WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 35 |

Стационарной подгруппой Ga G вектора a V называется подгруппа, состоящая из всех элементов g G, оставляющих вектор a неподвижным, т. е. таких, что g(a) = a.

Вообще говоря, не каждая подгруппа G0 конечной группы G линейных преобразований является стационарной подгруппой некоторого вектора a. В качестве примера достаточно рассмотреть циклическую группу линейных преобразований комплексной прямой, порожденную оператором умножения на первообразный корень степени n из единицы. Если число n не является простым, то эта циклическая группа имеет нетривиальную подгруппу, но стационарные подгруппы всех элементов тривиальны (тождественная подгруппа для каждого элемента a = 0 и вся циклическая группа для a = 0). Таким образом, существование вектора a, неподвижного лишь для преобразований из подгруппы G0, не очевидно и верно не для всех представлений группы G.

Глава. Разрешимость и теория Галуа Л.. Пусть Ga и Gb – стационарные подгруппы векторов – a и b некоторого векторного пространства V. Тогда в подпространстве L, порожденном векторами a и b, существует вектор c, стационарная группа Gc которого равна Ga Gb.

Д. Подгруппа Ga Gb оставляет неподвижными все векторы подпространства L. Однако каждый элемент g Ga Gb / нетривиально действует либо на вектор a, либо на вектор b. Векторы из L, неподвижные относительно действия фиксированного элемента g Ga Gb, образуют собственное подпространство в L. По / утверждению. такие подпространства не могут покрыть все пространство L.

Пусть G – некоторая группа автоморфизмов поля P. Неподвиж– ные элементы относительно действия группы G образуют подполе, которое мы обозначим через K. Поле P можно рассматривать как векторное пространство над полем K.

В теории Галуа важную роль играет следующая теорема.

Т.. Пусть G – некоторая конечная группа автомор– физмов поля P. Тогда для всякой подгруппы G0 группы G существует элемент x P, стационарная подгруппа которого совпадает с подгруппой G0.

Для доказательства удобно воспользоваться пространством полиномов P[t] с коэффициентами из поля P. Каждый элемент f пространства P[t] имеет вид f = a0 +... + amtm, где a0,..., am P. Полином f P[t] задает отображение f : P P, переводящее точку x P в точку f (x) = a0 +... + amxm. Каждому автоморфизму поля P соответствует индуцированный автоморфизм кольца P[t], переводящий полином f = a0 +... + amtm в полином f = (a0) +... + (am)tm. Для каждого элемента x P справедливо тождество f (x) = ( f (x)).

Итак, группа автоморфизмов G поля P действует на кольце P[t]. Для всякого k 0 пространство Pk[t] полиномов степени не выше k инвариантно относительно этого действия.

Л.. Пусть группа автоморфизмов G поля P содержит m элементов. Тогда для всякой подгруппы G0 группы G существует полином f степени, меньшей чем m, стационарная подгруппа которого совпадает с подгруппой G0.

Д. Действительно, согласно следствию. существует элемент a P, на орбите O которого группа G действует свободно. В частности, орбита O содержит ровно m элементов.

§. Автоморфизмы и соотношения Пусть подгруппа G0 содержит k элементов. Тогда в группе G есть q = m/k правых классов смежности по подгруппе G0. Под действием подгруппы G0 множество O разбивается на q орбит Oj, j = 1,..., q.

Фиксируем q попарно различных элементов b1,..., bq поля инвариантов K и построим полином Лагранжа f степени меньше m, принимающий на всех элементах множества Oj значение bj для j = 1,..., q. Полином f удовлетворяет условиям леммы.

Действительно, полином f инвариантен относительно автоморфизма, если и только если для каждого элемента x поля P выполняется равенство f ((x)) = ( f (x)). Так как полином f имеет степень меньше m и множество O содержит m элементов, то равенство достаточно проверить для всех элементов x множества O. По построению полинома f на всех элементах множества O выполняется равенство f ((x)) = ( f (x)), если и только если G0.

Вернемся к доказательству теоремы. Рассмотрим полином f = = a0 +... + am-1tm-1, стационарная подгруппа которого равна G0.

