WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ”Мордовский государственный университет им.Н.П.Огарева” А.В.Шорохов Кинематика Учебное пособие САРАНСК ИЗДАТЕЛЬСТВО МОРДОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2010 УДК 531.1 ББК В2 Ш796 Р е ц е н з е н т ы:

кафедра физики и методики обучения физике Мордовского государственного педагогического института им. М.Е. Евсевьева;

доктор физико-математических наук профессор В.Д.Кревчик;

доктор физико-математических наук профессор В.А.Маргулис Шорохов А.В.

Ш796 Кинематика : учеб. пособие / А. В. Шорохов. – Саранск : Изд-во Мордов. ун-та, 2010. – 52 с.

ISBN 978–5–7103 Учебное пособие содержит систематическое изложение кинематики, являющейся первой частью курса теоретической механики. Основные теоретические положения проиллюстрированы примерами. Методы решения задач показаны на типовых примерах.

Предназначено для студентов физических специальностей.

УДК 531.1 ББК В2 Учебное издание ШОРОХОВ Алексей Владимирович КИНЕМАТИКА Учебное пособие Печатается в авторской редакции в соответствии с представленным оригинал-макетом Подписано в печать Формат 68 84 1/16. Усл. печ. л. 3,02. Тираж 100 экз. Заказ №.

Издательство Мордовского университета Типография Издательства Мордовского университета 430005, Саранск, ул. Советская, 24 c ISBN 5-7103-1137-5 Шорохов А.В., 2010 c Оформление. Издательство Мордовского университета, 2010 СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ....................................................... 3 ВВЕДЕНИЕ............................................................ 4 Глава 1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.. 6 1. Векторный способ.............................................. 6 2. Координатный способ.......................................... 3. Естественный способ........................................... Глава 2. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА................................................ 1. Движение материальной точки в полярных координатах.... 2. Движение материальной точки в криволинейных координатах Глава 3. КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ............................................................... 1. Сложение скоростей.......................................... 2. Сложение ускорений.......................................... Глава 4. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА..... 1. Степени свободы. Обобщенные координаты системы. Связи. 2. Кинематика простейших движений абсолютно твердого тела. 2.1 Поступательное движение абсолютно твердого тела....... 2.1 Вращательно движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси....................................... 3. Углы Эйлера.................................................. Глава 5. КИНЕМАТИКА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА...................................... 1. Общая характеристика плоскопараллельного движения..... 2. Скорости точек плоской фигуры............................. 3. Мгновенный центр скоростей................................. 4. Ускорение точек плоской фигуры............................. 5. Мгновенный центр ускорений................................. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................... ПРЕДИСЛОВИЕ Теоретическая механика является одной из важнейших частей курса теоретической физики, поскольку, во-первых, именно в данном курсе формулируются основные понятия всей теоретической физики, а во-вторых, изучаемые методы теоретической механики, например, лагранжев формализм, обладают достаточной общностью и лежат в основе других фундаментальных дисциплин. Поэтому освоение студентами курса теоретической механики является условием понимания остальных разделов теоретической физики.

Несмотря на наличие большого числа учебников по данному курсу, студенты часто испытывают проблемы с усвоением нужного материал, так как существующие учебники, стремясь максимально строго и полно изложить основы механики, делают изложенный материал чрезвычайно громоздким и трудно читаемым. И такой разрыв между объемом и и содержанием лекционного материала и существующих учебников все увеличивается. Кроме того, существующие задачники по теоретической механики, как правило, не связаны непосредственно с содержанием того или иного учебника, поэтому студенты испытывают сложности с поиском необходимого для решения задач теоретического материала. Тем более это касается курса теоретической механики, предназначенного студентам физических специальностей, для которых важнейшим моментом обучения является использование полученных теооретических знаний для решения практических задач.

В пособии компактно и, в то же время, с достаточной строгостью, изложена первая часть курса теоретической механики ”Кинематика”. Особенно подробно изложены такие вопросы, традиционно вызывающие сложность при их изучении, как ”сложное движение материальной точки” и ”плоскопараллельное движение”. Излагаемый по каждому разделу теоретический материал проиллюстрирован примерами и типовыми задачами, что должно помочь приобретению практических навыков и лучшему усвоению теории.



Содержание пособия соответствует полной программе курса теоретической механики для студентов специальности ”Физика”. По данному пособию студенты могут проверить и дополнить свои лекционные записи. В результате студенты должны свободно ориентироваться в теоретических вопросах кинематики и быть способны свободно читать существующие учебники по теоретической механике.

