WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 35 |

Д. Пусть полином G представим в форме Лиувилля (см. п..). Из следствий.,. видно, что полином G должен быть производной некоторого полинома G0, т. е. G = DG0. Согласно лемме. старшие мономы полинома G0 имеют вид G0 = ctn+1 + + bntn +..., где c – комплексная константа (возможно, равная ну– лю). Дифференцируя, получим DG0(t) = ((n + 1)c(a/a) + bn)tn +...

Рациональная функция bn комплексной переменной z должна удо влетворять уравнению bn = an - (n + 1)c(a/a). Это уравнение имеет рациональное решение, если и только если все вычеты формы (an - (n + 1)c(a/a)) dz равны нулю, откуда вытекает утверждение..

Как правило, для полиномов положительной степени n условия утверждения. не выполняются, поэтому полиномы от логарифмов обычно имеют неэлементарные интегралы.

П. Пусть f, g – рациональные функции переменной z, – причем функция f не равна константе. Тогда интеграл g ln f dz является обобщенной элементарной функцией, если и только если функция g представима в виде cf / f +, где c – константа, а – – – рациональная функция. В частности, неэлементарен интеграл ln z dz.

z - Глава. Классы функций и теория Лиувилля.. Интегрирование функций, лежащих в логарифмическом расширении поля z. Мы приходим к процедуре, позволяющей либо найти интеграл функции G, либо доказать, что этот интеграл не берется в обобщенных элементарных функциях.

Шаг. Если рациональная функция G имеет кратную полярную составляющую, то, пользуясь утверждением., можно найти полярную часть интеграла функции G и перейти к функции Gs = G - D, у которой полярная составляющая некратна.

Шаг. Для рациональной функции Gs с некратной полярной составляющей нужно проверить выполнение условий утверждения.. Если эти условия не выполнены, то интеграл функции G не берется в обобщенных элементарных функциях. Если условия утверждения. выполнены, то можно найти логарифмическую часть интеграла функции Gs. По построению интеграл функции является линейной комбинацией логарифмов, а функция Gs - является полиномом Gn некоторой степени n.

Шаг n. Для полинома Gn нужно проверить выполнение условий утверждения.. Если они не выполнены, то интеграл функции G не берется в обобщенных элементарных функциях. Если условия утверждения выполнены, то можно найти двучлен n, являющийся n-й полиномиальной компонентой интеграла полинома G. Функция Gn - Dn является полиномом Gn-1 степени n - 1.

Шаги n-1,..., 1. Повторяя процедуру шага n, мы либо будем переходить к полиномам все меньшей и меньшей степени, либо на некотором шаге докажем неэлементарность исходного интеграла.

Шаг 0. Если мы дойдем до полинома G0 нулевой степени, то исходный интеграл элементарен. Действительно, полином нулевой степени – это рациональная функция комплексной переменной z, – и интеграл от нее всегда берется в элементарных функциях.

§ 5., В этом параграфе приводится критерий элементарности первообразных -форм вида R(z, u) dz, где R – рациональная функция двух – переменных, z – комплексная переменная и u = exp a для некото– рой рациональной функции a комплексной переменной z. Другими словами, приводится критерий элементарности интегралов от функций, лежащих в экспоненциальном расширении F дифферен §. Интегрирование функций, содержащих экспоненту циального поля K рациональных функций одной переменой z, т. е.

K = z, F = Kt, t = at, a K. Поле F мы будем рассматривать как поле рациональных функций над полем K с операцией дифференцирования D, где D(t) = a(t)t(t) (см. введение к § и п..).

Согласно теореме Лиувилля функция G(t) F имеет элементарный интеграл, если и только если она представима (см. п..) в виде A DPk i G = i Ai + µk Pk + DR0.

Модифицируем для экспоненциального случая определения из §. Неприводимый полином x играет особую роль для экспоненциальных расширений: это единственный неприводимый полином L, который является делителем своей производной DL (см. лемму.).

