скорости на трансверсальную ось v = r называется транс версальной (поперечной) скоростью. Она характеризует быстроту изменения направления движения точки.

Теперь вычислим ускорение материальной точки:

d d2r d0 dr d2 dr d d0 d v r p w = = 0 + + p0r + p0 + r. (43) r dt dt2 dt dt dt2 dt dt dt dt Подставим в данную формулу производные от единичных векторов d0/dt = p0d/dt и d0/dt = -0d/dt, получим r p r [ ( )2] [ ] d2r d d2 dr d w = 0 - r + p0 r + 2 = wr + w. (44) r dt2 dt dt2 dt dt Здесь wr = r - r2 = vr - 2r – радиальное ускорение, w = r + 2 = = r + 2vr – трансверсальное ускорение. Соответственно модуль полного 2 ускорения w = wr + w.

Таким образом, движение материальной точки, описываемое в полярных координатах, является сложным движением, состоящим из поступательного движения по радиусу со скоростью vr и вращательного движения с угловой скоростью.

Иногда бывает удобно использовать понятие секторной скорости, которая определяется следующей формулой:

Vsec = (45) r v.

Очевидно, что выражение d = (1/2)| d представляет собой плоr r| щадь сектора, очерчиваемого радиус-вектором при перемещении точки на dr V r ds V sec df r r O O а б Рис. 10. Секторная скорость d (рис. 10а). Тогда модуль секторной скорости Vsec равен скорости, с котоr рой изменяется площадь, очерчиваемая радиус-вектором материальной точки (рис. 10б). Выражение для модуля секторной скорости можно переписать и в другом виде, заметив, что d = r ·rd/2 (рис. 10а). Тогда модуль секторной скорости Vsec = r2/2.

Задача 2.1[6, с. 8]. Точка движется по плоской траектории с постоянной секторной скоростью, причем величина линейной скорости точки обратно пропорциональна ее расстоянию от начала координат. Найти уравнение траектории, уравнения движения и ускорение точки как функцию, если r(t) = 0, = 0.

r(0) r v(0) v По условию задачи Vsec = 2/2 = const (46) и величина линейной скорости v обратно пропорциональна расстоянию от начала координат v = a/ (a = const). В полярных координатах модуль скорости материальной точки можно найти, используя формулу (42):

av2 = = 2 + 22. (47) Исключим из уравнений (46) и (47), получим 4Vsec a2 + =. (48) 2 Разделим в данном уравнении переменные t d = a2 - 4Vsecdt, (49) 0 получим 2 = 2 + 2 a2 - 4Vsect. (50) Теперь найдем, подставив данное выражение в (47) 2Vsec = (51) 2 + 2 a2 - 4Vsect и разделив в полученной формуле переменные t dt d = 2Vsec. (52) 2 + 2 a2 - 4Vsect 0 В результате получим Vsec 2 + 2 a2 - 4Vsect = ln + 0. (53) a2 - 4Vsec Исключив из уравнений (50) и (53) время, получим уравнение траектории [ ] a2 - 4Vsec = 0 exp ( - 0). (54) 2Vsec Найдем трансверсальное ускорение, используя его определение и формулу (46):

w = + 2 = 0. (55) Таким образом, ускорение имеет только радиальную составляющую w:

aw = - 2 = -. (56) Постоянные vsec и a находятся из начальных условий:

Vsec = 0v0 sin, a = 0v0. (57) 2. Движение материальной точки в криволинейных координатах Рассмотрим общий случай движения материальной точки в произвольных криволинейных координатах. Пусть 1, 2, 3 – базисные векторы некоe e e торой криволинейной системы координат. В этом случае любой вектор в пространстве R3, в том числе и радиус-вектор материальной точки может быть r, разложен в данный момент времени по базисным векторам криволинейной системы = q11 + q22 + q33. (58) r e e e Коэффициенты разложения qi (i = 1, 2, 3) называются криволинейными (обобщенными) координатами точки, в отличие от прямолинейных декартовых, и однозначно определяют ее положение в пространстве. Наиболее известными примерами криволинейных координат являются полярные, цилиндрические и сферические координаты.

Между прямолинейными и криволинейными координатами должна существовать взаимооднозначная функциональная зависимость x = x(q1, q2, q3), q1 = q1(x, y, z), (59) y = y(q1, q2, q3), q2 = q2(x, y, z), z = z(q1, q2, q3). q3 = q3(x, y, z).





Все функции, входящие в данные соотношения должны быть гладкими, и соответствующий Якобиан не равен нулю q1 q2 q x x x (q1, q2, q3) q1 q2 q= = 0 (60) y y y (x, y, z) q1 q2 q.

z z z Рассмотрим более подробно геометрические характеристики кривоqлинейных координат (рис. 11). Для этого возьмем произвольную точe3 q1=const ку M0(q01, q02, q03) в пространстве и q2= const eпроведем через нее концом радиусeMвектора три координатные линии, q3= const qфиксируя поочередно значения двух координат из трех. Например, перqвая координатная линия описывается концом радиус-вектора = r Рис. 11. Движение материальной точки в криволинейных координатах = q02, q03). Такая линия будет r(q1, являться годографом вектора образованного непрерывным изменением r, r при непрерывном изменении только первой криволинейной координаты. Проведя касательные к этим линиям в точке M0, получим координатные оси криволинейной системы координат. Единичные векторы координатных осей и будут являться базисными векторами i (i = 1, 2, 3) криволинейной системы e координат. При этом поверхности q1 = const, q2 = const, q3 = const называются координатными поверхностями. Если векторы i взаимно ортогональны, e то криволинейные координаты называют ортогональными.