Пересечение стационарных подгрупп коэффициентов a0,..., am-этого полинома совпадает с подгруппой G0. Рассмотрим векторное пространство L над полем K P инвариантов относительно действия группы G, натянутое на коэффициенты a0,..., am-1. Согласно лемме. существует вектор c L, стационарная подгруппа которого равна G0.

§ 3. В этом параграфе рассматривается конечная группа автоморфизмов поля. Доказываются две следующие теоремы теории Галуа.

Первая теорема (п..) утверждает, что каждый элемент поля алгебраичен над полем инвариантов.

Пусть y и z – два элемента поля. При каких условиях существу– ет полином T с коэффициентами из поля инвариантов, такой что z = T( y) Вторая теорема (п..) утверждает, что полином T существует, если и только если стационарная группа элемента y принадлежит стационарной группе элемента z.

.. Уравнения с некратными корнями. Пусть T(t) – полином – над полем K, T(t) – его производная, D(t) – наибольший общий – – Глава. Разрешимость и теория Галуа делитель этих полиномов и T – полином, определенный формулой – T = T/D.

У... Корень кратности k > 0 полинома T(t) является корнем кратности k - 1 полинома D.

. Полином T имеет те же корни, что и полином T, причем все корни полинома T некратны.

Д. Пусть T(t) = (t - x)kQ(t) и Q(x) = 0. Тогда T(t) = k(t - x)k-1Q(t) + (t - x)kQ(t). Отсюда следуют оба пункта утверждения..

Пусть мы хотим расширить некоторое поле K, добавив к нему один или несколько корней полинома T над полем K. Заменяя, если надо, полином T на полином T, можно не ограничивая общности считать, что все корни полинома простые.



.. Алгебраичность над полем инвариантов. Пусть P – ком– мутативная алгебра без делителей нуля, на которой действует группа автоморфизмов, и K – подалгебра инвариантов. Мы не пред– полагаем, что группа конечна (хотя для теории Галуа достаточно рассматривать лишь действия конечных групп).

Т... Стационарная подгруппа элемента y P, алгебраического над K, имеет конечный индекс в группе.

. Если стационарная подгруппа элемента y P имеет индекс n в группе, то y удовлетворяет над K неприводимому уравнению степени n с равным единице старшим коэффициентом.

Д.. Допустим, что элемент y удовлетворяет алгебраическому уравнению p0 yn +... + pn = 0 () с коэффициентами pi из алгебры инвариантов K. Тогда всякий автоморфизм алгебры P, оставляющий на месте элементы алгебры K, переводит элемент y в один из корней уравнения (), а этих корней не более чем n, поэтому индекс в группе стационарной подгруппы элемента y не превосходит n.

. Пусть стационарная подгруппа G элемента y имеет индекс n в группе. Тогда орбита элемента y относительно действия группы содержит ровно n различных элементов. Обозначим через y1,..., yn элементы этой орбиты. Пусть 1 = y1 +... + yn, 2 = yi yj, i< j §. Автоморфизмы и соотношения..., n = y1... yn – основные симметрические функции от элементов – орбиты. Элементы 1,..., n не меняются при перестановке точек y1,..., yn и принадлежат поэтому алгебре инвариантов K. Элемент y удовлетворяет алгебраическому уравнению T( y) = yn - 1 yn-1 + 2 yn-2 +... + (-1)nn = 0.

Это уравнение неприводимо (т. е. полином T не раскладывается в произведение двух полиномов положительных степеней, коэффициенты которых лежат в алгебре K). Действительно, если оно приводимо, то y удовлетворяет уравнению меньшей степени над алгеброй K и орбита элемента y содержит меньше чем n элементов.

.. Подалгебра, содержащая коэффициенты полинома Лагранжа. В этом пункте рассматривается полином Лагранжа, построенный по специальным начальным данным, и оценивается подалгебра, содержащая его коэффициенты. Результаты применяются в п...

Пусть P – коммутативная алгебра без делителей нуля, y1,..., yn – – – различные элементы алгебры P и Q P[ y] – полином степени n с – единичным старшим коэффициентом, обращающийся в нуль в точках y1,..., yn, т. е. Q( y) = ( y - y1)...( y - yn). Рассмотрим следующую задачу. Для заданных элементов z1,..., zn алгебры P найти полином Лагранжа T, принимающий в точках yi значения ziQ( yi). (По определению полином Q имеет некратные корни, т. е. Q( yi) = 0, и сте пень полинома Лагранжа T меньше n.) Для формулировки ответа удобно воспользоваться рациональной функцией F, заданной тож zi деством F( y) =. Из явной формулы для полинома Лагранжа y - yi вытекает следующее утверждение.