ВВЕДЕНИЕ Теоретическая механика занимается изучением механического движения макроскопических тел. Под механическим движением понимается изменение положения тела в пространстве относительно некоторого выбранного тела, называемого телом отсчета. При этом подразумевается, что скорость движения тел мала по сравнению со скоростью света. Механическое движение происходит в пространстве (изменяется положение тел друг относительно друга) и во времени (изменение относительного расположения обладает длительностью), существование которых постулируется. Пространство и время в классической механике считаются абсолютными, то есть пространство является трехмерным евклидовым пространством, а время – непрерывно изменяющейся величиной, текущей от прошлого к будущему. Абсолютное пространство изотропно и однородно, а абсолютное время однородно, одномерно и одинаково во всем пространстве. Связав с телом отсчета систему координат и дополнив часами, получим систему отсчета. Заметим, что в классической механике пространство и время являются независимыми.

Теоретическая механика, как и любая другая наука, использующая математический аппарат, имеет дело не с реальными телами, а с их моделями.

Такими моделями в механике являются модели материальной точки, системы материальных точек, абсолютно твердого тела, сплошной среды. При построении модели у реальных тел оставляют только главные, определяющие свойства и отбрасывают второстепенные, то есть происходит идеализация объекта. Выбор адекватной модели для конкретной задачи является искусством исследователя.

В основе теоретической механике лежат принципы (постулаты), которые принимаются на веру без доказательств, как обобщение опытных фактов.

При этом сама наука строится дедуктивным методом. Исходя из принципов, путем строгих математических выводов возводится все здание классической механики.

Движение одного и того же тела в разных системах отсчета будет выглядеть по-разному (соответственно будут разными и законы движения). Наиболее просто движение выглядит в системах отсчета, называемых инерциальными. Существование инерциальных систем отсчета постулируется и составляет основное содержание первого принципа классической механики – принципа относительности Галилея.

Принцип относительности Галилея [1]. Существуют системы координат (называемые инерциальными), обладающие следующими свойствами.

1. Все законы природы во все моменты времени одинаковы во всех инерциальных системах координат.

2. Все системы координат, движущиеся относительно инерциальной равномерно и прямолинейно, инерциальны.

В инерциальных системах отсчета изолированное тело либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

Прежде чем рассматривать законы движения механических объектов, необходимо научиться описывать его движение в пространстве и времени, то есть определиться со способом задания положения объекта относительно выбранной системы отсчета. Решению этой задачи посвящен первый раздел теоретической механики, называемый кинематика. В кинематике движение описывается только с геометрической точки зрения, отвлекаясь от вопроса о причинах его возникновения.

Глава СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Простейшей моделью классической механики является модель материальной точки, под которой понимается тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Можно или нет считать тело материальной точкой зависит от конкретной задачи. Например, Землю можно считать материальной точкой, если мы рассматриваем её движение вокруг Солнца. В то же время если рассматривается движение искусственного спутника Земли, то необходимо учитывать реальную форму Земли.

Рассмотрим кинематику (от др.греч. µ – движение) материальной точки. Кинематически описать движение материального объекта – это значит указать способ задания положения объекта относительно выбранной системы отсчета и определить важнейшие механические характеристики движения – траекторию, скорость и ускорение. Существуют три способа задания движения материальной точки: векторный, координатный и естественный.

1. Векторный способ.

При векторном способе движение материальной точки задается радиусвектором направленным из центра системы координат, связанной с непоr, движным телом отсчета.

Конец радиус-вектора с течением времени описывает траекторию M движения точки (траектория – это r Dr совокупность всех положений, послеMдовательно занимаемых материальr ной точкой при ее движении в пространстве). При этом важно отметить, что в классической механике O функция всегда непрерывна. Таr(t) Рис. 1. Векторный способ задания движения ким образом, если мы найдем зависимость = то опишем движение точки.

r r(t), Пусть материальная точка движется из точки M, положение которой задается радиус-вектором в точку M1, описываемую радиус-вектором r(t) - -1 + t) по некоторой дуге MM1 (рис. 1). Вектор MM1 = 1 - соr r(t r r, единяющий начальное и конечное положения точки, называется вектором перемещения, а длина дуги MM1 – пройденным путем. Заметим, что пройденный путь совпадает с перемещением только тогда, когда материальная точка движется прямолинейно в одну сторону.





Определим среднюю скорость движения точки как отношение перемещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло:

r cp =. (1) v t В пределе t 0 получим мгновенную скорость (или просто скорость) материальной точки как отношение бесконечно малого приращения v радиус-вектора d к бесконечно малому промежутку времени dt, за который r произошло перемещение точки:

d r = = (2) v.

dt Очевидно, что вектор скорости направлен по касательной к траектории движения.

Аналогично определим среднее ускорение материальной точки v wcp = (3) t и мгновенное ускорение (или просто ускорение), характеризующее быстроту изменения вектора скорости d dv r w = = = = (4) v r.

dt dt2. Координатный способ При координатном способе задания движения положение материальной точки в пространстве определяется тремя независимыми координатами.

