WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 35 |

.. Полиномы Лагранжа и коммутативные матричные группы. Пусть T – полином степени n с единичным старшим коэффи– циентом над произвольным полем K. Пусть полином T имеет в поле K ровно n различных корней 1,..., n. С каждым корнем i связан T(t) полином Ti(t) =. Полином Ti – единственный полином – T(i)(t - i ) степени не выше n -1, равный единице в корне i и обращающийся в нуль в остальных корнях полинома T. Пусть c1,..., cn – произволь– ная последовательность элементов поля K. Полином L(t) = ciTi(t) называется интерполяционным полиномом Лагранжа с узлами интерполирования 1,..., n и начальными данными c1,..., cn. Это единственный полином степени не выше n - 1, принимающий в точке i значение ci при i = 1,..., n.

Рассмотрим векторное пространство V (возможно, бесконечномерное) над полем K и линейный оператор A: V V. Пусть оператор A удовлетворяет полиномиальному уравнению T(A) = An + + a1 An-1 +... + an-1 A + anE = 0, где ai K и E – тождественный – оператор. Допустим, что полином T(t) = tn + a1tn-1 +... + an-1t + an имеет n различных корней 1,..., n в поле K. Оператор Li = Ti(A), T(t) где Ti(t) =, назовем обобщенной резольвентой Лагранжа T(i)(t - i) оператора A, соответствующей корню i. Для каждого вектора x V вектор xi = Li x будем называть обобщенной резольвентой Лагранжа (соответствующей корню i) вектора x.

Глава. Разрешимость и теория Галуа У... Обобщенные резольвенты Лагранжа Li оператора A удовлетворяют следующим соотношениям: L1 +... + Ln = = E, LiLj = 0 при i = j, L2 = Li, ALi = iLi.

i. Всякий вектор x V представ в виде суммы своих обобщеним ных резольвент Лагранжа, т. е. x = x1 +... + xn. При этом ненулевые резольвенты xi вектора x линейно независимы и являются собственными векторами оператора A с собственными числами i.

Д.. Пусть = {i} – множество корней поли– нома T. По определению полином Ti равен единице в точке i и обращается в нуль в остальных точках этого множества. Очевидно, что на множестве обращаются в нуль следующие полиномы:

T1 +... +Tn -1, TiTj при i = j, Ti2 - Ti, tTi -iTi. Поэтому каждый из пе речисленных полиномов делится на полином T, имеющий простые корни в точках множества. Поскольку полином T аннулирует оператор A, т.е. T(A)=0, отсюда вытекают соотношения L1 +...+ Ln = E, LiLj = 0 при i = j, L2 = Li, ALi = iLi.

i. Вторая часть утверждения является формальным следствием первой. Действительно, так как E = L1 +... + Ln, то для всякого вектора x имеем x = L1x +...+ Lnx = x1 +...+ xn. Допустим, что вектор xi не равен нулю и что некоторая линейная комбинация xj векто µj ров x1,..., xn обращается в нуль. Тогда 0 = Li µj Lj x = LiLjµj xj = = µi xi, т. е. ненулевой вектор xi входит в линейную комбинацию с нулевым коэффициентом µi = 0. Из равенства ALi = iLi вытекает, что ALi x = iLix, т. е. что либо вектор xi = Lix – собственный вектор – оператора A с собственным числом i, либо xi = 0.

Приведенная явная конструкция разложения вектора x по собственным векторам оператора A автоматически переносится на случай нескольких коммутирующих операторов. Остановимся подробнее на случае двух коммутирующих операторов. Пусть в пространстве V кроме оператора A задан еще один линейный оператор B: V V, коммутирующий с оператором A и удовлетворяющий полиномиальному уравнению Q(B) = Bk + b1Bk-1 +... + bk-1B + bkE = 0, где bi K. Допустим, что полином Q(t) = tk + b1tk-1 +... + bk-1t + bk имеет k различных корней µ1,..., µk в поле K. С корнем µj связаны полином Qj(t) = Q(t)/Q(µj)(t - µj) и оператор Qj(B) – обобщен– ная резольвента Лагранжа оператора B, соответствующая корню µj. Оператор Li, j = Ti(A)Qj(B) назовем обобщенной резольвентой Лагранжа операторов A и B, соответствующей паре корней i, µj.

§. Представимость в радикалах Вектор xi, j = Li, j x будем называть обобщенной резольвентой Лагранжа вектора x V (соответствующей паре корней i и µj) относительно операторов A и B.