.. Главная полярная часть интеграла. Главной полярной составляющей рациональной функции R назовем сумму ее Lj-полярных составляющих по всем неприводимым полиномам Lj, кроме полинома L = x.

Рассмотрим полином, являющийся полиномиальной составляющей рациональной функции R. Сумму всех мономов этого полинома, кроме свободного члена, назовем главной полиномиальной составляющей функции R.

Назовем лорановской составляющей функции R сумму ее полиномиальной составляющей и ее x-полярной составляющей.

Функцию назовем главной полярной частью интеграла функции G, если ее лорановская составляющая равна нулю и главная полярная составляющая функции G - D некратна.

У.. Для каждой функции G существует главная полярная часть интеграла. Более того, ее можно явно вычислить, если знать набор всех Lj-полярных составляющих, входящих в главную полярную составляющую функции G и имеющих положительную кратность.

Мы не будем останавливаться на доказательстве утверждения. – оно дословно повторяет доказательство утверждения.. Един– ственное различие – в процессе итерационного построения главной – полярной части интеграла функции G не нужно обращать внимание на x-полярную составляющую этой функции.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля Утверждение. сводит задачу интегрирования рациональных функций к задаче интегрирования рациональных функций с некратной главной полярной составляющей.

.. Главная логарифмическая часть интеграла. Пусть G – – рациональная функция, имеющая некратную главную полярную DPk часть. Функция = µk Pk, где Pk – не равный x неприводимый – полином с единичным старшим коэффициентом, а µk – комплекс– ное число, называется главной логарифмической частью интеграла функции G, если функция G - является полиномом Лорана.



Рассмотрим аддитивное представление функции G, имеющей Q j некратную главную полярную составляющую, G = + Q, где Lj 0 j n Lj – не равный x неприводимый полином с единичным старшим – коэффициентом, Qj – полином, степень которого меньше степени – полинома Lj, и Q – полином Лорана. Обозначим через [DLj] остаток – при делении полинома DLj на полином Lj.

У.. Пусть определенная выше функция G представима в форме Лиувилля. Тогда для каждого j, 0 j n, выполняется тождество Qj µj[DLj], где µj – комплексное число. При вы– DLj полнении этих условий функция = µj Lj = µj(ln Lj) является главной логарифмической частью интеграла функции G, а разность [DL ] j - лежит в поле K = z.

L j 0 j n Д. Мы имеем дело с экспоненциальным расширением поля K. Производная DLj полинома Lj имеет ту же степень, DL [DLj] j что полином Lj. Следовательно, разность - лежит в поле Lj Lj K = z. Это вычисление сводит утверждение. к следствиям.,..

С.. Функция G, у которой главная полярная составляющая некратна и главная лорановская составляющая равна нулю, имеет элементарный интеграл, если и только если для нее выполняются условия утверждения..

Д. Если функция G удовлетворяет условию утверждения., то для нее существует главная логарифмическая часть интеграла, которая имеет элементарный интеграл. Разность §. Интегрирование функций, содержащих экспоненту G - – рациональная функция комплексной переменной z. Ее ин– теграл тоже элементарен.

Как правило, для рациональных функций, имеющих некратную главную полярную часть, условия утверждения. не выполняются.

Поэтому обычно такие функции имеют неэлементарные интегралы.

П. Пусть f, g, h – рациональные функции комплексной пе– ременной z, причем функция f не равна константе, а функция h не g dz равна нулю. Рассмотрим интеграл. Для элементарности exp f + h интеграла необходимо и достаточно, чтобы функция g/(h - f h) была постоянна (действительно, в этом примере L =t + h, DL = f t + g dz + h, [DL] = h - f h). В частности, интеграл элементарен, exp z + если и только если рациональная функция g постоянна.

.. Интегрирование полинома Лорана от экспоненты. Пусть теперь G(t) = aktk – полином Лорана над K с нулевым свобод– m k n ным членом, t = at и a, am,..., ak K, a0 = 0.

У... Пусть полином Лорана G представим в форме Лиувилля. Тогда существует полином Лорана с нулевым свободным членом, такой что D = G.

