WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 35 |

2i Д. Необходимость условия рациональности периодов вытекает из следствия. настоящего пункта. Проверим их достаточность. По условию для некоторого натурального числа N N все периоды формы являются целыми числами. Поэтому функ2i x ция F, определенная равенством F(x) = exp N, является одноxзначной функцией на W. Функция F мероморфна, так как форма x имеет лишь полюсы первого порядка. Равенство = ln F(x)+ c x0 N доказывает нужное утверждение.

С.. Пусть все вычеты мероморфной формы рациональны. Тогда неопределенный интеграл формы берется в обобщенных элементарных функциях, если и только если для формы разрешима задача и все периоды формы рациональны.

2i Д. Так как для формы задача разрешима, существует мероморфная функция A0, такая что форма ( - dA0) имеет лишь полюсы -го порядка. Форма (- dA0) имеет те же периоды, что и форма, и к ней применимо утверждение..

§ 7. – – - Лиувиллю принадлежит первый результат о неразрешимости линейных дифференциальных уравнений в явном виде (см. [], []).

Т. (Л ). Уравнение y + py + qy = 0 с коэффициентами из функционального дифференциального поля K, все элементы которого представимы в обобщенных квадратурах, решается в обобщенных квадратурах, если и только если оно имеет реше x ние вида y1(x) = exp f (t) dt, где f – функция, удовлетворяющая – xалгебраическому уравнению с коэффициентами в поле K.

В одну сторону теорема очевидна. Если известно одно решение y1 линейного дифференциального уравнения второго порядка, то его можно решить, понизив порядок уравнения. Доказать теорему в другую сторону достаточно трудно.

§. Критерий Лиувилля– –Мордухай-Болтовского Потребовалось более полувека, чтобы обобщить теорему Лиувилля на уравнения n-го порядка. Мордухай-Болтовский доказал в г. методом Лиувилля следующий критерий, позволяющий сводить вопрос о разрешимости уравнения к вопросу о разрешимости другого уравнения меньшего порядка.

К Л – –М -Б. Уравнение n-го порядка y(n) + p1 y(n-1) +... + pn y = с коэффициентами из функционального дифференциального поля K, все элементы которого представимы в обобщенных квадратурах, решается в обобщенных квадратурах, если и только если, во-пер x вых, оно имеет решение вида y1(x) = exp f (t) dt, где f – функция, – xлежащая в некотором алгебраическом расширении K1 поля K, и, вовторых, дифференциальное уравнение (n-1)-го порядка на функцию yz = y - y с коэффициентами из поля K1, полученное из исходного yуравнения процедурой понижения порядка (см. п.. главы ), решается в обобщенных квадратурах над полем K1.

В том же году появилась теорема Пикара– –Вессио, в которой вопрос о разрешимости линейных дифференциальных уравнений решается абсолютно по-другому, с точки зрения дифференциальной теории Галуа.

В третьей главе мы обсудим основные положения этой теории.

Критерий Лиувилля– –Мордухай-Болтовского по существу эквивалентен теореме Пикара– –Вессио не только –Вессио. Теория Пикара– объясняет этот критерий, но и дает возможность довести его до явного алгоритма, позволяющего для уравнения с коэффициентами из поля рациональных функций (имеющих рациональные коэффициенты) определить, разрешимо уравнение в обобщенных квадратурах или нет (см. [] и § главы ).

Гл а в а РА ЗР Е Ш ИМ О СТ Ь А Л Г Е Б РАИЧ Е СКИХ У РА В НЕ Н ИЙ В РАД ИКА Л А Х И ТЕ О Р И Я ГА Л УА Решается ли заданное алгебраическое уравнение в радикалах Можно ли решать заданное алгебраическое уравнение степени n, используя решения вспомогательных алгебраических уравнений меньшей степени и радикалы В этой главе мы обсуждаем, как теория Галуа (по крайней мере, в принципе) дает ответ на эти вопросы.

Сформулированные вопросы по своей природе являются чисто алгебраическими и могут быть поставлены над любым полем K.

Мы будем предполагать, что поле K имеет нулевую характеристику.

