WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 35 |

Определим класс обобщенных элементарных функций на римановой поверхности W как класс многозначных функций, которые получаются из мероморфных функций на W при помощи арифметических операций, решения алгебраических уравнений и суперпозиций с функциями ln и exp. Пусть : W – любое непостоянное – мероморфное отображение поверхности W на сферу Римана переменной x. Как видно из определений, обобщенная элементарная функция на римановой поверхности W – это функция вида f, где – f – обобщенная элементарная функция переменной x. Переформу– лируем теорему. в более инвариантном виде.

Т Л. Неопределенный интеграл от мероморфной формы на компактной римановой Глава. Классы функций и теория Лиувилля поверхности W является обобщенной элементарной функцией на W, если и только если форма представима в виде = +, где = k dAi = dA0, = i Ai, A0,..., Ak – мероморфные функции и 1,..., k – – – i=комплексные числа.

В связи с теоремой Лиувилля об абелевых интегралах естественно рассмотреть формулируемые ниже (см. п.. и.) задачи и, первая из которых связана с теоремой Римана– а вторая – с –Роха, – теоремой Абеля.

.. Рациональная часть абелева интеграла. Задачу выделения рациональной части интеграла алгебраической функции можно сформулировать так.

З. Представить мероморфную форму на поверхности W в виде = + 1, где = dA0 – точная мероморфная форма, а – форма 1 имеет полюсы не выше первого порядка.

Л.. Если мероморфная форма на поверхности W имеет полюсы не выше первого порядка и задает нулевой класс когомологий на W \ P, где P – конечное множество, содержащее полюсы формы, – то форма тождественно равна нулю.

Д. Форма имеет лишь нулевые вычеты, иначе она не может быть точной. Поэтому она вообще не имеет полюсов и ее интеграл A0 является голоморфной функцией на W. Голоморфная функция на компактной поверхности постоянна. Поэтому = dA0 = 0.

С.. Если задача для формы разрешима, то она имеет не более одного решения.

Пусть O W – множество полюсов формы. Около каждого по– люса x O фиксируем локальную координату z, такую что z(x) = 0.

Пусть форма около точки x записывается в виде ck c2 c = +... + + + dz, z zk zгде – росток голоморфной функции в точке x. Росток – ck c2 c+... + + dz z zk zназывается главной частью формы около точки x (главная часть зависит от выбора локальной координаты z). По теореме Римана– – §. Интегрирование алгебраических функций Роха существуют формы с произвольно заданными главными частями.

Росток мероморфной функции в полюсе x формы (-k + 1)ck (-1)cA0x = +... + z zk-назовем главной частью мероморфной составляющей интеграла формы в точке x. Росток A0x обладает следующим свойством:

форма - dA0x в точке x имеет полюс не выше первого порядка.

Это свойство определяет росток A0x с точностью до прибавления ростка голоморфной функции.

У. Задача для формы разрешима, если и только если для набора A0x главных частей мероморфных составляющих интеграла формы в ее полюсах x O и всякой голоморфной формы на W выполнено соотношение для resx(A0x) = 0.

Д. Пусть = + 1 и = dA0. Для всякой голоморфной формы сумма вычетов формы A0 равна нулю, так как W – компактная риманова поверхность. Отсюда и вытекает нужное – равенство. Обратно, если resx(A0x) = 0 для любой голоморфной формы, то по теореме Римана– существует мероморфная –Роха функция A0, имеющая полюсы лишь в точках x O и такая, что для каждой точки x O росток A0 - A0x голоморфен. Очевидно, что форма - dA0 имеет лишь полюсы не выше первого порядка.

На кривой рода нуль не существует ненулевых голоморфных форм, и задача всегда разрешима. На кривой положительного рода задача, как правило, не разрешима.

.. Логарифмическая часть абелева интеграла. Задачу выделения логарифмической части интеграла алгебраической функции можно сформулировать так.

З.. Для заданной мероморфной формы на поверхности W найти форму, имеющую те же вычеты, что и форма, и являющуюся линейной комбинацией дифференциалов логарифмов мероморфных функций.

