WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 || 35 |

О. Класс ростков IM содержит -ростки всех однозначных функций и замкнут относительно суперпозиций и дифференцирований. Кроме того, ) если класс IM содержит группу комплексных чисел по сложе нию, то класс IM замкнут относительно интегрирований;

) если класс IM содержит группу S(k) перестановок k элементов, то класс IM замкнут относительно решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Доказательство заключается в анализе изменений монодромных пар ростков функции, которые происходят при перечисленных в теореме операциях. Оно повторяет доказательство аналогичной теоремы про -функции одной переменной (см. § главы ). Поэтому мы ограничимся перечислением отличий этих доказательств. Вопервых, теорема о замкнутости класса -ростков (см. п..) сложнее аналогичной одномерной теоремы. Она опирается на результаты §. Во-вторых, операция суперпозиции в многомерной ситуации связана с новой операцией над парами групп – с операцией инду– цированного замыкания. Этот круг вопросов подробно описан в §.

Р. Группа монодромии ростка функции f, представимой в квадратурах, разрешима. Более того, разрешима группа монодромии всякого ростка функции f, представимого через Глава. Многомерная топологическая теория Галуа ростки однозначных -функций, имеющих аналитические множества особых точек, и ростки однозначных -функций одной переменной при помощи интегрирований, дифференцирований и суперпозиций.

Р k-. Монодромная пара ростка функции f, представимой в k-квадратурах, k-разрешима (см. главу ).

Более того, k-разрешима монодромная пара всякого ростка функции f, представимого через ростки однозначных -функций, имеющих аналитические множества особых точек, и ростки однозначных -функций одной переменной при помощи интегрирований, дифференцирований, суперпозиций и решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Р. Монодромная пара ростка функции f, представимой в обобщенных квадратурах, почти разрешима (см. главу ). Более того, почти разрешима монодромная пара всякого ростка функции f, представимого через ростки однозначных -функций, имеющих аналитические множества особых точек, и ростки однозначных -функций одной переменной при помощи интегрирований, дифференцирований, суперпозиций и решения алгебраических уравнений.

Д. Перечисленные выше результаты вытекают из основной теоремы, так как упомянутые в них ростки являются -ростками (см. п..), а классы пар групп, имеющих соответственно разрешимую, k-разрешимую и почти разрешимую группу монодромии, содержат группу по сложению. Два последних класса пар групп, кроме того, содержат соответственно группу S(k) и все группы S(m) при 0 < m < (см. главу ).

Из теории Галуа легко вытекает следующая Т. Решения алгебраического уравнения ym + r1 ym-1 +...

... + rm = 0, в котором ri – рациональные функции n переменных, вы– ражаются при помощи радикалов (при помощи радикалов и решений алгебраических уравнений степени не выше k), если и только если его группа монодромии разрешима (k-разрешима).

Наша теорема позволяет усилить отрицательные результаты в этой теореме.

С.. Если группа монодромии алгебраического уравнения yk + r1 yk-1 +... + rk = 0, §. Многомерные результаты о непредставимости в котором ri – рациональные функции от n переменных, неразреши– ма, то никакой росток его решения не только нельзя выразить в радикалах, но его нельзя представить через ростки однозначных -функций, имеющих аналитические множества особых точек, при помощи интегрирований, дифференцирований и суперпозиций.

Справедлив следующий вариант классической теоремы Абеля, который сильнее всех известных результатов в этом направлении.

Т. (ср. [], []). При n 5 никакой росток решения общего алгебраического уравнения yn + x1 yn-1 +... + xn = 0, в котором x1,..., xn – независимые переменные, нельзя выразить через – ростки элементарных функций, ростки однозначных -функций, имеющих аналитические множества особых точек, и ростки однозначных -функций одной переменной при помощи суперпозиций, интегрирований, дифференцирований и решения алгебраических уравнений степени меньше чем n.

.. Группа монодромии голономной системы линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим голономную систему из N линейных дифференциальных уравнений i1+...+in y Lj( y) = aij = 0, j = 1,..., N,,..., in i i x11...xnn на неизвестную функцию y, коэффициенты aij которой – раци–,..., in ональные функции от n комплексных переменных x1,..., xn.

Как известно, существует особая алгебраическая гиперповерхность для голономной системы в пространстве n, обладающая следующим свойством. Каждое решение системы аналитически продолжается вдоль любой кривой, не пересекающей гиперповерхность. Пусть V – конечномерное пространство решений голоном– ной системы в окрестности точки x0, не лежащей на гиперповерхности. Возьмем произвольную кривую (t) в пространстве n с началом и концом в точке x0, не проходящую через гиперповерхность. Решения системы будут аналитически продолжаться вдоль кривой, оставаясь при этом решениями системы. Поэтому каждой такой кривой отвечает линейное отображение M пространства решений V в себя. Совокупность линейных преобразований M, соответствующих всем кривым, образует группу, которая называется группой монодромии голономной системы.