В этой главе «поле» означает «поле характеристики нуль». Случай полей нулевой характеристики немного проще общего, а для нас основной интерес представляют функциональные дифференциальные поля, которые содержат все комплексные константы. Другие интересные примеры полей, к которым полностью применимы результаты этой главы, доставляют подполя поля комплексных чисел (в частности, поле рациональных чисел ).

«Разрешительная» часть теории Галуа (см. § ), позволяющая решать уравнение в радикалах, весьма проста. Она не использует ни основную теорему теории Галуа, ни вообще теорию полей и относится, по существу, к линейной алгебре. Только эти линейно-алгебраические соображения применяются в топологической теории Галуа при обсуждении вопроса о представимости алгебраических функций в радикалах. Однако достаточное условие разрешимости уравнения с помощью решения вспомогательных уравнений меньшей степени и радикалов опирается не только на линейную алгебру, но и на основную теорему теории Галуа. Это одна из причин, почему мы приводим полное доказательство основной теоремы теории Галуа.

Без доказательства используются хорошо известные свойства разрешимых групп и группы S(k). В п.. доказывается значительно менее известное характеристическое свойство подгрупп группы S(k). Эти факты из теории групп применяются как в обычной Глава. Разрешимость и теория Галуа теории Галуа, так и в ее дифференциальном и топологическом вариантах.

Нам часто нужно расширять поле, присоединяя к нему один корень или несколько корней алгебраического уравнения. Для функциональных дифференциальных полей конструкция таких расширений проста и уже описана в § главы. Для подполей поля комплексных чисел конструкция таких расширений очевидна. Так как нас в основном интересуют поля именно этих двух типов, ниже мы будем использовать такие расширения, не останавливаясь на их конструкции.



Несколько слов о расположении материала. В § – рассматривается поле P, на котором действует конечная группа автоморфизмов G. Элементы поля P, неподвижные относительно действия группы G, образуют подполе K P, называемое полем инвариантов.

В § показано, что если группа G разрешима, то элементы поля P представимы в радикалах через элементы поля инвариантов K.

(Здесь надо дополнительно предполагать, что поле K содержит все корни из единицы степени, равной порядку n группы G.) В случае, когда P – поле рациональных функций от n переменных, G – группа – – перестановок n переменных и K – поле симметричных рациональ– ных функций от n переменных, этот результат объясняет, почему уравнения –-й степеней решаются в радикалах.

В § показано, что для любой подгруппы G0 группы G существует элемент x P, стационарная группа которого равна G0. Результаты § и основаны на простых соображениях теории групп и используют явную формулу для интерполяционного полинома Лагранжа.

В § показано, что всякий элемент поля P алгебраичен над полем K. Доказано, что если стационарная группа точки z P содержит стационарную группу точки y P, то z является значением в точке y некоторого полинома над полем K. Это доказательство тоже основано на исследовании интерполяционного полинома Лагранжа (см. п..).

В § введен класс k-разрешимых групп. Показано, что если группа G k-разрешима, то элементы поля P представимы в k-радикалах (т. е. представимы с использованием радикалов и решений вспомогательных уравнений степени не выше k) через элементы поля K.

Здесь тоже нужно дополнительно предполагать, что поле K содержит все корни из единицы степени, равной порядку n группы G.

§. Представимость в радикалах Рассмотрим теперь другую ситуацию. Пусть поле P получено из поля K присоединением всех корней полиномиального уравнения над полем K, имеющего лишь некратные корни. В этом случае существует конечная группа G автоморфизмов поля P, полем инвариантов которой является поле K. Для построения группы G исходное уравнение заменяется эквивалентным уравнением Галуа, т. е. уравнением, каждый корень которого выражается через любой другой из его корней (см. § ). Группа автоморфизмов G строится в §.

Таким образом, в §,, и доказаны центральные теоремы теории Галуа. В § подводится итог, формулируется и доказывается основная теорема теории Галуа.

Алгебраическое уравнение над некоторым полем решается в радикалах, если и только если его группа Галуа разрешима (§ ), и решается в k-радикалах, если и только если его группа Галуа k-разрешима (§ ). В § обсуждается вопрос о разрешимости сложных алгебраических уравнений при помощи решения более простых уравнений. Здесь дается необходимое условие для подобной разрешимости в терминах группы Галуа уравнения.

