WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 |

ak = 2 1 0,785 sin120° = 1,36 м/с2.(24) Направление ускорения Кориолиса определяется направлением векторного произведения векторов и Vr, то есть направлено e перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и Vr (вектор e e при этом нужно перевести в точку M1) в сторону, откуда кратчайшее совмещение с Vr видно против хода часовой стрелки. Так как векторы e e и Vr расположены в координатной плоскости O1yz, то ak направлено параллельно оси O1x в сторону, противоположную оси O1x.

Направление ускорения Кориолиса можно найти другим способом, применив правило Н.Е.Жуковского. Суть правила Н.Е.Жуковского состоит в следующем. Прежде всего нужно найти проекцию вектора Vr на плоскость, перпендикулярную оси вращения (на плоскость O1xy). В данном случае эта n проекция направлена также, как вектор ae. Затем необходимо повернуть найденную проекцию в направлении вращения, указанному дуговой стрелкой, на угол /2. Полученное в результате поворота направление e проекции относительной скорости будет соответствовать направлению ak.

Для определения абсолютного ускорения найдем его проекции на оси координат x, y, z. Согласно (14) проекция абсолютного ускорения на любую n n ось равна алгебраической сумме проекций ускорений ae, ae, ar, ar, ak на ту же ось. Проекции этих ускорений на оси координат легко найти из чертежа. Таким образом, для момента времени t1=1 сек.

aax = - ae - ak = -0,5 -1,36 = -1,86 М/С2, 1 n n aay = - ae - ar cos60° + ar cos30° = -0,25 -1,232 +1,047 = 0,04 М/С2, 2 3 n aaz = ar cos30° - ar cos60° = -1,232 -1,047 = -1,59 м/с2.

2 По найденным трем проекциям абсолютного ускорения нетрудно найти его модуль и направление. Модуль абсолютного ускорения 2 2 aa = aax + aay + aaz = 1,862 + 0,042 +1,592 = 2,45 м/с2.

ЗАДАНИЕ К-В планетарном механизме (рис.3.1-3.6) шестерня I радиуса Rнеподвижна, а кривошип OA, вращаясь вокруг неподвижной оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости рисунка, приводит в движение свободно насаженную на его конец A шестерню II радиуса R2. Для указанного на рисунке положения механизма найти скорости и ускорения точек A и B, если для соответствующего момента времени известны абсолютные величины угловой скорости и углового ускорения кривошипа (, ). На рисунках условно показаны направления угловой скорости и OA OA углового ускорения дуговыми стрелками вокруг оси вращения. При этом направление угловой скорости соответствует направлению вращательного движения кривошипа. Угловое ускорение направлено в сторону угловой скорости при ускоренном вращении и в противоположную - при замедленном. Необходимые данные приведены в таблице 3.

Таблица № № R1 ROA OA варианта рисунка (м) (м) (с-1) (с-2) (град.) 13.1190,50,23.2180,60,33.3270,70,43.4260,80,53.5230,60,63.6350,70,73.1350,90,83.2340,50,93.3430,60,103.4420,70,113.5240,70,123.6360,70,133.1510,80,143.2110,50,153.3220,50,163.4310,60,173.5470,80,183.6590,80,193.1420,60,203.2510,70,213.3620,70,223.4710,80,233.5480,80,243.6110,50,253.1820,80,№ № R1 ROA OA варианта рисунка (м) (м) (с-1) (с-2) (град.) 263.2910,90,273.3110,60,283.4120,60,293.5120,60,303.6230,60,Пример выполнения задания К-Дано: кинематическая схема планетарного механизма (рис.3.7);

R1= 0,6 м ; R2= 0,4 м ; = 1 с-1 ; = 1 с-2. Определить скорости и OA OA ускорения точек A и B, показанных на рисунке, если = 60°.

Решение: Рассмотрим последовательно движения каждого из двух подвижных звеньев планетарного механизма. Начинать при этом необходимо со звена, угловая скорость и угловое ускорение которого заданы. Таким образом, начнем исследование кинематики механизма с кривошипа.

1. Кривошип OA совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Определим скорость и ускорение точки А кривошипа, которая одновременно принадлежит и подвижной шестерне II.

Абсолютная величина скорости точки А (VA) определяется по формуле VA = OA = (R1 + R2 ).(1) OA OA Для заданного положения механизма VA = 1(0,6 + 0,4)= 1 м/с. (2) Вектор скорости VA направлен перпендикулярно ОА (радиусу вращения) в направлении вращения, указанному на рис.3.5 дуговой стрелкой.