. Для существования полинома Лорана необходимо и достаточно, чтобы для любого k, такого что m k n и k = 0, линейное дифференциальное уравнение bk + kbka = ak имело решение в поле K, bk K. При этом = bktk.

m k n Д. Из следствий.,. вытекает, что форма Лиувилля для полинома Лорана имеет нулевую главную полярную часть и нулевую главную логарифмическую часть и, следовательно, является полиномом Лорана. Согласно лемме. для полинома Лорана выполняется равенство D = G, если и только если он удовлетворяет условиям п. утверждения..

Как правило, дифференциальные уравнения над полем K = z, о которых идет речь в утверждении., не имеют решений, являющихся рациональными функциями комплексной переменной z.

Поэтому полиномы Лорана над полем z от функции u = exp a(z) обычно имеют неэлементарные интегралы. Ниже мы обсудим критерий разрешимости встретившихся дифференциальных уравнений в рациональных функциях.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля.. Разрешимость линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Мы переходим к вопросу о разрешимости в рациональных функциях комплексной переменной z линейных диф ференциальных уравнений вида y + f y = g, где f, g – рациональ– ные функции от z. Этот вопрос решается следующим образом. Если рациональное решение y существует, то по коэффициентам f и g можно найти полюсы решения y и порядки этих полюсов (см. следствие.). Тем самым можно априори указать конечномерное линейное пространство, в котором должно лежать рациональное решение уравнения, если оно существует. После этого метод неопределенных коэффициентов позволяет либо явно найти рациональное решение уравнения, либо доказать, что такого решения не существует (впрочем, отсутствие рационального решения часто видно без всяких вычислений).

Для всякой ненулевой рациональной функции обозначим через orda() порядок функции в точке a на сфере Римана. Если a =, то порядки функции и ее производной удовлетворяют следую щим соотношениям: если orda()=0, то orda()=orda()-1. Если orda() = 0 и функция не константа, то orda() 0. В частности, порядок производной в конечной точке никогда не равен -1. В точке соотношения принимают следующий вид: если ord() = 0, то ord() = ord() + 1. Если ord() = 0 и функция не константа, то ord() 2. В частности, порядок производной в точке никогда не равен 1.

Л.. Пусть рациональная функция y имеет полюс в точке a, а рациональная функция f не равна константе. Тогда ) если a, то порядок функции y + f y в точке a равен мини муму из чисел orda( y) - 1 и orda( f ) + orda( y);

) если a =, то порядок функции y + f y в точке равен ми нимуму из чисел ord( y) + 1 и ord( f ) + ord( y).

Д. При сделанных предположениях функции y и f y в точке a имеют различные порядки. Поэтому порядок суммы этих функций равен минимуму из их порядков.





Пусть уравнение y + f y = g имеет рациональное решение. Следствие. описывает множество полюсов решения и их порядки.

С.. Точка a – полюс функции y в следующих двух – случаях:

) orda( f ) 0, orda(g) < -1; тогда orda( y) = orda(g) + 1;

§. Интегрирование функций, содержащих экспоненту ) orda( f ) < 0, orda(g) < orda( f ) - 1; тогда orda( y) = orda(g) + 1 - orda( f ).

Точка – полюс функции y в следующих двух случаях:

– ) ord(g) 0, ord( f ) 0; тогда ord( y) = ord(g) - 1;

) ord( f ) < 0, ord(g) < 1 + ord( f ); тогда ord( y) = ord(g) - 1 - ord( f ).

Пусть конечные полюсы a A функции y имеют порядки ka = = -orda y, а точка – полюс функции y порядка m = -ord ya. То– гда y принадлежит конечномерному пространству функций l вида ci,a l = + c0 + dpzp.

(z - a)i aA 0

П. Пусть f, g – полиномы, причем степень полинома g – меньше, чем степень полинома f минус один. Тогда уравнение y + + f y = g не имеет рациональных решений. Действительно, из-за неравенства на степени полиномов уравнение, очевидно, не имеет постоянных решений. Множество полюсов решения в силу следствия. пусто. В самом деле, в точке выполняется неравенство ord( f ) < 0, но неравенство ord(g) < 1 + ord( f ) не выполнено.