В этой главе большое внимание уделено приложениям теории Галуа к задачам о разрешимости алгебраических уравнений в явном виде. Для построения самой теории Галуа эти приложения не нужны. Главные положения теории Галуа содержатся в §,, –. Их можно читать отдельно.

Конструкция разрешения уравнений в радикалах (включающая решения общих уравнений степени –) содержится в § и не зависит от остального текста.

§ 1. В этом параграфе доказано, что если на поле P действует конечная разрешимая группа автоморфизмов G, то (при некоторых дополнительных предположениях о поле P) все элементы поля P выражаются через элементы поля инвариантов K при помощи радикалов и арифметических операций.

Конструкция представления элемента в радикалах основана на линейной алгебре (п..). В п.. результат применяется для доказательства разрешимости уравнений маленьких степеней. Чтобы Глава. Разрешимость и теория Галуа написать явные формулы для решений, конструкцию из линейной алгебры нужно проделать явно. В п.. мы описываем технику резольвент Лагранжа, позволяющую явно диагонализировать конечную коммутативную группу линейных операторов. В п.. мы объясняем, как резольвенты Лагранжа помогают написать формулы для решений в радикалах уравнений –-й степеней.

Результаты настоящего параграфа применимы в общей ситуации, рассматриваемой в теории Галуа. Если поле P получено из поля K присоединением всех корней алгебраического уравнения над полем K, имеющего лишь некратные корни, то существует группа G автоморфизмов поля P, полем инвариантов которой является поле K (п..). Эта группа называется группой Галуа уравнения. Из результатов настоящего параграфа вытекает, что уравнение, группа Галуа которого разрешима, решается в радикалах (достаточное условие разрешимости в радикалах из теоремы.). Существование группы Галуа никак не самоочевидно и представляет собой один из центральных фактов теории Галуа. Здесь мы эту теорему не доказываем (доказательство имеется в п..), а изначально предполагаем, что группа G существует.

В ряде важных случаев группа G задана априори. Так, например, обстоит дело, если K – поле рациональных функций одной пере– менной, P – поле, полученное присоединением к K всех решений – алгебраического уравнения, и G – группа монодромии алгебраиче– ской функции, определенной этим уравнением (см. главу ).

.. Достаточное условие разрешимости в радикалах. Конструкция представления элемента в радикалах очень слабо использует то обстоятельство, что мы имеем дело с полями. Чтобы подчеркнуть это, мы опишем эту конструкцию, взяв вместо поля алгебру V, которая может быть и некоммутативной. (Нам даже не понадобится перемножать разные элементы этой алгебры. Мы будем использовать лишь операцию возведения в целую неотрицательную степень k и однородность этой операции относительно умножения на элементы основного поля (a)k = kak при a V, K.) Пусть V – алгебра над полем K, содержащим все корни из еди– ницы. Конечная коммутативная группа линейных преобразований конечномерного векторного пространства над полем K в некотором базисе приводится к диагональному виду (см. п..).





§. Представимость в радикалах У.. Пусть G – конечная коммутативная группа – порядка n автоморфизмов алгебры V. Пусть поле K содержит все корни степени n из единицы. Тогда каждый элемент x алгебры V представ в виде суммы k n элементов xi V, i = 1,..., k, таких им что xin лежит в алгебре инвариантов V0.

Д. Рассмотрим конечномерное векторное пространство L в алгебре V, натянутое на орбиту элемента x относительно действия группы G. Пространство L раскладывается в прямую сумму L = L1... Lk подпространств, собственных для всех операторов группы G (см. п..). Поэтому вектор x представ им в виде суммы x = x1 +... + xk векторов x1,..., xk, собственных для всех операторов группы. Собственные числа этих операторов – кор– n n ни степени n из единицы. Поэтому элементы x1,..., xk принадлежат алгебре инвариантов V0.

Введем следующее определение.

О. Скажем, что элемент x алгебры V получается операцией извлечения корня n-й степени из элемента a, если выполняется равенство xn = a.