OA Ускорение точки А представим разложенным на касательную и нормальную составляющие n aA = aA + a A.(3) n Величины нормального (aA) и касательного (aA) ускорений определяются соответственно по формулам:

2 an = OA = (R1 + R2 ),(4) A OA OA a A = OA = (R1 + R2 ).(5) OA OA Для заданного положения механизма an = 12(0,6 + 0,4) = 1 м/с2.(6) A a A = 1(0,6 + 0,4) = 1 м/с2.(7) n При этом нормальное ускорение точки А (aA) направлено по радиусу окружности, описываемой точкой к центру этой окружности - к точке О.

R II A B R 1 OA R II OA O A R I B OA OA I O Рис. 3.1 Рис. 3.R O OA R II 2 OA OA O I A R R 1 OA B A I II Рис. 3.3 Рис. 3. OA R R R A O OA OA II R O A II OA I B B I Рис. 3.Рис. 3. y II V A A R V B n a A n a C BA V a A I OA B x OA a BA O R Рис. 3.Касательное ускорение (a A) направлено по касательной к этой окружности (перпендикулярно OA) в сторону, указанную дуговой стрелкой. Это OA объясняется тем, что при замедленном вращении (по условию задачи кривошип ОА вращается замедленно) касательное ускорение направляется в сторону, противоположную направлению вращения, указанного дуговой стрелкой. В то же время при замедленном вращении угловое ускорение OA направляется также в сторону, противоположную направлению угловой скорости.

Величина ускорения точки А в соответствии с соотношением (3) и с учетом (6) и (7) для заданного положения механизма определится по формуле:

2 n aA = (aA) +(a A) = 12 +12 = 2 м/с2.



2. Шестерня II совершает плоскопараллельное (плоское) движение.

Учитывая, что шестерня II катится без скольжения по неподвижной шестерне I, мгновенный центр скоростей (точка СV) подвижной шестерни будет находиться в точке соприкосновения двух шестерен (рис.3.5).

Для заданного положения планетарного механизма выше определена скорость центра шестерни II (точки А). Таким образом, зная величину скорости одной из точек и положение мгновенного центра скоростей подвижной шестерни, можно определить величину ее мгновенной угловой скорости ( ) по формуле VA =,(7) ACV где расстояние ACV= R2.

В результате подстановки значения ACV= R2 и (1) в соотношение (7) получим (R1 + R2 ).(8) OA = RДля заданного положения механизма 1(0,6 + 0,4) = = 2,5 c-1.(9) 0,Направление мгновенного вращения шестерни II вокруг мгновенного центра скоростей (точки CV), определяемое направлением скорости точки А (VA), условно показано на рис.3.5 дуговой стрелкой.

Шестерня II в указанном положении движется замедленно. Это следует из сопоставления направлений векторов VA и a A (они направлены в противоположные стороны). Следовательно угловое ускорение шестерни II ( ) направлено в сторону, противоположную направлению угловой скорости, что условно показано на рис.3.5 дуговой стрелкой.

2 Величину углового ускорения определим по формуле =.(10) 2 Учитывая (8), на основании (10) получим (R1 + R2 ) (R1 + R2 ).(11) OA OA = = R2 Rгде - величина углового ускорения кривошипа ОА. Для OA заданного положения механизма 1(0,6 + 0,4) = = 2,5 с-2.(12) 0,Таким образом, для некоторого момента времени найдены положение мгновенного центра скоростей, угловая скорость, угловое ускорение подвижной шестерни II, а также ускорение точки А. Это позволяет найти скорость и ускорение любой точки шестерни.

Прежде всего определим абсолютную величину скорости точки B (VB) по формуле VB = BCV,(13) где BCV - расстояние от точки В до мгновенного центра скоростей.

Расстояние ВСV определим из треугольника ABCV. Этот треугольник равносторонний и, следовательно, BCV= R2= 0,4 м. (14) Для заданного положения механизма, учитывая (9) и (14), на основании (13) получим VB= 2,5. 0,4 = 1 м/с. (15) Вектор скорости VB направлен перпендикулярно прямой BCV.

Ускорение точки B можно найти на основании теоремы об ускорениях точек плоской фигуры, приняв точку A за полюс n aB = aA + aBA + aBA,(16) n где aBA и a BA - соответственно нормальное и касательное ускорения точки B при относительном вращательном движении шестерни II вокруг полюса А. Учитывая (3), формулу (16) представим в виде n n aB = aA + a A + aBA + aBA.(17) n Величины нормального (aBA) и касательного (a BA) ускорений точки B при относительном вращательном движении шестерни II вокруг полюса A определяются по формулам n 2 aBA = BA = R2,(18) 2 a BA = BA = R2.(19) 2 Для заданного положения механизма на основании (18) и (19) с учетом (9) и (12) получим n aBA = 2,52 0,4 = 2,5 м/с2, (20) a BA = 2,5 0,4 = 1 м/с2.(21) n При этом нормальное ускорение aBA направлено вдоль ВА к центру относительного вращения (к полюсу А), а касательное ускорение a BA направлено перпендикулярно прямой АВ в сторону, указанную дуговой стрелкой.

