WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра "Теоретическая механика" Одобрено методической комиссией по общенаучным дисциплинам РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО КИНЕМАТИКЕ Методические указания по курсу ''Теоретическая механика" для студентов всех специальностей Под редакцией д.ф.-м.н., проф. Бондаря В.С.

МОСКВА 2003 2 Авторский коллектив: Л.В.Божкова, А.И.Блохина, Г.И.Норицына, В.К.Петров, В.А.Ерошин, Ю.М.Темис, А.И.Зубков. Под редакцией д.ф.-м.н., проф. Бондаря В.С..

Расчетно-графические работы по кинематике. Методические указания по курсу "Теоретическая механика" для студентов всех специальностей. Третье издание.

В настоящий сборник включены пять заданий по разделу "кинематика".

Каждое задание содержит 30 вариантов. Приведены примеры выполнения всех заданий с пояснениями.

© Московский государственный технический университет «МАМИ», 2003.

3 ЗАДАНИЕ К-1 Точка движется в координатной плоскости xy. Закон движения точки задан уравнениями x = x(t), y = y(t) ( х, у - в сантиметрах, t - в секундах).

Определить траекторию точки и для момента времени t = t1, сек. найти:

- положение точки на траектории;

- скорость и ускорение точки;

- касательную и нормальную составляющие ускорения;

- радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Необходимые данные для расчета приведены в таблице 1.

Таблица I.

Вариант x = x(t), см y = y(t), см t1, сек 1 x = 2t2+ 3y = -5t0.5 2 1.0 t t x = 4cos + 2 y = 4sin 3 3 3 1.0 t t x = - cos + 3 y = sin -1 3 3 4 x = 4t + 4 4 2.0 y = t +1 5 1.0 t t x = 2sin y = -3cos + 4 3 3 6 x = 3t2+ 2y = 4t 0.5 7 x = 3t2- t + 1 5t 1.0 2 y = 5t - - 2 3 8 1.0 t t x = 7sin + 3 y = 2 - 7 cos 6 6 9 - 3 y = 3t + 6 2.0 x = (t + 2) 10 t 1.0 t x = -4cos y = -2sin - 3 3 3 11 x = -4t2+ 1y = -3t 0.12 1. t t x = 5sin y = -5cos - 6 13 1. t t x = 5cos y = -5sin 3 14 x = -2t – 2 2 2.y = t +15 1. t t x = 4cos y = -3sin 3 Вариант x = x(t), см y = y(t), см t1, сек 16 x = 3ty = 4t2+ 1 0.17 1. t t x = 7sin - 5 y = -7 cos 6 18 1. t t x = 1+ 3cos y = 3sin + 3 19 x = -5t2- 4y = 3t 1.20 x = 2 – 3t – 6t2 3t 0.y = 3 - - 3t 21 1. t t x = 6sin - 2 y = 6cos + 6 22 x = 7t2- 3y = 5t 0.23 x = 3 – 3t2+ t 5t 1.y = 4 - 5t + 24 1. t t x = -4cos -1 y = -4sin 3 25 x = -6ty = -2t2- 4 1.26 1. t t x = 8cos + 2 y = -8sin - 6 27 1. t t x = -3 - 9sin y = -9cos + 6 28 x = -4t2+ 1y = -3t 1.29 5t y = 3t2+ t + 3 1.x = 5t + - 30 1. t t x = 2cos - 2 y = -2sin + 3 Пример выполнения задания К-Заданы уравнения движения точки x = 4t +(1) y = 2t (х, у - в сантиметрах, t - в секундах).

Определить траекторию точки и для момента времени t1 = 1 сек.

найти:

- положение точки на траектории;

- скорость и ускорение точки;

- касательную и нормальную составляющие ускорения;

- радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение:

1. Уравнения движения точки (1) можно рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме. При этом параметром является время t. Чтобы найти уравнение траектории точки в координатной форме, необходимо исключить из уравнений (1) параметр t. В результате получим x = y2+ 1. (2) Уравнение (2) есть уравнение параболы, осью симметрии которой является ось Ox (рис.1.1).

y V 1Y V a M V S 1X a =a 1 1X 1 n a O 2 3 4 x Рис. 1.Из уравнений (1) следует, что координаты x и y все время положительны, так как время t 0. Таким образом, траекторией точки является верхняя ветвь параболы, показанная на рис.1.1 сплошной линией.

2. Подставляя значение времени t1 = 1 сек. в уравнения (1), найдем координаты точки в указанный момент времени:

х1 = 5 см, у1 = 2 см. (3) На основании (3) покажем положение точки на траектории (рис.1.1).