. Если искомая форма существует, представить ее в виде сумn dAi мы = i Ai, где Ai – мероморфные функции на W, содержащей – i=наименьшее возможное число слагаемых n.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля Пусть P – множество точек x, в которых вычет resx формы – не равен нулю. На множестве P определена функция res : P, сопоставляющая точке x P вычет resx. С функцией res свяжем векторное пространство V(res ) над полем, порожденное значениями функции res.

n dAi Л.. Пусть сумма = i Ai является решением п. заi=дачи для формы. Тогда ) числа 1,..., n лежат в пространстве V(res ) и образуют его базис, ) носители дивизоров (Ai) функции Ai при i = 1,..., n лежат в множестве P.

Д. Согласно лемме. если числа 1,..., n зависимы над, то число слагаемых в представлении формы можно уменьшить (выбрав другой набор мероморфных функций), что противоречит условию. Если x – нуль или полюс одной из функций – dAi A1,..., An, то вычет формы i Ai в точке x не равен нулю, так как он является нетривиальной целочисленной линейной комбинацией чисел 1,..., n. Поэтому x P.

Рассмотрим целочисленные функции i на множестве P, сопоставляющие точке x P порядок функции Ai в этой точке, i(x) = dAi = resx Ai. Покажем, что функции i на множестве P линейно независимы. Действительно, из существования линейного соотношения dAi µii =0 вытекает, что форма = µi Ai голоморфна на W. Покажем, что форма равна нулю. Представим как линейную комбинацию минимально возможного числа дифференциалов логарифмов мероморфных функции. Как мы только что показали, носители дивизоров этих мероморфных функций должны содержаться в множестве полюсов формы, т. е. дивизоры этих функций равны нулю, dAi и поэтому 0. Следовательно, формы линейно зависимы, и Ai число слагаемых в представлении формы можно уменьшить, что противоречит предположению. Мы доказали, что функции i независимы.



Покажем, что числа 1,..., n лежат в векторном пространстве n dAi V(res ). Действительно, форма i Ai имеет те же вычеты, что и i= форма, т. е. ii(x) = resx при x P. Так как i – независимые – целочисленные функции, то числа 1,..., n являются линейными §. Интегрирование алгебраических функций комбинациями с рациональными коэффициентами значений функции res, т. е. они лежат в векторном пространстве V(res ). Числа 1,..., n независимы над. Они порождают пространство V(res ), так как ii(x) = resx.

С.. Если для формы задача разрешима, то существует единственная форма, удовлетворяющая п. этой задачи.

Д. Если есть две формы, удовлетворяющие п.

задачи, то все вычеты разности этих форм равны нулю. Повторяя рассуждение из доказательства леммы., получим, что разность форм равна нулю.

С.. Если для формы задача разрешима, то число слагаемых в решении п. задачи для формы равно размерности пространства V(res ) над полем.

Скажем, что дивизор D = ri xi, xi W, с рациональными ко pi эффициентами ri =, имеющий степень ri = 0, почти главный, gi если существует такое натуральное число N, что дивизор ND главный, т. е. ND = (A), где (A) – дивизор некоторой мероморфной – функции A. Перефразируем это определение. Пусть k – наимень– шее общее кратное знаменателей qi коэффициентов ri дивизора D.

Дивизор D = rixi с рациональными коэффициентами почти главный, если дивизор kD с целыми коэффициентами имеет конечный порядок в якобиане кривой W.

У... Сумма почти главных дивизоров – почти – главный дивизор.

. Произведение почти главного дивизора на рациональное число – почти главный дивизор.

– Д.. Если N1D1 = (A1) и N2D2 = (A2), то тогда N2 N(N1N2)(D1 + D2) = (A1 A2 ).

. Если ND = (A) и r = p/q, то Nq(rD) = (Ap).

Для конечного множества P точек компактной римановой поверхности обозначим через J0(P) множество функций : P, принимающих рациональные значения и таких, что дивизор D = = (x)x почти главный. По только что доказанному утверждеxP нию функции множества J0(P) образуют векторное пространство над полем. Пространство J0(P) содержит решетку J0(P) функций, соответствующих главным дивизорам. Пространство J0(P) порож дается решеткой J0(P) над рациональными числами.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля Сформулируем необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. Пусть P – множество точек x, в которых вычет – resx формы не равен нулю. На множестве P определена функция res : P, сопоставляющая точке x P вычет resx. Выше мы связали с функцией res пространство V(res ) над полем, натянутое на значения функции res. Определим теперь еще одно пространство F(res ). Пусть 1,..., n – базис простран– ства V(res ) над полем. Рассмотрим координатные функции i : P, i = 1,..., n, определенные тождеством resx = i(x)i.

