WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 35 |

– Lm+j У.. Пусть Pk – неприводимые полиномы с единич– ными старшими коэффициентами и µk – комплексные числа. Тогда – p p DPk Qk полярная составляющая функции µk Pk равна µk Pk, где Qk – – k=1 k=остаток при делении полинома DPk на полином Pk (если полиномы DPk и Pk имеют общий множитель, то остаток Qk равен нулю и его не нужно учитывать в написанной сумме).

Скажем, что у элемента g F, рассматриваемого как значение рациональной функции G над полем K на элементе t, существует §. Интегрирование элементарных функций представление Лиувилля, если функция G представима в виде q DRi G = i Ri + DR0.

i=В этом представлении каждую из рациональных функций Ri при i1 il i = 1,..., q запишем в мультипликативном виде Ri = AiPik... Pik, где 1 l Pi – неприводимые над K полиномы со старшим коэффициентом, – j равным единице, ki – целые числа и Ai – элемент поля K. Восполь– – j q DRi зовавшись леммой., линейную комбинацию i Ri логарифмиi=ческих производных функций Ri представим в виде суммы линейq A i ных комбинаций i Ai логарифмических производных элементов i=p DPk Ai поля K и линейных комбинаций µk Pk логарифмических проk=изводных полиномов Pk. Итак, функция G, допускающая представление Лиувилля, записывается в следующем виде:

A DPk i G = i Ai + µk Pk + DR0.

Наша ближайшая цель – выяснить, как связаны Lj-полярные со– DPk ставляющие функции G и функций R0 и. Приведем вычисления Pk для Lj-полярных составляющих в случае, когда полиномы Lj и DLj взаимно просты. В этом случае из утверждений.,. вытекает, что если Lj-полярная составляющая функции R0 не равна нулю, то порядок Lj-полярной составляющей ее производной DR0 больше единицы, в то время как порядок Lj-полярной составляющей DLj логарифмической производной равен единице. Пользуясь этим Lj замечанием, из утверждений.,. легко вывести такие следствия.

С.. Пусть полиномы Lj и DLj взаимно просты. Тогда Lj-полярная составляющая функции G имеет порядок, больший единицы, если и только если Lj-полярная составляющая функции Rне равна нулю. В этом случае старший член Lj-полярной составляющей функции G равен старшему члену Lj-полярной составляющей функции DR0.

С.. Пусть полиномы Lj и DLj взаимно просты. Тогда Lj-полярная составляющая функции G имеет порядок, равный единице, если и только если Lj-полярная составляющая функции R Глава. Классы функций и теория Лиувилля равна нулю, а в линейной комбинации логарифмических производDPk ных есть слагаемое µk Pk, в котором Pk = Lj и µk = 0. В этом случае старший член Lj-полярной составляющей функции G равен старшеDLj му члену Lj-полярной составляющей функции µk Lj.

.. Присоединение интеграла и экспоненты интеграла. В этом пункте мы продолжим вычисления, начатые в п.., для случая, когда поле F получается присоединением к полю K интеграла над полем K и экспоненты интеграла над полем K.

Л.. Пусть t F – трансцендентный элемент над полем – K и L K[x] – неприводимый полином над полем K. Тогда – ) если t – интеграл над полем K, т. е. t = f, f K, то полиномы – DL и L не имеют общего множителя;

) если t – экспонента интеграла над полем K, т. е. t = ft, f K, – то полиномы DL и L имеют общий множитель, если и только если L x.

Д. Прежде всего, наличие или отсутствие общего множителя у полиномов L и DL не зависит от умножения полинома L на элемент a K, a = 0. Это видно из тождества Лейбница D(aL) = aL + aD(L). Если t – интеграл над K, t = f, то, домножив, ес– ли надо, полином L на элемент поля K, можно считать, что старший коэффициент полинома L равен единице, L(x)= xn + a1 xn-1 +...+ an.

В этом случае полином DL = (nf + a1)xn-1 +... имеет меньшую степень, чем полином L, и никак не может делиться на неприводимый полином L.

Если t – экспонента интеграла над K, t = ft, и неприводимый по– лином L не совпадает с полиномом L x, то домножив L, если надо, на элемент поля K, можно считать, что свободный член полинома L равен единице, L(x) = anxn +... + 1 (неприводимый полином имеет нулевой свободный член, только если L x). В этом случае полином DL = (a + nan f )xn +... имеет ту же степень, что и полином L, но n свободный член полинома DL равен нулю. Поэтому он не может делиться на полином L.