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа Колчин обобщил теорию Пикара– –Вессио на случай систем голономных дифференциальных уравнений. Приведем следствия теории Колчина, относящиеся к разрешимости в квадратурах регулярных голономных систем дифференциальных уравнений. Как и в одномерном случае, голономная система называется регулярной, если при подходе к особому множеству и при уходе на бесконечность ее решения растут не более чем степенным образом.

Т. Регулярная голономная система линейных дифференциальных уравнений решается в квадратурах и в обобщенных квадратурах, если ее группа монодромии соответственно разрешима и почти разрешима.

Теория Колчина доказывает тем самым два результата.

. Если группа монодромии регулярной голономной системы линейных дифференциальных уравнений разрешима (почти разрешима), то эта система уравнений решается в квадратурах (в обобщенных квадратурах).

. Если группа монодромии регулярной голономной системы линейных дифференциальных уравнений неразрешима (не почти разрешима), то эта система уравнений не решается в квадратурах (в обобщенных квадратурах).

Наша теория позволяет усилить второй (отрицательный) результат.

Т.. Если группа монодромии голономной системы линейных дифференциальных уравнений неразрешима (не почти разрешима), то каждый росток почти каждого решения этой системы уравнений нельзя выразить через ростки однозначных -функций, имеющих аналитические множества особых точек, при помощи суперпозиций, мероморфных операций, интегрирований и дифференцирований (при помощи суперпозиций, мероморфных операций, интегрирований, дифференцирований и решения алгебраических уравнений).

.. Голономные системы линейных дифференциальных уравнений с малыми коэффициентами. Рассмотрим вполне интегрируемую систему линейных дифференциальных уравнений вида dy = Ay, () где y = y1,..., yn – неизвестная вектор-функция и A – (n n)-матри– – §. Многомерные результаты о непредставимости ца, состоящая из дифференциальных -форм с рациональными коэффициентами в пространстве n, удовлетворяющая условию полной интегрируемости dA + A A = 0 и имеющая следующий вид:

k dli A = Ai li, i=где Ai – постоянные матрицы, а li – линейные неоднородные функ– – ции на n.

Если матрицы Ai одновременно приводятся к треугольному виду, то система (), как и всякая вполне интегрируемая треугольная система, решается в квадратурах. Разумеется, встречаются разрешимые нетреугольные системы. Однако если матрица Ai достаточно мала, таких систем нет. Именно, справедлива следующая теорема.

Т.. Нетреугольная вполне интегрируемая система () с достаточно малыми по модулю матрицами Ai сильно неразрешима, т. е. ее нельзя разрешить, даже если использовать ростки всех однозначных -функций, имеющих аналитические множества особых точек, суперпозиции, мероморфные операции, интегрирования, дифференцирования и решения алгебраических уравнений.

Доказательство этой теоремы вполне аналогично доказательству следствия. из главы (см. также п.. из главы ). Нужно лишь ссылку на (одномерную) теорию Лаппо-Данилевского заменить ссылкой на многомерный вариант теории Лаппо-Данилевского из статьи [].

СП ИСО К Л ИТ Е РАТ У Р Ы [] Э. Л. Айнс. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков:

Гос. научно-техн изд., ; М.: Факториал Пресс,.

[] В. Б. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях. М.: Изд-во МЦНМО,.

[] В. И. Арнольд. Алгебраическая неразрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову и проблема топологической классификации особых точек аналитической системы дифференциальных уравнений // Функц. анализ и его прилож., Т., вып.. С. –.

[] В. И. Арнольд, О. А. Олейник Топология действительных алгебраических многообразий // Вестник МГУ. Сер., матем, механ., Т..

С. –.

[] В. И. Арнольд. Суперпозиции // А. Н. Колмогоров, Избранные труды, математика и механика. М.: Наука,. С. –.

[] В. И. Арнольд. Топологическое доказательство трансцендентности абелевых интегралов в «Математических началах натуральной философии» Ньютона // Историко-математические исследования., Т..

С. –.

[] V.I.Arnold, V.A.Vassiliev. Newton’s Principia read years later // Notices Amer. Math. Soc.. Vol., №. P. –. (Addendum:. Vol.

, №. P. ).

[] V. I. Arnold. Problmes rsolubles et problmes irrsolubles analytiques et gomtriques // Passion des Formes. Dynamique Qualitative Smiophysique et Intelligibilit. Ddi R. Thom. Fontenay-St Cloud: ENS ditions,. P. –.

[] В. И. Арнольд. О некоторых задачах теории динамических систем // В. И. Арнольд – Избранное. М.: Фазис,. С. –.