Пространство F(res ) – это векторное пространство над полем –, натянутое на функции 1,..., n. Определение пространства F(res ) корректно. Действительно, пусть u1,..., un – другой ба– зис пространства V(res ) и i = ai, juj, где {ai, j} – обратимая – (nn)-матрица с рациональными компонентами. Тогда res juj, где j = ai, ji. Поэтому пространство над полем, натянутое на функции j, содержится в пространстве над полем, натянутом на функции j. Обратное включение доказывается так же.

У.. Для каждой функции : P из простран ства F(res ) справедливо равенство (x) = 0.

xP Д. Сумма вычетов формы равна нулю. Вычет resx можно рассматривать как вектор из пространства V(res ).

Если сумма векторов равна нулю, то при любом выборе базиса 1,..., n для всякого i, 1 i n, сумма i-х координат этих векторов тоже равна нулю.

У. Задача для формы разрешима, если и только если пространство F(res ) содержится в пространстве J0(P).

dAi Д. Пусть задача разрешима и сумма i Ai, имеющая те же вычеты, что и форма, содержит минимально возможное число членов. Рассмотрим целочисленные функции i на множестве P, сопоставляющие точке x P порядок функции Ai в dAi dAi этой точке, i(x) = resx Ai. Форма = i Ai имеет те же вычеты, что и форма, т. е. ii(x) = resx. По лемме. числа 1,..., n образуют базис векторного пространства V(res ). Поэтому пространство F(res ) порождено функциями 1,..., n. Эти функции лежат в пространстве J0(P), так как дивизоры Di = i(x)x являются дивизорами функций Ai.

§. Интегрирование алгебраических функций Пусть пространство F(res ) содержится в пространстве J0(P).

Выберем базис µ1,..., µn пространства V(res ). По условию функ ция res представима в виде res = µii, где функции i лежат в пространстве J0(P). Это означает, что для каждого i существуют натуральное число Ni и мероморфная функция Bi, такие что значение функции Nii в точке x P равно вычету в этой точке функции dBi µi dBi. Отсюда следует, что форма имеет те же вычеты, что и Bi Ni Bi форма.

Итак, согласно доказанному условию задача разрешима, если и только если любой дивизор из конечного числа явно построенных дивизоров степени нуль после умножения на подходящее целое число становится главным. Теорема Абеля доставляет описание главных дивизоров. Поэтому вопрос о разрешимости задачи в принципе сводится к теореме Абеля.

З. Является ли явно заданный дивизор на алгебраической кривой главным или почти главным Этот вопрос может оказаться непростым, так как теорема Абеля неконструктивна (ср. []). Абель столкнулся с этой проблемой в своей работе об интегрируемости в элементарных функциях псевдогиперэллиптических интегралов. Работа Абеля была закончена Золотарёвым (см. []).





П. Пусть W – кривая рода один. Фиксируем структуру – алгебраической абелевой группы на W, задав точку W, являющуюся нулевым элементом группы. Рассмотрим всюду плотное множество F на кривой W, состоящее из элементов конечного порядка группы W. Задача разрешима для любой формы, для которой множество P содержится в F.

Обсудим противоположную ситуацию. Скажем, что конечное множество F на кривой положительного рода является общим подмножеством, если не существует ни одного ненулевого главного дивизора D, носитель которого лежит в множестве F. Из теоремы Абеля видно, что среди подмножеств с фиксированным числом точек на кривой положительного рода множество общих подмножеств имеет полную меру.

П. Пусть W – кривая положительного рода и F – общее – – подмножество на ней. Задача неразрешима для любой формы, для которой множество P непусто и содержится в F.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля.. Элементарность и неэлементарность абелевых интегралов. Вопрос об элементарности интеграла алгебраической функции сводится к задачам и (см. п..,.).