Непостоянная рациональная функция должна иметь полюсы. Поэтому уравнение не имеет рациональных решений.

П. Если f, g – полиномы из примера, то интеграл – g(z) exp f (z) dz не берется в обобщенных элементарных функци ях. В частности, exp z2 dz неэлементарен.

П. Пусть функция g имеет полюс первого порядка в некоторой точке a, а функция f в точке a регулярна. Тогда уравнение y + f y = g не имеет рациональных решений. Действительно, пусть рациональное решение существует. Согласно следствию. оно не может иметь полюс в точке a. Значит, функция y + f y регулярна в точке a и не может иметь в ней полюс.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля exp z dz П. Интеграл не берется в обобщенных элеменz тарных функциях. Действительно, интеграл связан с расширением поля K = z элементом t, таким что t = t, и с полиномом G(t) = = (1/z)t. Интеграл не берется, потому что уравнение y + y = 1/z не имеет рационального решения (см. пример ).

sin z dz П. Интеграл не берется в обобщенных элеменz тарных функциях. Действительно, интеграл связан с расширением поля K = z элементом t, таким что t = it, и с полиномом Лора1 на G(t) = t - t-1. Интеграл не берется, потому что уравнения 2iz 2iz 1 y + iy = и y - iy = - не имеют рациональных решений (см.

2iz 2iz пример ).

.. Интегрирование функций, лежащих в экспоненциальном расширении поля z. Мы приходим к процедуре, позволяющей либо найти интеграл функции G, либо доказать, что этот интеграл не берется в обобщенных элементарных функциях.

Шаг. Если рациональная функция G имеет кратную главную полярную составляющую, то, пользуясь утверждением., можно найти главную полярную часть интеграла функции G и перейти к функции Gs = G - D, у которой главная полярная составляющая некратна.

Шаг. Для рациональной функции Gs с некратной главной полярной составляющей нужно проверить выполнение условий утверждения.. Если эти условия не выполнены, то интеграл функции G не берется в обобщенных элементарных функциях. Если условия утверждения выполнены, то можно найти главную логарифмическую часть интеграла функции Gs. По построению интеграл функции является линейной комбинацией логарифмов, а функция Gs - является полиномом Лорана GL. Полином Лорана GL есть сумма свободного члена a0 z и полинома Лорана GL,0, не имеющего свободного члена. Рациональная функция a0 комплексной переменной z имеет элементарный интеграл.

Шаг. Для полинома Лорана GL,0 нужно проверить выполнение условий утверждения.. Для этого надо узнать, разрешимы ли в рациональных функциях дифференциальные уравнения, выписанные в утверждении.. В п.. разобран вопрос о разрешимости таких уравнений. В результате мы либо находим интеграл функции §. Интегрирование алгебраических функций G, либо доказываем, что он не берется в обобщенных элементарных функциях.

§ 6. Если риманова поверхность алгебраической функции имеет нулевой род, то ее интеграл всегда берется в обобщенных элементарных функциях. Если же род римановой поверхности положителен, то интеграл, как правило, не элементарен и берется в обобщенных элементарных функциях в исключительных случаях. Эти исключительные случаи обсуждаются в настоящем параграфе.

Т. (Л ). Неопределенный интеграл y от алгебраической функции A комплексной переменной x берется в обобщенных элементарных функциях, если и только если он представим в виде x k y(x) = A(x) dx = A0(x) + i ln Ai(x), xi=где Ai при i = 0, 1,..., k – алгебраические функции, однозначные на – римановой поверхности W подынтегральной функции A.

Д. Теорема вытекает из теоремы Лиувилля об интегралах элементарных функций, примененной к полю F всех мероморфных функций на поверхности W, снабженному следую щим дифференцированием: f = d f /, где = dx и : W – – естественная проекция римановой поверхности функции A на сферу Римана комплексной переменной x.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.