З. Используя теорему Ролля и вычисления из леммы., легко показать, что каждая вещественная функция Лиувилля (см. []) имеет лишь конечное число вещественных корней, причем это число корней можно явно оценить сверху (в частности, §. Интегрирование элементарных функций функция sin не является вещественной функцией Лиувилля). Теория малочленов (см. []) содержит далекие многомерные обобщения оценок такого рода.

Л.. Пусть t F – трансцендентный элемент над полем – K, являющийся интегралом над K, т. е. t = f, где f K, и пусть Q K[x] – полином степени n. Производная элемента Q(t) является – значением на элементе t полинома DQ = fQ. Если старший коэффициент полинома Q не константа, то степень полинома DQ равна n.

В противном случае степень полинома DQ равна n - 1. В частности, Q(t) – интеграл над K, если и только если Q = cx + b, где c – – – константа и b K.

Д. Пусть Q = an xn + an-1xn-1 +... Тогда DQ = = a xn + (a + nan f )xn-1 +... Многочлен DQ имеет степень, меньn n-шую чем n, если и только если элемент an является константой, т. е.

an = c1. Этот полином не может иметь степень, меньшую чем -an-n - 1. Действительно, если a + nan f = 0, то = f. Так как n-nc-an-t = f, то t = + c2, где c2, и, следовательно, t K. Включение nct K противоречит трансцендентности элемента t над полем K.

Л.. Пусть t F – трансцендентный элемент над полем – K, являющийся экспонентой интеграла над K, т. е. t = ft, где f K, и пусть Q(x) = ak xk – полином Лорана над K. Производная эле– m k n мента Q(t) равна DQ(t), где DQ(x) = (a + kak f )xk – полином – k m k n Лорана, коэффициент a + kak f которого не равен нулю, если k = k и ak = 0. В частности, элемент Q(t) является интегралом над K, если и только если полином Лорана Q совпадает со своим свободным членом a0.



Д. Покажем, что если k = 0 и ak = 0, то коэффи циент a + kak f не может обращаться в нуль. Действительно, в проk тивном случае элементы ak и t-k удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению: a = -k fak и (t-k) = -kt-k-1 ft = k = -k ft-k, откуда следует, что t-k = cak, где c – константа. Значит, – элемент t алгебраичен над полем K, что противоречит предположению о его трансцендентности.

.. Доказательство теоремы Лиувилля. Вернемся к доказательству теоремы Лиувилля.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля а. Случай алгебраического расширения. Пусть поле F1 = Kxполучено из K присоединением корня x1 неприводимого над K полинома P степени n. Каждый элемент поля F1 является значением на x1 некоторого полинома над полем K степени меньше n. По индукционному предположению существуют полиномы M1,..., Mq и Mстепени меньше n, такие что q (Mi(x1)) f = i Mi(x1) + (M0(x1)).

i=Пусть F – дифференциальное поле, полученное из K присоединени– ем всех корней x1,..., xn полинома P, и Kxi – подполе в F, полу– ченное присоединением к K элемента xi. В силу изоморфизма полей Kx1,..., Kxn для каждого k = 1,..., n (см. лемму.) имеем q (Mi(xk)) f = i Mi(xk) + (M0(xk)).

i=Возьмем в поле F среднее арифметическое полученных n тождеств.

Согласно лемме. для каждого i имеем n (Mi(xk)) Qi =, Mi(xk) Qi k=где Qi = Mi(x1)... Mi(xn). Элементы Qi и Q0 = (M0(x1) +... + M0(xn)) n симметрично зависят от корней полинома P и поэтому лежат в поq i Qi ле K. Итак, f = + Q0, где Q1,..., Qq, Q0 K. В случае алгебраn Qi i=ического расширения K F1 индукционный шаг сделан.

б. Случай присоединения логарифма t. Пусть поле F1 получается из K присоединением трансцендентного над K элемента t, являющегося логарифмом над K (т. е. t = a/a, где a K). Логарифм над полем K является интегралом над полем K – его производная a/a – лежит в поле K. Мы рассматриваем F1 как поле рациональных функций над полем K с операцией дифференцирования D = (a/a).

По лемме. каждый неприводимый полином L взаимно прост со своей производной DL.