Т.. Первообразная мероморфной формы обобщенноэлементарна, если и только если для формы разрешимы задачи и и форма равна сумме решений этих задач, т. е. = +, где – – решение задачи для формы и – решение задачи для формы.

– Д. Если неопределенный интеграл от формы является обобщенной элементарной функцией, то по теореме Лиувилля для формы разрешимы задачи и и форма равна сумме решений этих задач. В обратную сторону теорема очевидна.

С.. Пусть для мероморфной формы на кривой положительного рода множество точек P, в которых вычет формы не равен нулю, является общим подмножеством кривой. Тогда неопределенный интеграл от формы не может быть обобщенной элементарной функцией.

Пусть P – фиксированное конечное подмножество на компакт– ной кривой W. Обозначим через P пространство мероморфных -форм на кривой W, вычеты которых в каждой точке множества W \ P равны нулю. Каждая форма P задает следующий класс одномерных когомологий [] множества W \ P: значение []() класса [] на -цикле равняется, где – -цикл, не проходя – щий через полюсы формы, гомологичный циклу в области W \ P.

От выбора -цикла интеграл не зависит, так как по условию вычет формы в каждом полюсе, лежащем в W \ P, равен нулю.

Пусть D = ( f ) – главный дивизор на кривой W, носитель которо– го содержится в множестве P. С дивизором D связан целочисленный класс когомологий [D] пространства W \ P, заданный -форd f мой (функция f определяется дивизором D с точностью до 2i f константы, от выбора которой -форма не зависит). Обозначим через L(P) комплексно-линейное подпространство в одномерных когомологиях дополнения W \ P к множеству P, порожденное целочисленными классами [D] главных дивизоров D, носители которых лежат в множестве P (такие дивизоры соответствуют точкам решет ки J0(P)).

Т.. Первообразная мероморфной формы на кри вой W, принадлежащей пространству P, является обобщенной §. Интегрирование алгебраических функций элементарной функцией, если и только если класс когомологий [] H1(W \ P) лежит в пространстве L(P).

Д. Если класс [] лежит в пространстве L(P), то форма на множестве W \ P задает тот же класс когомологий, что dAi и некоторая форма = i Ai, где Ai – мероморфные функции, но– сители дивизоров которых лежит в множестве P. Форма = - задает нулевой класс когомологий на W \ P. Поэтому неопределенный интеграл формы является однозначной функцией на W \ P.

Этот интеграл имеет полиномиальный рост около полюсов формы и является, следовательно, мероморфной функцией на кривой W.

Обратное утверждение вытекает из теоремы Лиувилля.

Приведем несколько следствий доказанных теорем. Прежде всего отметим следующее топологическое препятствие к элементарности интеграла алгебраической -формы.

С.. Если на кривой W первообразная мероморфной формы, принадлежащей пространству P, является обобщенной элементарной функцией, то умноженное на значение класса ко2i гомологий [] на любом -цикле H1(W \ P, ) лежит в пространстве V(res ).

Д. Действительно, если интеграл формы эле dAi ментарен, то = dA0 + i Ai и числа i лежат в пространстве dAi V(res ). Периоды формы dA0 равны нулю, а периоды форм 2i Ai целочисленны.

С. (ср. []). Если все вычеты мероморфной формы на компактной римановой поверхности W равны нулю, то неопределенный интеграл от берется в обобщенных элементарных функциях, если и только если он однозначен на W.

Д. Интеграл от мероморфной формы имеет полиномиальный рост около полюсов формы. Поэтому если интеграл однозначен, то он является мероморфной функцией. В другую сторону утверждение вытекает из предыдущего следствия.

С. (ср. []). Интеграл от ненулевой голоморфной формы никогда не берется в обобщенных элементарных функциях.

x dy Например, эллиптический интеграл, где P – кубический – xP(t) полином без кратных корней, не элементарен.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля Д. Интеграл от голоморфной формы однозначен, если и только если она равна нулю.

У.. Пусть форма имеет полюсы не выше первого порядка и все ее вычеты рациональны. Тогда неопределенный интеграл формы берется в обобщенных элементарных функциях, если и только если все периоды формы рациональны.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.