Теперь утверждение. можно интерпретировать следующим образом: каждый элемент x алгебры V представляется в виде суммы корней n-й степени из элементов алгебры инвариантов.

Т.. Пусть G – конечная разрешимая группа порядка n – автоморфизмов алгебры V. Пусть поле K содержит все корни степени n из единицы. Тогда каждый элемент x алгебры V получается из элементов алгебры инвариантов V0 при помощи извлечения корней и суммирований.

Докажем сначала следующее простое утверждение о действии группы на множестве.

Пусть группа G действует на множестве X, H – нормальный дели– тель группы G и X0 – подмножество X, состоящее из неподвижных – точек относительно действия группы G.

У.. Подмножество XH множества X, состоящее из неподвижных точек относительно действия нормального делителя H, инвариантно относительно действия группы G. На множестве XH естественно действует факторгруппа G/H с неподвижным множеством X0.

Д. Пусть g G и h H. Тогда элемент g-1hg принадлежит нормальному делителю H. Пусть x XH. Тогда g-1hg(x) = Глава. Разрешимость и теория Галуа = x, или h(gx) = g(x), что означает, что элемент g X неподвижен при действии нормального делителя H. Итак, множество XH инвариантно относительно действия группы G. При этом действии элементам нормального делителя H соответствуют тождественные преобразования. Поэтому действие группы G на XH сводится к действию факторгруппы G/H.

Перейдем теперь к доказательству теоремы..

Д. Так как группа G разрешима, то у нее существует цепочка вложенных подгрупп G = G0... Gm = e, в которой группа Gm совпадает с единичным элементом e и при i = 1,..., m группа Gi является нормальным делителем группы Gi-1, причем факторгруппа Gi-1/Gi коммутативна.

Обозначим через V0... Vm = V цепочку подалгебр инвариантов алгебры V относительно действия групп G0,..., Gm. Согласно утверждению. коммутативная факторгруппа Gi-1/Gi естественно действует на алгебру инвариантов Vi, оставляя неподвижной подалгебру инвариантов Vi-1. Порядок mi факторгруппы Gi-1/Gi является делителем порядка n группы G. Поэтому к этому действию применимо утверждение.. Следовательно, каждый элемент алгебры Vi выражается при помощи суммирования и извлечения корней через элементы алгебры Vi-1. Последовательно повторяя это рассуждение, мы выразим каждый элемент алгебры V через элементы подалгебры V0 цепочкой извлечения корней и суммирования.

.. Группа перестановок переменных и уравнения –-й степеней. Теорема. объясняет, почему уравнения маленькой степени решаются в радикалах.

Пусть алгебра V – кольцо многочленов от переменных x1,..., xn – над полем K. Группа S(n) перестановок n элементов действует на этом кольце, переставляя переменные x1,..., xn в многочленах из этого кольца. Алгебра инвариантов V0 относительно этого действия состоит из симметричных многочленов. Каждый многочлен этой алгебры явным образом представляется в виде многочлена от 1,..., n, где 1 = x1 +... + xn, 2 = xixj,..., n = x1... xn. Расi< j смотрим общее алгебраическое уравнение xn + a1xn-1 +... + an = степени n. Согласно формулам Виета коэффициенты этого уравнения с точностью до знака совпадают с основными симметриче §. Представимость в радикалах скими функциями от его корней x1,..., xn. Именно, 1 = -a1,..., n = (-1)nan.

При n =2, 3, 4 группа S(n) разрешима. Пусть поле K содержит все корни из единицы степени не выше 4. Применяя теорему., получаем, что каждый многочлен от x1,..., xn при n 4 выражается через основные симметрические многочлены 1,..., n при помощи извлечения корней, суммирования и умножения на рациональные числа. Поэтому теорема. при n = 2, 3, 4 доказывает представимость корней уравнения степени n через коэффициенты уравнения при помощи извлечения корней, суммирования и умножения на рациональные числа.

Чтобы получить явные формулы для корней этих уравнений, нужно повторить снова все рассуждения, делая все необходимые конструкции явно. Мы это сделаем в п.. и..

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.