У.. Искомый полином Лагранжа T равен произведению QF полинома Q на рациональную функцию F. Коэффициенты полинома T принадлежат алгебре P, т. е. T P[ y].

З. При P = задача допускает следующую переформулировку: найти полином T степени меньше n, такой что -форма dy = T имеет в точках y1,..., yn вычеты z1,..., zn. Ясно, что форма Q равна F( y) dy. Поэтому T = QF.

Нам понадобится другая формула для полинома T, позволяющая точнее оценить подалгебру, содержащую его коэффициенты. Вве Глава. Разрешимость и теория Галуа дем нужные обозначения. Для k =0, 1,... положим mk = zi yik. Обоn- значим через M полином от переменной y-1, равный mk y-1-k.

k=Представим произведение полиномов Q и M от переменных y и y-в виде QM = L + L, где L и L – суммы мономов полинома Лорана – - QM K[ y, y-1], имеющих соответственно неотрицательные степени и строго отрицательные степени по переменной y.

У.. Полином T совпадает с определенным выше полиномом L.

Д. В кольце формальных рядов Тейлора по степеням переменной y-1 с коэффициентами в алгебре P выполняются следующие равенства:

n n F( y) = y-1 zi(1 - yi y-1)-1 = y-1 zi yik y-k = y-1 mk y-k.

i=1 k=0 i=1 i=(Если P =, то выписанный ряд является рядом Тейлора рациональной функции F в точке.) В кольце формальных рядов Лорана по переменной y-1 с коэффициентами в алгебре P выполняется равен ство T( y) = Q( y) y-1 mk y-k, из которого следует, что T = L.

i=Из утверждения. вытекает такое следствие.

С.. Пусть подалгебра K алгебры P содержит коэффициенты полинома Q и элементы m0,..., mn-1, где mk = zi yik.

Тогда коэффициенты полинома T принадлежат подалгебре K, т. е.

T K[ y].

.. Представимость одного элемента через другой над полем инвариантов. Пусть P – поле, на котором действует группа ав– томорфизмов, и K – поле инвариантов. Пусть y и z – элементы – – поля P, алгебраические над полем K, и Gy, Gz – их стационарные – подгруппы. Согласно теореме. элемент y (элемент z) алгебраичен над полем K, если и только если группа Gy (группа Gz) имеет конечный индекс в группе. При каком условии z принадлежит расширению K( y) поля K элементом y Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Т.. Элемент z принадлежит полю K( y), если и только если стационарная подгруппа Gz элемента z содержит стационарную подгруппу Gy элемента y.

§. Представимость в k-радикалах Д. В одну сторону теорема очевидна: каждый элемент поля K( y) неподвижен при действии группы Gy. Другими словами, стационарная подгруппа каждого элемента поля K( y) содержит группу Gy.

Обратное утверждение мы докажем в более сильной форме.





Ослабим предположения в теореме.. Будем предполагать, что P – коммутативная алгебра без делителей нуля (необязательно – являющаяся полем), – группа автоморфизмов алгебры P, K – – – алгебра инвариантов, y и z – элементы алгебры P, стационарные – подгруппы Gy и Gz которых имеют конечный индекс в группе.

Обозначим через Q неприводимое целое алгебраическое уравнение над алгеброй K, которому удовлетворяет элемент y, Q( y) = 0 (см.

п. теоремы.).

У.. Если Gz Gy, то существует полином T с коэффициентами в алгебре K, для которого выполняется тождество zQ( y) = T( y).

Д. Обозначим через S множество правых классов смежности группы по подгруппе Gy. Пусть множество S содержит n элементов. Занумеруем элементы s1,..., sn этого множества, присвоив классу единичного элемента группы номер. Пусть gi – – любой представитель класса si в группе. Образы gi( y), gi(z) элементов y, z при действии автоморфизма gi не зависят от выбора элемента gi в классе si. Обозначим эти образы через yi и zi соответственно. Все элементы y1,..., yn различны по построению, в то время как некоторые из элементов z1,..., zn могут совпадать. Для всякоk k го целого неотрицательного k элемент mk = z1 y1 +... + zn yn инвариантен относительно действия группы и, следовательно, принадлежит алгебре K. Для завершения доказательства осталось сослаться на следствие.. Утверждение. и теорема. доказаны.