3. Для определения скорости точки найдем проекции вектора скорости на оси координат по формулам VX = x = 8t (4) VY = y = По найденным проекциям вектора скорости на оси координат нетрудно найти модуль скорости (V) и ее направление 2 V = VX + VY2 = 64t + 4 (5) В момент времени t1 = 1 сек.

V1x = 8 см/с, V1y = 2 см/с, V1 = 8,124 см/с. (6) На основании (6) вектор скорости V1 строим в точке M1 траектории как геометрическую сумму составляющих V1x и V1y ( V1 = V1x + V1y, где V1x = V1xi, V1y = V1y j ; i, j - орты осей x и y ). При этом вектор V1 должен быть направлен по касательной к траектории точки (рис. 1.1).

4. Аналогично найдем ускорение точки по его проекциям на координатные оси:

ax = x = (7) ay = y = a = a2 + aY = 8 см/с2. (8) X Как следует из (7) и (8), в данном случае проекции вектора ускорения на оси координат, а также его модуль не зависят от времени t, то есть являются постоянными величинами. Таким образом, в момент времени t1 = сек, учитывая (7) и (8), a1x = 8 см/с2, a1y = 0 см/с2, (9) a1 = 8 см/с2.(10) На основании (9) вектор ускорения a1, строим в точке M1, как геометрическую сумму составляющих a1x и a1y ( a1 = a1x + a1y, где a1x = a1xi, a1y = a1y j ; i, j - орты осей x и y ). В рассматриваемом случае a1 = a1x (рис.1.1).

5. Определим касательную и нормальную составляющие ускорения точки. Касательная составляющая ускорения характеризует изменение вектора скорости по модулю, а нормальная составляющая характеризует изменение вектора скорости по направлению.

Модуль касательного ускорения точки ( a ) можно найти на основании формулы dV a =.(11) dt Принимая во внимание соотношение (5), производную dV/dt можно представить в виде dV d 64 2 t = ( 64t + 4)=.(12) dt dt 2 64t + Для момента времени t1= 1 сек. на основании (12) с учетом (6) и (9) получим dV 64 2 t = = 7,76 см/с2.(13) dt 2 64t2 + Таким образом, модуль касательного ускорения точки в момент времени t1= 1 сек.



a = 7,76 см/с2.(14) Знак "+" при dV/dt показывает, что модуль скорости возрастает, то есть движение точки является ускоренным и, следовательно, направления векторов V1 и a1 совпадают (рис.1.1). Модуль нормального ускорения точки определим по формуле an = a2 - a 2.(15) Для момента времени t1= 1 сек, учитывая (8) и (14), на основании (15) получим a1n = 82 - 7,762 = 1,94 см/с2.(16) Нормальное ускорение точки направлено перпендикулярно касательному ускорению в сторону вогнутости кривой (рис.1.1). Ускорение a найдено как по составляющим a1x и a1y, так и по составляющим a1n и aчем проверяется правильность проведенных вычислений.

6. Радиус кривизны траектории ( ) в данной точке можно определить на основании формулы для нормального ускорения V an =.(17) Таким образом, в точке M1 траектории (где находится точка при t1= сек.), учитывая (6), (16) и (17), получим V = = 35 см. (18) a1n Примечание. В случаях, если траекторией точки является либо некоторая прямая, либо окружность определенного радиуса, радиус кривизны такой траектории в каждой точке известен заранее. При этом формулы, приведенные в пункте 6, могут служить основанием для проверки результатов, получаемых в пунктах 3-5.

ЗАДАНИЕ К-Тело D (рис.2.1-2.6) вращается вокруг неподвижной оси по закону = (t) ( измеряется в радианах, t - в секундах; положительное направление отсчета угла показано на рисунках дуговой стрелкой). По телу вдоль прямой AB (рис.2.1, 2.5, 2.6), или по окружности радиуса R (рис.2.22.4) движется точка М по закону S=OM=f(t) см (положительное и отрицательное направления отсчета координаты S от точки O указаны соответственно знаками плюс (+) и минус (-)). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=t1 сек.

Необходимые данные приведены в таблице 2.