Рассмотрим сначала декартову прямоугольную систему координат с непо, движными ортами i, j k. Положение материальной точки в такой системе описывается координатами x, y, z (рис. 2). Соответственно уравнения движения будут иметь следующий вид:

x = x(t), (5) y = y(t), z = z(t).

Радиус-вектор материальной точки в этом случае непосредственно z M(x,y,z) выражается через ее координаты = x(t) + y(t) + z(t) (6) r(t) i j k.

r Если исключить из уравнений движения (5) время, то получим k уравнение траектории.

i j O y При этом скорость материальной точки определяется выражением d dx dy dz r x = = i + j + k = v dt dt dt dt Рис. 2. Координатный способ задания движе= vx + vy + vz (7) i j k.

ния материальной точки.

Здесь vx, vy, vz – проекции вектора скорости на соответствующие координатные оси.

Скорость материальной точки может быть также описана ее абсолютной величиной 2 2 v = | = vx + vy + vz (8) v| и направлением относительно координатных осей c помощью направляющих косинусов, задающих косинусы углов между вектором скорости и соответствующими ортами vx vy vz cos( i) =, cos( j =, cos( k) =. (9) v, v,) v, v v v Ускорение может быть описано способом, аналогичным скорости:

d dvx dvy dvz v w = = i + j + k = wx + wy + wz (10) i j k.

dt dt dt dt Абсолютная величина ускорения определяется формулой 2 2 w = |w| = wx + wy + wz, (11) а его направление относительно координатных осей также можно задать c помощью направляющих косинусов, которые определяют косинусы углов между вектором ускорения и соответствующими ортами:

wx wy wz cos(w, =, cos(w,) =, cos(w, =. (12) i) j k) w w w 3. Естественный способ.

Данный способ описания движения применяется тогда, когда известна траектория движения материальной точки. Отметим на кривой начало отсчета (точка O) и выберем положительное направление отсчета. Тогда каждому положению точки M будет соответствовать криволинейная координата s = s(t) (рис. 3а). Зависимость s(t) будет являться уравнением движения материальной точки.

O O M s=s(t) Ds M Dr M+ а б Рис. 3. Естественный способ задания движения.

Найдем скорость и ускорение материальной точки при естественном способе задания движения. Вначале определим среднюю скорость:

s r r cp = =. (13) v t s t Здесь s – путь, пройденный материальной точкой за время t (рис. 3б).

Перейдем к пределу t 0, чтобы получить мгновенную скорость:

s d ds r r = lim cp = lim lim = = v. (14) v v t0 s0 ts t ds dt Здесь v = ds/dt – абсолютная величина скорости, а = d – единич r/ds ный вектор, касательный к кривой s в точке M и коллинеарный с вектором скорости.

Найдем ускорение материальной точки, воспользовавшись его определением:

d d dv d v w = = (v) = + v. (15) dt dt dt dt Покажем, что вектор d/dt ортогонален вектору и найдем его абсо лютное значение.

Для этого рассмотрим произвольный единичный вектор 0, направление которого a Da меняется с течением времени. Так как норма вектора 0 равна единице, то справедливо a a соотношение a02 = a00 = 1. Продифферен a Df a цируем обе части данного тождества по времени. В результате получим Рис. 4. Поворот единичного вектора da 20 = 0. (16) a dt Отсюда следует, что векторы a0 и da0/dt взаимно ортогональны. Теперь пусть за время t вектор 0 повернулся на угол (рис. 4).

a Считая угол поворота малым, получим (см. рис. 4) a = a0 sin. (17) 2 2 Следовательно, |0|. Разделим обе части данного соотношения a на t и устремим t к нулю t 0. Тогда получим d0 d a = =, (18) dt dt где = d/dt – угловая скорость вращения вектора 0.

a Вернемся к нашей задаче. Из приведенного выше доказательства следует, что d = (19) n, dt где – вектор главной нормали к траектории движения точки, лежащий (как n и вектор ) в соприкасающейся плоскости [2] (рис. 5).

Таким образом, движение материальной точки можно предстаV t M вить в виде поступательного движения вдоль касательной со скоростью Соприкасающаяся n плоскость v и мгновенного вращения с угловой скоростью, которую можно выразить через радиус кривизны траектории и абсолютную скорость материРис. 5. Соприкасающаяся плоскость.

альной точки:

2v v = 2 = =. (20) Здесь – радиус кривизны траектории, совпадающий с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой, – частота движения при равномерном движении точки по окружности.

Формулу (19) можно переписать в следующем виде:

d =, (21) dt если заметить, что векторы и ортогональны, а вектор перпендикулярен n мгновенной плоскости вращения.

С учетом вышесказанного перепишем ускорение (15) в следующем виде:

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.