По индукционному предположению элемент f допускает представление Лиувилля над полем F1, т. е. (см. п..) элемент f записывается в виде A DPk i f = i Ai + µk Pk + DR0.

§. Интегрирование элементарных функций Применим следствия. и. к функции G = f, не зависящей от t.

Так как все Lj-полярные составляющие функции f равны нулю, то равны нулю все Lj-полярные составляющие функции R0 и все лога A DPk i рифмические члены µk Pk, т. е. f = i Ai + DQ, где Q – полиноми– альная составляющая функции R0. Производная полинома Q должна лежать в поле K. По лемме. имеем Q(t) = ct + A, где c – ком– плексная константа и A K. По условию t = a/a, поэтому A a i f = i Ai + c + A.

a В случае логарифмического расширения K F1 индукционный шаг сделан.

в. Случай присоединения экспоненты t. Пусть поле F1 получается из K присоединением трансцендентного над K элемента t, являющегося экспонентой над K (т. е. t = at, где a K). Экспонента над полем K является частным случаем экспоненты интеграла над полем K. Мы рассматриваем F1 как поле рациональных функций над полем K с операцией дифференцирования D = (at). По лемме. каждый неприводимый полином Lj = x взаимно прост со своей производной.

По индукционному предположению элемент f допускает представление Лиувилля над полем F1, т. е. (см. п..) элемент f записывается в виде A DPk i f = i Ai + µk Pk + DR0.

Применим следствия.,. к функции G = f, не зависящей от t.

Так как все Lj-полярные составляющие функции f равны нулю, то при Lj = x равны нулю все Lj-полярные составляющие функции R DPk и все логарифмические члены µk Pk, где Pk = x, т. е.

A am Dx i f = i Ai + D + µ + DQ, xm x где Q – полиномиальная составляющая функции R0 (в правой части – am мы должны сохранить производную D от x-полярной части xm Dx функции R0 и логарифмический член µ ).

x Dx По определению значение рациональной функции µ на элеx am менте t равно µa K. Поэтому производная D Q + лежит xm Глава. Классы функций и теория Лиувилля в поле K. По лемме. это возможно, лишь если полином Лорана am Q + совпадает со своим свободным членом A. Имеем tm A m f = m Am + (µa + A).

В случае экспоненциального расширения K F1 индукционный шаг сделан.

Теорема Лиувилля об интегралах доказана.

§ 4., В этом параграфе приводится критерий элементарности первообразных -форм вида R(z, u) dz, где R – рациональная функция двух – переменных, z – комплексная переменная и u = ln a для некото– рой рациональной функции a комплексной переменной z. Другими словами, приводится критерий элементарности интегралов от функций, лежащих в логарифмическом расширении F дифференциального поля K рациональных функций комплексной переменной z, т.е. K = z, F = Kt, t =a/a, a K. Поле F мы будем рассматривать как поле рациональных функций над полем K с операцией дифференцирования D, где D = (a/a) (см. введение к § и п..).

Согласно теореме Лиувилля функция G(t) F имеет элементарный интеграл, если и только если она представима (см. п..) в виде A DPk i G = i Ai + µk Pk + DR0.

Введем несколько определений. Кратностью ненулевой Lj-полярной составляющей рациональной функции R назовем число q - 1, где q – порядок этой составляющей. Будем говорить, что – Lj-полярная составляющая некратна, если ее кратность равна нулю. Будем говорить, что рациональная функция R имеет некратную полярную составляющую, если некратны все ее Lj-полярные составляющие.





.. Полярная часть интеграла. Функцию будем называть полярной частью интеграла функции G, если полиномиальная составляющая функции равна нулю и полярная составляющая функции G - D некратна. Для каждой функции G существует не более одной полярной части интеграла. Действительно, различные функции §. Интегрирование функций, содержащих логарифм и 2, не имеющие полиномиальных составляющих, должны иметь различные Lj-полярные составляющие для некоторого полинома Lj.

Для этого полинома Lj-полярная составляющая функции D1 - Dимеет положительную кратность. Поэтому функции 1 и 2 не могут одновременно быть полярными частями интеграла функции G.

У.. Для каждой функции G существует полярная часть интеграла. Более того, ее можно явно вычислить по набору Lj-полярных составляющих функции G, имеющих положительную кратность.

Д. Опишем итерационное построение полярной части интеграла. На каждом шаге исходная задача сводится к аналогичной задаче для новой рациональной функции, имеющей меньшую суммарную кратность полярных составляющих.