Таблица № № Уравнение вращательного Уравнение t1 R a вар. рис. движения движения точки М (сек) (см) (см) OM = S = f (t) (см) = (t) (рад) 1 2.1 2 - 2 t2 16 cos( t /4) 2 2.2 0.5 10 2 t2 10 t 3 2.3 0 5 2 t5 t 4 2.4 0,5 20 t2 20 sin( t/3) 5 2.5 5 - 2t2 1 - sin( t/6) 6 2.6 t3 7 - 4t2 1 - 7 2.1 2t5 – 5t2 1 - 8 2.2 1 20 t3 20 t 9 2.3 1 80 3 t 2 20 t10 2.4 1 5 t3 5 t 11 2.5 3t – t2 1 - cos( t/3) 12 2.6 t2 2 - 4 sin( t/4) 13 2.1 1 - t2 6 sin( t/6) 14 2.2 1 10 2 t10 t15 2.3 1 1 t3 (2 – t2) 16 2.4 2 10 2 t10 cos( t/6) 17 2.5 t2 1 - cos( t/2) 18 2.6 2t 2 - 8 sin( t/2) 19 2.1 3t2- 8t 1 - (t2+ 3t) 20 2.2 1,5 8 t2 8 t 21 2.3 2 12 4 t2 2 (t + t2) 22 2.4 1 2 4 + 2 t2 3 (2 – t3) 23 2.5 2 – 4t2 1 - cos( t/6) 24 2.6 3t – t2 2t2- 4 1 - 25 2.1 1 - 8 t + t2 4 cos( t/2) 26 2.2 0,5 20 3 t2 40 t27 2.3 1 8 2 t3 20 t № № Уравнение вращательного Уравнение t1 R a вар. рис. движения движения точки М (сек) (см) (см) OM = S = f (t) (см) = (t) (рад) 28 2.4 1 16 0,6 t2 (10t – 2t2) 29 2.5 1 – 2t2 1 - sin( t/3) 30 2.6 2t 1 - 4 cos( t/3) Пример выполнения задания К-Диск радиуса R = 0,5 м вращается вокруг своего вертикального диаметра OB (рис.2.7) по закону = t3- 2t2 ( измеряется в радианах, t - в секундах; положительное направление отсчета угла показано на рисунке дуговой стрелкой). По ободу диска движется точка M по закону R S = OM = (7t - 2t ) м. (положительное и отрицательное направления отсчета дуговых координат S от точки O указаны соответственно знаками плюс (+) и минус (-)). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени t1=1 секунда.

Решение. Для определенности свяжем жестко с диском систему координат O1xyz (координатная плоскость O1yz совмещена с плоскостью диска). Движение точки М рассматриваем как сложное. Вращение диска (подвижной системы координат O1xyz ) вокруг вертикальной неподвижной оси O3z1 считаем переносным. При этом движение точки М по ободу диска будет относительным. Рассмотрим более полно эти движения.

1. Закон переносного вращательного движения задан уравнением = t3- 2t2.(1) Определим угловую скорость и угловое ускорение переносного вращения как алгебраические величины:

= = 3t - 4t ;

e = = 6t - 4.

e e В момент времени t1= 1 сек.

=-1 c-1 ; = 2 c-2.(2) e e Знак угловой скорости определяет направление вращения тела вокруг неподвижной оси. В рассматриваемом случае <О. Это означает, что e вращение в момент времени t1= 1 сек. происходит в направлении убывания угла (то есть в отрицательном направлении отсчета ). Путем сопоставления знаков угловой скорости и углового ускорения можно установить характер вращательного движения, то есть является оно ускоренным или замедленным. В рассматриваемом случае, как следует из (2), знаки угловой скорости и углового ускорения разные ( <0, >0). Это e e D B M O R M O + o A D O Рис. 2.Рис. 2.M M R R a + O + O 1 O O D D Рис. 2.3 Рис. 2.a B A M a O + o + - O M D D B O A Рис. 2.Рис. 2.a a a a + a a z, z _ V r _ _ a k _ M a _ e n O a e _ _ n V e _ _ n a a r r R O y _ e x + M O e e y O x Рис. 2.показывает, что в момент времени t1=1 сек. абсолютная величина угловой скорости убывает, то есть вращение диска является замедленным. Угловая скорость и угловое ускорение на рисунке 2.5 условно показаны дуговыми стрелками вокруг оси вращения.

2. Относительное движение точки M задано естественным способом, так как известны: траектория относительного движения (окружность радиуса R=0,5 м с центром в точке О1), начало и положительное направление отсчета дуговых координат S, а также закон движения точки по траектории, определяемый уравнением R S = (7t - 2t ) м. (3) Сначала установим положение точки M на дуге окружности в момент времени t1=1 сек. Подставляя в уравнение (3) t1=1 сек., получим 5 R S1 = (м) (4) Центральный угол, соответствующий дуге окружности (4), определится по формуле S1 OO1M1 = = рад.





R Таким образом, как следует из рисунка 2.5, угол = - = рад.

6 В положении точки M1, покажем орты двух естественных осей и n (орт направляется по касательной к окружности радиуса R в сторону возрастания дуговых координат S, а орт главной нормали n - к центру окружности O1).

3. Найдем абсолютную скорость точки М по формуле:

Va = Ve +Vr,(5) где Ve и Vr соответственно переносная и относительная скорости точки.