Таким образом, найдены модули четырех векторов ускорений, стоящих в правой части векторного равенства (17), и показаны их направления в точке В на рис. 3.5. Найдем ускорение точки В как геометрическую сумму четырех показанных в точке ускорений аналитическим способом. Для этого спроектируем векторы, стоящие в правой и левой части равенства (17), на две оси координат x, y (рис.3.5) n aBx = a A - aBA cos30° - a BA cos 60°,(22) n n aBy = -aA + aBA cos60° - a BA cos30°.(23) Учитывая (6), (7) (20) и (21), на основании (22) и (23) найдем для заданного положения механизма проекции ускорения точки В на оси x, y 3 aBx = 1- 2,5 -1 = -1,665 м/с2, 2 1 aBy = -1+ 2,5 -1 = -0,616 м/с2.

2 Проекции вектора ускорения aB (лежащего в плоскости xy ) на две оси координат полностью определяют его модуль и направление. Итак, величина 2 aB = aBx + aBy = 1,6652 + 0,6162 = 1,775 м/с2.

Задание К-В дифференциальном механизме (рис. 4.1-4.6) шестерня I радиуса R1 и кривошип OA вращаются независимо друг от друга вокруг неподвижной оси O. Кривошип OA приводит в движение свободно насаженную на его конец шестерню II радиуса R2. Для указанного на рисунке положения механизма найти скорости и ускорения точек A и B, если для момента времени, соответствующего указанному положению механизма, известны абсолютные величины угловой скорости и углового ускорения шестерни I (, ) и 1 кривошипа OA (, ). На рисунке условно показаны направления OA OA угловых скоростей и угловых ускорений дуговыми стрелками вокруг осей вращения. При этом направления угловых скоростей соответствуют направлениям вращательных движений. Угловые ускорения направлены в сторону угловой скорости при ускоренном вращении и в противоположную сторону - при замедленном. Необходимые данные приведены в таблице 4.

Таблица № № R1 R1 1 OA OA варианта рисунка (м) (м) (c-1) (c-2) (c-1) (c-2) (град.) 14.10,11190,5 0,24.20,22180,6 0,1 34.30,31270,7 0,2 44.40,42260,8 0,2 54.50,32230,6 0,1 64.60,51350,7 0,2 74.10,51350,9 0,3 84.20,62340,5 0,3 94.30,71430,6 0,4 104.40,82420,7 0,4 114.50,41240,7 0,2 124.60,61360,7 0,2 134.10,91510,8 0,5 144.212110,5 0,154.321220,5 0,2 164.412310,6 0,3 174.50,72470,8 0,3 184.60,91590,8 0,3 194.121420,6 0,4 204.221510,7 0,5 214.321620,7 0,1 224.412710,8 0,2 234.50,82480,8 0,3 244.621110,5 0,254.112820,8 0,3 № № R1 R1 1 OA OA варианта рисунка (м) (м) (c-1) (c-2) (c-1) (c-2) (град.) 264.221910,9 0,4 274.30,11110,6 0,284.40,22120,6 0,1 294.521120,5 0,2 304.60,31220,7 0,3 Пример выполнения задания К-Дано: кинематическая схема дифференциального механизма (рис.4.5);





R1= 0,2 м ; R2= 0.1 м ; = 2 с-1 ; = 2 с-2; = 1 с-1 ; = 1 с-2.

OA OA 1 Определить скорости и ускорения точек A и B, показанных на рисунке, если = 90°.

Решение. Рассмотрим последовательно движение каждого из трех звеньев дифференциального механизма, начиная с одного из ведущих звеньев, то есть, начиная со звена, угловая скорость и угловое ускорение которого заданы.

1. Кривошип ОА совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости рисунка. Определим скорость и ускорение точки A кривошипа, принадлежащей одновременно шестерне II. Величину скорости точки A (VA) определим по формуле VA = OA = (R1 + R2 ).(1) OA OA Для заданного положения механизма VA = 2 (0,1+ 0,2) = 0,6 м/с. (2) Вектор скорости точки А (VA) направлен перпендикулярно радиусу вращения (ОА) в направлении вращения кривошипа, указанному на рисунке 4.5 дуговой стрелкой.