У... Обобщенные резольвенты Лагранжа Li, j коммутирующих операторов A и B удовлетворяют следующим соотношениям: Li, j = E, Li, j1 Li, j2 = 0 при (i1, j1) = (i2, j2), L2 = Li, j, 1 2 i, j ALi, j = iLi, j, BLi, j = µj Li, j.

. Всякий вектор x V представ виде суммы своих обобщеним в ных резольвент Лагранжа, т. е. x = xi, j. При этом ненулевые резольвенты xi, j вектора x линейно независимы и являются собственными векторами операторов A и B с собственными числами i и µj соответственно.

Для доказательства первой части утверждения достаточно перемножить соответствующие соотношения для обобщенных резольвент операторов A и B. Вторая часть утверждения является формальным следствием первой части.

Применим доказанные утверждения для оператора A конечного порядка n, An = E. Обобщенные резольвенты Лагранжа для таких операторов особенно важны для решения уравнений в радикалах. Именно эти резольвенты были открыты Лагранжем, и мы будем называть их резольвентами Лагранжа (опуская слово «обобщенными»). Пусть поле K содержит n корней 1,..., n степени n из единицы, n = 1. По условию T(A) = 0, где T(t) = tn - 1.

i Вычислим резольвенту Лагранжа, соответствующую корню i =.

Имеем tn - n 1 Ti(t) = = (tn-1 +... + n-1) = ((-1t)n-1 +... + 1).

n nn-1(t - ) nn-Резольвенту Лагранжа Ti(A) оператора A, соответствующую корню i =, будем обозначать R(A). Получаем R(A) = -k Ak.

n 0 k



З. Справедливость следствия. легко проверить непосредственно, не ссылаясь на предыдущие утверждения.

Глава. Разрешимость и теория Галуа Пусть G – конечная коммутативная группа линейных операторов – на векторном пространстве V над полем K. Обозначим через n порядок группы G. Пусть поле K содержит все корни степени n из единицы. Тогда пространство V является прямой суммой подпространств, собственных для всех операторов группы G. Уточним это утверждение. Пусть группа G является прямой суммой k циклических групп порядков m1,..., mk. Пусть операторы A1 G,..., mAk G порождают эти циклические подгруппы. В частности, A1 = k = E,..., Am = E. Для всякого набора =1,..., k корней из единицы k степеней m1,..., mk рассмотрим совместную резольвенту Лагранжа L = L (A1)... L (Ak) образующих A1,..., Ak группы G.

1 k С.. Всякий вектор x V представ в виде x = Lx.

им Каждый из векторов Lx – либо нуль, либо общий собственный век– тор операторов A1,..., Ak с собственными числами 1,..., k.

.. Решение в радикалах уравнений –-й степеней. В этом пункте мы снова вернемся к уравнениям маленьких степеней (см.

п..). Мы воспользуемся техникой резольвент Лагранжа и объясним, как довести схему решения уравнений из п.. до явных формул. Сами формулы при этом мы выписывать не будем. Здесь используются обозначения из п..,.. Резольвенты Лагранжа операторов мы будем нумеровать собственными числами этих операторов. Совместные резольвенты Лагранжа пар операторов мы будем нумеровать парами собственных чисел этих операторов.

Уравнение второй степени. На кольце многочленов K[x1, x2] линейно действует группа S(2) = 2 перестановок двух элементов.

Она состоит из тождественного преобразования и оператора второго порядка. Элемент x1 относительно действия этого оператора имеет две резольвенты Лагранжа:

1 R1 = (x1 + x2) = 1, 2 R = (x1 - x2).

-Квадрат резольвенты Лагранжа R-1 является симметрическим многочленом. Имеем 1 R2 = ((x1 + x2)2 - 4x1x2) = (1 - 42).

-4 §. Представимость в радикалах Получаем представление полинома x1 через симметрические мно 1 ± 1 - гочлены x1 = R1 + R =, что и дает обычную форму -решения квадратного уравнения.

Уравнение третьей степени. Предположим, что поле K содержит все три кубических корня из единицы. На кольце многочленов K[x1, x2, x3] = V действует группа S(3) перестановок трех элементов. Группа S(3) имеет нормальным делителем знакопеременную группу A(3), которая является циклической группой порядка.