§ 4. k- k- В этом параграфе рассматривается поле P, на котором действует конечная группа автоморфизмов G с полем инвариантов K. Мы будем предполагать, что поле P содержит все корни из единицы. Вводится определение k-разрешимой группы. Мы докажем, что если группа G k-разрешима, то каждый элемент поля P выражается через эле Глава. Разрешимость и теория Галуа менты поля K с помощью радикалов и решения вспомогательных алгебраических уравнений, степень которых не превосходит k. Доказательство опирается на теоремы из предыдущих пунктов.

О. Конечная группа G называется k-разрешимой, если у нее существует цепочка подгрупп G = G0 G1... Gn = e, в которой для каждого i, 0

Т.. Пусть G – конечная k-разрешимая группа авто– морфизмов поля P, содержащего все корни из единицы. Тогда каждый элемент x поля P выражается через элементы поля инвариантов K при помощи арифметических операций, извлечения корней и решения алгебраических уравнений степени не выше чем k.

Д. Пусть G = G0... Gm = e – цепочка вложен– ных подгрупп, удовлетворяющая условиям, перечисленным в определении k-разрешимой группы. Обозначим через K = K0... Km = = P цепочку полей, инвариантных относительно действия групп G0,..., Gm.

Пусть группа Gi является нормальным делителем группы Gi-1, и факторгруппа Gi-1/Gi коммутативна. Коммутативная факторгруппа Gi-1/Gi естественно действует на поле инвариантов Ki, оставляя неподвижным поле инвариантов Ki-1. Следовательно, каждый элемент поля Ki выражается при помощи суммирования и извлечения корней через элементы поля Ki-1 (см. теорему. из п..).

Пусть группа Gi является подгруппой индекса m k в группе Gi-1.

Существует элемент a P, стационарная подгруппа которого равна Gi (теорема.). На поле K действует группа автоморфизмов Gi-1 с полем инвариантов Ki-1. Так как индекс стационарной подгруппы Gi элемента a в группе Gi-1 равен m, то элемент a удовлетворяет алгебраическому уравнению степени m k над полем Ki-1. Согласно теореме. каждый элемент поля Ki является полиномом от a с коэффициентами из поля Ki-1.

Последовательно повторяя эти рассуждения, мы выразим каждый элемент поля P через элементы поля K с помощью арифметических операций, извлечения корней и решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Глава. Разрешимость и теория Галуа § 5. Алгебраическое уравнение над полем K называется уравнением Галуа, если расширение поля K, полученное присоединением к K любого одного корня этого уравнения, содержит все остальные его корни. В этом параграфе доказывается, что для любого алгебраического уравнения над полем K существует уравнение Галуа, для которого расширение поля K, полученное присоединением всех корней исходного уравнения, совпадает с расширением, полученным присоединением корня уравнения Галуа. Доказательство опирается на теорему. из п... Уравнения Галуа удобны для построения группы Галуа (см. §, ).

Пусть K – любое поле. Обозначим через P алгебру K[x1,..., xm] – многочленов над полем K от переменных x1,..., xm. На алгебре P действует группа автоморфизмов, изоморфная группе S(m) перестановок m элементов: действие группы заключается в одновременной перестановке переменных x1,..., xm во всех многочленах из кольца K[x1,..., xm]. Алгебра инвариантов K относительно этого действия состоит из симметрических многочленов от переменных x1,..., xm.

Пусть y P – некоторый многочлен от m переменных, орбита ко– торого под действием группы S(m) содержит ровно n = m! различных элементов y = y1,..., yn. Обозначим через Q полином над алгеб рой K, корнями которого являются элементы y1,..., yn P (см. теорему.). Производная полинома Q не обращается в нуль в его корнях y1,..., yn. Применяя утверждение. к действию группы S(m) на алгебре P с алгеброй инвариантов K, получаем такое следствие.

С.. Для всякого элемента F P = K[x1,..., xm] существует полином T, коэффициенты которого – симметрические – многочлены от переменных x1,..., xm, такой что выполняется тождество FQ( y) = T( y).

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.