Пусть для некоторого полинома Lj степени p старший член Lj-полярной составляющей функции G равен Q/Lm+1, где Q – полином – j степени меньше p и m > 0. Выберем полином T степени меньше p, такой что старший член Lj-полярной составляющей функции T D равен Q/Lm+1, т. е. (-m)T DLj Q mod Lj. Обозначим через j Lm j lj полином, для которого выполняется сравнение (DLj)lj 1 mod Lj.

Полином lj явно строится по полиному DLj при помощи алгоритма Евклида (напомним, что полиномы DLj и Lj взаимно просты).

Теперь достаточно выбрать в качестве полинома T остаток при делении полинома Qlj/(-m) на полином Lj.

Функция G1 = G - D(T/Lm) имеет меньшую суммарную полярную j кратность, чем функция G. Поэтому можно считать, что полярная часть 1 интеграла функции G1 уже найдена. По построению полярная часть интеграла функции G равна 1 + T/Lm.

j Утверждение. сводит задачу интегрирования рациональных функций к задаче интегрирования рациональных функций с некратной полярной составляющей.

.. Логарифмическая часть интеграла. Пусть G – рациональ– ная функция, имеющая некратную полярную часть. Функция = DPk = µk Pk, где Pk – неприводимые полиномы с единичным старшим – коэффициентом, а µk – комплексные числа, называется логарифми– ческой частью интеграла функции G, если функция G - является полиномом.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля Рассмотрим аддитивное представление функции G, имеющей некратную полярную составляющую: G = Qj/Lj + Q, где Lj – – 0 j n неприводимые полиномы с единичными старшими коэффициентами, Q и Qj – полиномы, причем степень полинома Qj меньше – степени полинома Lj.

У.. Пусть определенная выше функция G представима в форме Лиувилля. Тогда для каждого j, 0 j n, выполняется тождество Qj µj DLj, где µj – комплексное число. При вы– полнении этих условий функция = Qj/Lj равняется производной функции µj ln Lj и является логарифмической частью интеграла функции G.

Д. Мы имеем дело с логарифмическим расширением поля K. Производная DLj полинома Lj имеет меньшую степень, чем полином Lj, так как старший коэффициент полинома Lj равен единице. Поэтому старший член Lj-полярной составляющей DL DLj j функции равен. Это вычисление сводит утверждение. к Lj Lj следствиям.,..

С.. Функция G, у которой равна нулю полиномиальная составляющая, а полярная составляющая некратна, имеет элементарный интеграл, если и только если для нее выполняются условия утверждения..

Как правило, для рациональных функций, имеющих некратную полярную часть, условия утверждения. не выполняются. Поэтому, как правило, такие функции имеют неэлементарные интегралы.

П. Пусть f, g – рациональные функции переменной z, – g dz причем функция f не равна константе. Тогда интеграл явln f ляется обобщенной элементарной функцией, если и только если функция g f / f тождественно равна константе. В частности, инте dz грал неэлементарен.

ln z.. Интегрирование полинома от логарифма. Пусть теперь G – полином, G(t) = antn +... + a0, t = a/a и a, a0,..., an K = z.

– Двучлен n = ctn+1 + bntn назовем n-й полиномиальной компонентой интеграла G, если полином G - Dn имеет степень, меньшую чем n.

Мы будем пользоваться тем обстоятельством, что элемент a, фигурирующий в определении логарифмического расширения F = Kt, §. Интегрирование функций, содержащих логарифм t = a/a, и коэффициенты ak полинома G являются рациональными функциями комплексной переменной z. Рассмотрим следующие две -формы комплексной переменной z: (a/a) dz и an dz. Будем рассматривать вычеты resq(a/a) dz и resq an dz этих форм в точке q комплексной прямой как функции точки q (эти функции на комплексной прямой равны нулю всюду, кроме конечного числа точек).

У.. Если полином G = antn +... степени n > представим в форме Лиувилля, то для некоторого комплексного числа µ для любой точки q выполняется тождество resq an dz µ resq(a/a) dz. При выполнении этого условия существует двучлен n = ctn+1 + bntn, в котором коэффициент c равен µ/(n + 1), а коэффициент bn является рациональной функцией комплексной переменной z, определенной с точностью до аддитивной постоянной равенством b = an - µa/a. Этот двучлен n является n-й n полиномиальной компонентой интеграла G.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.