Группа A(3) порождена оператором B, задающим перестановку x2, x3, x1 переменных x1, x2, x3. Факторгруппа S(3)/A(3) является циклической группой порядка. Обозначим через V1 кольцо инвариантов группы A(3) (которое состоит из многочленов, не меняющихся при четных перестановках переменных) и через V2 – – алгебру симметрических многочленов. Элемент x1 имеет три резольвенты Лагранжа относительно оператора B, порождающего группу A(3):

R1 = (x1 + x2 + x3), R = (x1 + 2x2 + 2x3), 1 R = (x1 + 1x2 + 2x3), 2 -1 ± -где 1, 2 = – неединичные кубические корни из единицы.

– Имеем x1 = R1 + R + R, и R3, R3, R3 лежат в алгебре V1. Более 1 2 1 1 того, резольвента R1 является симметрическим многочленом, а полиномы R3 и R3 переставляются друг с другом при действии груп1 пы 2 = S(3)/A(3) на кольце V1. Повторяя для полиномов R3 и R1 конструкцию, которую мы использовали при решении квадратного уравнения, получим, что эти полиномы выражаются через симметрические полиномы R3 + R3 и (R3 - R3 )2. Окончательно получа1 2 1 ем, что многочлен x1 выражается через симметрические многочлены R1 V2, (R3 + R3 ) V2 и (R3 - R3 )2 V2 при помощи извлече1 2 1 ния корней второй и третьей степени и при помощи арифметических операций. Для написания явной формулы для решения осталось лишь выразить эти симметрические многочлены через основные симметрические многочлены.

Уравнение четвертой степени. Причина разрешимости уравнений четвертой степени заключается в разрешимости группы S(4).

Глава. Разрешимость и теория Галуа Группа S(4) разрешима, потому что существует гомоморфизм : S(4) S(3), ядром которого является коммутативная группа Kl = 2 2. Гомоморфизм описывается следующим образом.

Существует ровно три способа разбить множество, содержащее четыре элемента, на два подмножества, содержащие по паре элементов. Каждой перестановке множества из четырех элементов соответствует перестановка этих трех разбиений. Описанное соответствие и задает гомоморфизм. Ядро Kl этого гомоморфизма – – нормальный делитель группы S(4), состоящий из четырех перестановок: тождественной перестановки и трех перестановок, каждая из которых является произведением транспозиций двух непересекающихся пар элементов.

Предположим, что поле K содержит все три кубических корня из единицы. На кольце полиномов K[x1, x2, x3, x4] = V действует группа S(4). Обозначим через V1 подкольцо инвариантов нормального делителя Kl группы S(4). Итак, на кольце V = K[x1, x2, x3, x4] действует коммутативная группа Kl с кольцом инвариантов V1. На кольце V1 действует разрешимая группа S(3) = S(4)/Kl, и алгеброй инвариантов относительно этого действия является кольцо V2 симметрических многочленов.

Пусть A и B – операторы, соответствующие перестановкам x2, x1, – x4, x3 и x3, x4, x1, x2 переменных x1, x2, x3, x4. Операторы A и B порождают группу Kl. Справедливы тождества A2 = B2 = E. Корни полинома T(t) = t2 - 1, аннулирующего операторы A и B, равны +1, -1. Группа Kl является суммой двух экземпляров группы из двух элементов, первое слагаемое порождено оператором A, второе – – оператором B.





Элемент x1 имеет четыре резольвенты Лагранжа относительно действия коммутирующих операторов A, B, порождающих группу Kl:

R1,1 = (x1 + x2 + x3 + x4), R-1,1 = (x1 - x2 + x3 - x4), R1,-1 = (x1 + x2 - x3 - x4), R = (x1 - x2 - x3 + x4).

-1,-Элемент x1 равен сумме этих резольвент: x1 = R1,1 + R + R1,-1 + -1,+ R, и квадраты R2, R2, R2 и R2 резольвент Лагранжа -1,-1,1 -1,1 1,-1 -1,- §. Представимость в радикалах принадлежат алгебре V1. Поэтому x1 при помощи арифметических операций и извлечения квадратных корней выражается через элементы алгебры V1. В свою очередь, элементы алгебры V1 выражаются через симметрические многочлены, так как на этой алгебре действует группа S(3) с алгеброй инвариантов V2 (см. выше решение кубических уравнений).