OA Ускорение точки A представим в виде геометрической суммы нормального и касательного ускорений n aA = aA + a A.(3) n Величины нормального ( aA) и касательного (a A) ускорений определим соответственно по формулам:

2 an = OA = (R1 + R2 ),(4) A OA OA a A = OA = (R1 + R2 ).(5) OA OA Для заданного положения механизма an = 22(0,2 + 0,1) = 1,2 м/с2.(6) A a A = 2 (0,2 + 0,1) = 0,6 м/с2.(7) I R R 1 OA R R 2 OA II II OA O O A A OA B B I Рис. 4.Рис. 4.I I R R OA OA R II R II O O A A OA OA B B Рис. 4.Рис. 4.I I R 1 OA R R II OA OA R II O O A A OA B 1 B Рис. 4.5 Рис. 4. II R y - V A V A B a A n a A V a K BA n a BA I K B C OA V x OA O R 1 Рис. 4.n При этом нормальное ускорение точки А (aA) направлено по радиусу окружности, описываемой точкой А, к центру этой окружности - к точке О, а касательное ускорение (aA) - по касательной к этой окружности, перпендикулярно ОА, в сторону, указанную дуговой стрелкой.

OA Величина ускорения точки A в соответствии с (3) и с учетом (6) и (7) будет равна 2 n aA = (aA) +(a A) = 1,22 + 0,62 = 1,8 м/с2.

2.. Шестерня I совершает вращательное движение вокруг той же оси, что и кривошип ОА.

Определим величину скорости точки K касания двух шестерен (VK) VK = R1.(8) Для указанного положения механизма VK = 1 0,2 = 0,2 м/с. (9) Вектор скорости точки K (VK ) направлен перпендикулярно радиусу вращения (R1) в направлении вращения шестерни I, указанном на рисунке дуговой стрелкой.

3. Шестерня II совершает плоскопараллельное (плоское) движение.

Для момента времени, соответствующего заданному положению механизма, выше определены скорости двух точек этой шестерни (точек A и K), а также ускорение точки А. Это позволяет определить скорость и ускорение любой точки шестерни II.

Прежде всего необходимо найти положение мгновенного центра скоростей (точку CV) шестерни II. Так как скорости точек A и K параллельны друг другу и при этом линия AK перпендикулярна скоростям VA и VK, то мгновенный центр скоростей, находящийся в точке пересечения прямых, проведенных через начала и концы векторов скоростей (рис.4.5). Здесь учтено, на основании сравнения (2) и (9), что VA> VK.

Величина угловой скорости шестерни II может быть определена на основании соотношения VA VK = =.(8) ACV KCV Из свойств пропорции получим VA -VK VA -VK = =.(9) ACV - KCV RПодставляя (1) и (8) в равенство (11), получим (R1 + R2 )- ROA =.(12) RДля заданного положения механизма 2 (0,2 + 0,1)-1 0, = = 4 с-1.(13) 0,Направление вращения шестерни II вокруг мгновенного центра скоростей (точки CV), определяемое направлением скоростей точек A и K, условно показано на рисунке дуговой стрелкой.

Алгебраическую величину углового ускорения шестерни II определим на основании формулы =.(14) 2 Учитывая (12), на основании (14) получим (R1 + R2 )- ROA =.(15) RПо условию задачи кривошип OA вращается ускоренно. Это значит, что абсолютная величина угловой скорости кривошипа возрастает. В OA этом случае > 0, то есть OA =,(16) OA OA где - заданная абсолютная величина углового ускорения кривошипа.

OA Шестерня I вращается замедленно. При этом абсолютная величина угловой скорости шестерни I убывает и, следовательно, < 0. Таким образом = -,(17) 1 где - заданная величина углового ускорения шестерни I.

В результате подстановки (16) и (17) в (15) найдем (R1 + R2 )+ ROA =.

RДля заданного положения механизма 2 (0,2 + 0,1)+1 0, = = 8 с-2.(18) 0,Так как знаки и совпадают, шестерня II вращается ускоренно.

2 Направление покажем на рисунке дуговой стрелкой в сторону.

2 На основании (1),(10) и (12) нетрудно найти расстояние ACV VA ACV =.

Для заданного положения механизма, учитывая (2) и (13), получим 0,ACV = = 0,15 м.

Величину скорости точки B (VB) можно найти по формуле VB = BCV,(19) где BCV = ACV + AB2 = 0,152 + 0,12 = 0,18 м.(20) Учитывая (13) и (20) на основании (19) найдем величину скорости точки B для заданного положения механизма VB = 4 0,18 = 0,72 м/с.

Вектор скорости (VB ) направлен перпендикулярно прямой BCV в сторону вращения шестерни II, указанную дуговой стрелкой.

Ускорение точки B можно найти на основании теоремы об ускорениях точек плоской фигуры, приняв точку A за полюс n aB = aA + aBA + aBA,(21) n где aBA и a BA - соответственно нормальное и касательное ускорения точки B при относительном вращательном движении шестерни II вокруг полюса А.

Pages:     | 1 || 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.