Из сказанного выше очевидно, что частные производные совпаr/qi дают по направлению с соответствующими единичными векторами криволинейной системы i:

e r = Hii, (61) e qi где множители Hi называются коэффициентами Ламе. Как следует из (61), коэффициенты Ламе равны:

( )2 ( )2 ( ) x y z r Hi = = + +, (62) qi qi qi qi где было использовано, что x y z r = i + j + k. (63) qi qi qi qi Найдем скорость материальной точки в ортогональных криволинейных координатах. Согласно определению скорости d r r r r r = = q1 + q2 + q3 = qi. (64) v dt q1 q2 q3 i=1 qi Производные qi называются обобщенными скоростями. Принимая во внима ния (61), получим 3 r = qi = Hiqii. (65) v e qi i=i=Таким образом, проекции скорости на оси криволинейной системы координат вычисляются по формулам vi = Hiqi. (66) Вычислим ускорение точки в криволинейных ортогональных координатах. Ортогональные проекции ускорения wi на направления единичных векторов i равны скалярному произведению wi = wi:

e e [ ( ) ( )] d 1 d 1 d d v v r r r wi = i = = -. (67) e v v dt Hi dt qi Hi dt qi dt qi Учитывая, что ( ) d 2 2 r r r r = q1 + q2 + q3, (68) dt qi qiq1 qiq2 qiqи дифференцируя (65) по криволинейным координатам 2 2 v r r r = q1 + q2 + q3, (69) qi q1qi q2qi q3qi получим из сравнения (68) и (69) ( ) d r v =. (70) dt qi qi Теперь продифференцируем (65) по обобщенным скоростям, получим r v =. (71) qi qi Подставляя (70) и (71) в (67), получим для проекций ускорения [ ( ) ] 1 d d v v wi = -. (72) v v Hi dt dqi qi Если ввести обозначение T = v2/2, то выражение для wi можно записать в более простом виде:

[ ] 1 d T T wi = -. (73) Hi dt qi qi Таким образом, для вычисления ускорения точки в криволинейных ортогональных координатах необходимо сначала найти коэффициенты Ламе, затем вычислить квадрат скорости точки v2 = H1q1 + H2q2 + H3q3, а потом 2 2 2 2 найти проекции ускорения по формуле (73).

Пример 2.1. Найдем скорость и ускорение материальной точки в сферической системе координат. Положение точки задается в сферической системе тремя криволинейными координатами: q1 = r (r 0) – расстоянием до начала координат, полярным q2 = (0 2) и азимутальным углами q3 = (0 ) соответственно (рис. 12).

Декартовы координаты выраz жаются через сферические следуюer ef щими соотношениями:

M(r,f,q) x = r sin cos, eq (74) y = r sin sin, q r z = r cos.

O y Найдем коэффициенты Ламе f по формуле (62), получим H1 = Hr = 1, H2 = H = x = sin, H3 = H = r.

Рис. 12. Сферическая система координат.

Теперь найдем проекции скорости согласно (66) vr =, v = r sin, v = r, (75) а также квадрат скорости v2 = 2 + 22 sin2 + 22. (76) Вычислим производные T/qi и T/qi:

T T = r(2 + 2 sin2 ), = ;

r T T = 0, = r2 sin2 ; (77) T T = r22 sin cos, = r2.

Подставим полученные производные в (73), чтобы найти проекции ускорения:

wr = r - r sin2 2 - r2, w = r sin + 2 sin + 2r cos, (78) w = r + 2r - r sin cos 2.

Глава КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Иногда бывает удобно описывать движение материальной точки по отношению к двум системам координат, одна из которых, как правило, не является инерциальной. Пусть имеется некоторая неподвижная инерциальная система отсчета K и система отсчета K1, движущаяся относительно K по некоторому заданному закону (рис. 13). Рассмотрим движение точки M относительно данных систем отсчета. Необходимо установить, как связаны между собой кинематические характеристики движения в подвижной и неподвижной системах отсчета.

Движение точки M относительно K1 называется относительz M ным или собственным движением.

''K'' z Движение K1, переносящее точки M r y относительно K, называется пере''K'' R j k O носным движением. Движение точi r ки M относительно инерциальной x системы K называется абсолютным O' h движением.

Положение системы отсчета Kx относительно K задается вектором, и ориентацией ортов i, j k.

Рис. 13. Сложное движение материальной точки Заметим, что уравнения движения точки имеют разный вид в системах отсчета K и K x = x(t), = (t), y = y(t), - урав-я движения в K1.

= (t), - урав-я движения в K.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.