Покажем, что приведенное выше рассуждение дает явное свед ение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению. Действительно, резольвента R1,1 = 1 является симметрическим многочленом, а квадраты резольвент R, R1,-1 и R переставля-1,1 -1,-ются между собой при действии группы S(4) (см. выше описание гомоморфизма : S(4) S(3)). Так как элементы R2, R2, R-1,1 1,-1 -1,-лишь переставляются, то основные симметрические многочлены от них инвариантны относительно действия группы S(4) и принадлежат кольцу V2. Итак, многочлены b1 = R2 + R2 + R2, -1,1 1,-1 -1,-b2 = R2 R2 + R2 R2 + R2 R2, -1,1 1,-1 1,-1 -1,-1 -1,-1 -1,b3 = R2 R2 R-1,1 1,-1 -1,-являются симметрическими многочленами от x1, x2, x3 и x4, следовательно, b1, b2 и b3 явно выражаются через коэффициенты уравнения x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0. () Чтобы решить уравнение (), достаточно составить и решить уравнение r3 - b1r2 + b2r - b3 = 0 () 1 и положить x = (-a1 + r1 + r2 + r3 ), где r1, r2 и r3 – корни урав– нения ().

В заключение приведем еще одно красивое явное свед уравение нения четвертой степени к уравнению третьей степени, основанное на рассмотрении пучка плоских квадрик [].

Координаты точек пересечения двух плоских квадрик P = 0 и Q = 0, где P и Q – заданные полиномы второй степени от x и y, – можно найти, решая одно кубическое и несколько квадратных уравнений. Действительно, каждая квадрика пучка P + Q = 0, где – – произвольный параметр, проходит через искомые точки. При некотором значении 0 параметра квадрика P +Q =0 распадается на Глава. Разрешимость и теория Галуа пару прямых. Это значение удовлетворяет кубическому уравнению det(P + Q) = 0, где P и Q – (3 3)-матрицы квадратичных форм, – соответствующих уравнениям квадрик в однородных координатах. Уравнения каждой из двух прямых, составляющих квадрику P + 0Q = 0, можно найти, решая квадратное уравнение: каждая такая прямая проходит через центр симметрии квадрики, координаты которого выражаются через коэффициенты квадрики при помощи арифметических операций, и через одну из точек пересечения квадрики с любой фиксированной прямой. Для нахождения координат этой точки нужно решить квадратное уравнение. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, находится с помощью арифметических операций. Если известны уравнения прямых, на которые распадается квадрика P +0Q =0, то для нахождения искомых точек остается лишь решить квадратные уравнения для точек пересечения квадрики P = 0 и каждой из двух прямых, составляющих квадрику.

Поэтому общее уравнение четвертой степени с помощью арифметических операций и извлечения квадратных корней сводится к кубическому уравнению. Действительно, корни уравнения a0x4 + + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0 являются проекциями на ось x точек пересечения квадрик y = x2 и a0 y2 + a1xy + a2 y + a3x + a4 = 0.

§ 2. Здесь доказывается одна из центральных теорем теории Галуа, согласно которой различные подгруппы конечной группы автоморфизмов поля имеют различные поля инвариантов. Доказательство опирается на простую явную конструкцию, использующую интерполяционный полином Лагранжа, и на геометрически очевидное утверждение, согласно которому векторное пространство нельзя покрыть конечным числом подпространств.

Начнем с геометрического утверждения. Пусть V – аффинное – пространство (может быть, бесконечномерное) над некоторым полем.

У.. Пространство V не может быть представлено в виде объединения конечного числа своих собственных аффинных подпространств.

§. Неподвижные точки действия группы Д. Применим индукцию по числу аффинных подпространств. Пусть утверждение доказано для объединения менее чем n собственных аффинных подпространств. Допустим, что пространство V представимо в виде объединения n собственных аффинных подпространств V1,..., Vn. Рассмотрим любую собствен ную аффинную гиперплоскость V в пространстве V, содержащую первое из этих подпространств V1. Пространство V является объединением бесконечного семейства непересекающихся аффинных гиперплоскостей, параллельных гиперплоскости V. Не более чем n гиперплоскостей этого семейства содержат одно из пространств V1,..., Vn. Возьмем любую другую гиперплоскость из семейства. К этой гиперплоскости и ее пересечениям с аффинными плоскостями V2,..., Vn применимо индукционное предположение, что и доказывает утверждение.

С.. Пусть на векторном пространстве V действует конечная группа линейных преобразований. Тогда найдется вектор a, на орбите которого группа действует свободно.

Д. Множество неподвижных точек линейного преобразования является векторным подпространством. Для нетождественного линейного преобразования это подпространство является собственным. В качестве вектора a достаточно взять любой вектор, не принадлежащий объединению неподвижных подпространств нетривиальных преобразований группы.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.