Для определения переносной скорости точки в момент времени t1=сек. нужно мысленно остановить относительное движение точки в положении M1, и определить ее скорость как точки, жестко связанной с подвижной системой координат, то есть с диском. Диск, как было указано выше, совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси O3z1. В силу этого величина переносной скорости (Ve ) определится по формуле Ve = h (6) e где h - расстояние от точки M1 до оси вращения. Из прямоугольного треугольника O1M1O2 (рис.2.5) h = M1O2 = R sin = 0,5sin = 0,25 м. (7) Таким образом, на основании (6) с учетом (2) и (7) величина переносной скорости точки М в момент t1=1 сек. будет Ve=0,25 м/с. (8) Вектор Ve направлен перпендикулярно плоскости диска (значит параллельно оси O1x ) в направлении вращения, указанному дуговой стрелкой.

e Для определения относительной скорости точки M1 (Vr ) нужно мысленно остановить переносное движение (вращательное движение диска) и найти скорость точки при ее движении по окружности радиуса R по закону (3). Проекция вектора Vr на направление орта определяется по формуле:

R Vr = S = (7 - 4t).(9) В момент времени t1=1 секунда R Vr = = м/с.(10) 2 Положительный знак проекции Vr указывает, что вектор Vr направлен в сторону. В общем случае величина относительной скорости (Vr) определяется по формуле Vr = Vr = 0,785 м/с. (11) Так как векторы Ve и Vr взаимно перпендикулярны (вектор Vr расположен в координатной плоскости O1yz, а вектор Ve параллелен оси O1x), величина абсолютной скорости (Va) может быть определена на основании теоремы Пифагора. В момент времени t1=1 сек.

Va = Ve2 +Vr2 = 0,82 м/с. (12) 4. Определим абсолютное ускорение точки M.

В рассматриваемом случае переносное движение не является поступательным. В силу этого найдем абсолютное ускорение точки на основании теоремы Кориолиса по формуле аa = ae + ar + ak,(13) где ae, ar, ak - соответственно переносное, относительное и кориолисово ускорения точки.

При определении абсолютного ускорения целесообразно разложить ae и ar на нормальную и касательную составляющие n n ae = ae + ae, ar = ar + ar.

При этом соотношение (13) примет вид n n aa = ae + ae + ar + ar + ak (14) При определении переносного ускорения точки в момент времени t1=сек. аналогично, как и при определении переносной скорости, мысленно останавливаем относительное движение и определяем ускорение точки Mкак точки, неизменно связанной с диском (с подвижной системой координат). При вращательном движении диска вокруг неподвижной оси O3z1 величины нормального и касательного ускорения точки М1 диска определяются соответственно по формулам n ae = h = 0,25 м/с2,(15) e ae = h = 0,5 м/с2.(16) e n Вектор ae направлен по радиусу окружности, описываемой точкой Мn диска, к центру этой окружности - точке O2 (ae параллелен оси O1y).

Ускорение ae направлено по касательной к этой окружности, то есть n перпендикулярно ae ( ae параллелен оси O1x). Так как диск в указанный момент времени t1=1 сек. вращается замедленно, то векторы Ve и ae направлены в противоположные стороны, то есть направление вектора ae определяется направлением углового ускорения, которое показано на рис.

e 2.7 дуговой стрелкой.

Относительное движение, как было подчеркнуто выше, задано естественным способом. При этом проекции относительного ускорения точки на естественные оси, положительные направления которых определяются ортами и n, можно найти по формулам ar = S = - R = - = -1,047 м/с2,(17) 3 Vr2 Vrarn = = = 1,232 м/с2.(18) R Отрицательный знак проекции ar указывает, что вектор ar направлен в противоположную сторону орта. Нормальное ускорение всегда направлено в сторону орта n, то есть по главной нормали к центру кривизны n траектории точки. Таким образом, в рассматриваемом случае вектор ar направлен к центру O1, окружности радиуса R, являющейся траекторией относительного движения точки. Величины относительного касательного n ( ar ) и относительного нормального ( ar ) ускорений согласно (17) и (18) будут соответственно равны ar = ar = 1,047 м/с2,(19) n ar = arn = 1,232 м/с2.(20) Ускорение Кориолиса ( ak ) определяется по формуле ak = 2 Vr.(21) e Вектор угловой скорости переносного вращения направлен по оси e вращения в ту сторону, откуда вращение наблюдается против хода часовой стрелки (рис.2.5). В момент времени t1=1 сек., учитывая (2), = 1 сек-1.(22) e Модуль ускорения Кориолиса ( ak ) на основании свойств векторного произведения двух векторов, очевидно, равен ^ ak = 2 Vr sin( Vr ).(23) e e Учитывая (22), (11), на основании (23) получим:

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.