– [] В. И. Арнольд. И. Г. Петровский. Топологические проблемы Гильберта и современная математика // Успехи матем. наук.. Т., вып..

С. –.

[] М. Берже. Геометрия: В т. М.: Мир,.

[] А. А. Болибрух. Обратные задачи монодромии аналитической теории дифференциальных уравнений // Математические события XX века.

М.: Фазис,. С. –.

[] А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. М.: Изд-во МЦНМО,.

[] М. Горески, Р. Макферсон. Стратифицированная теория Морса. М.:

Мир,.

[] А. Гурвиц, Р. Курант. Теория функций. М.: Наука,.

[] В. В. Голубев. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. -е изд. М.–Л.: ГТТИ,.

Список литературы [] Дж. Дэвенпорт. Интегрирование алгебраических функций. М.: Мир,.

[] Ю. С. Ильяшенко, А. Г. Хованский. Теория Галуа систем дифференциальных уравнений типа Фукса с малыми коэффициентами. Препринт ИПМ АН СССР, №. М.,.

[] И. Капланский. Введение в дифференциальную алгебру. М.: Мир,.

[] E. R. Kolchin. Algebraic matric groups and the Picard–Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations // Ann. of Math..

Vol.. P. –.

[] E. R. Kolchin. Galois theory of differential fields // Amer. J. of Math..

Vol.. P. –.

[] А. Г. Курош. Лекции по общей алгебре. М.: Физматгиз,.

[] И. А. Лаппо-Данилевский. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:

ГТТИ,.

[] В. П.Лексин. О задаче Римана– –Гильберта для аналитических семейств представлений // Матем. заметки.. Т., вып.. С. –.

[] J. Liouville. Sur la dtermination des intgrales dont la valeur est algbriques // J. cole Polytech. Paris.. Vol.. P. –.

[] J. Liouville. Mmoire sur l’intgration d’une classe de fonctions transcendentes // J. Reine Angew. Math.. Vol., №. P. –.

[] J. Liouville. Mmoire sur l’intgration d’une classe d’quations diffrentielles du second ordre en quantits finies explicites // J. Math. Pures Appl.

Ser. I.. Vol. IV. P. –.

[] В. В. Прасолов. Неэлементарность некоторых интегралов элементарных функций // Математическое просвещение. Третья серия. М.: Издво МЦНМО,. Вып.. С. –.

[] J. F. Ritt. Integration in finite terms. Liouville’s theory of elementary methods. N. Y.: Columbia Univ. Press,.

[] M. Rosenlicht. Liouville’s theorem of functions with elementary integrals // Pacific J. Math.. Vol.. P. –.

[] M. Rosenlicht. On Liouville’s theory elementary of functions // Pacific J.

Math.. Vol., №. P. –.

[] M. F. Singer. Formal solutions of differential equations // J. Symbolic comput.. Vol.. P. –.

[] M. F. Singer. Liouvillian solutions of n-th order homogeneous linear differential equations // Amer. J. of Math.. Vol., №. P. –.

[] M. van der Put, M. F. Singer. Galois theory of linear differential equations.

Berlin: Springer-Verlag,.

[] А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. М.: Наука,.

[] Б. А. Фукс. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз,.

[] А. Г. Хованский. О представимости алгеброидных функций суперпози Список литературы циями аналитических функций и алгеброидных функций одной переменной // Функц. анал. и его прил.. Т., вып.. С. –.

[] А. Г. Хованский. О суперпозициях голоморфных функций с радикалами // Успехи матем. наук., Т., вып.. С. –.

[] А. Г. Хованский. О представимости функций в квадратурах // Успехи матем. наук.. Т., вып.. С. –.

[] А. Г. Хованский. О представимости функций в квадратурах. Дис....

канд. физ.-матем. наук. М.: МИАН СССР им. В. А. Стеклова,.

[] A. Khovanskii. Topological obstructions for representability of functions by quadratures // Journal of dynamical and control systems.. Vol., №.

P. –.

[] А. Г. Хованский. О продолжаемости многозначных аналитических функций на аналитическое подмножество // Функц. анал. и его прил.

. Т., вып.. С. –.

[] А. Г. Хованский. О монодромии многозначной функции на ее множестве ветвления // Функц. анал. и его прил.. Т., вып.. С. –.

[] А. Г. Хованский. Многомерные результаты о непредставимости функций в квадратурах // Функц. анал. и его прил.. Т., вып.. С. –.

[] А. Г. Хованский. О разрешимости и неразрешимости уравнений в явном виде // Успехи матем. наук.. Т., вып.. С. –.

[] А. Г. Хованский, С. П. Чулков. Геометрия полугруппы n, приложе ния к комбинаторике, алгебре и дифференциальным уравнениям. М.:

Изд-во МЦНМО,.

[] А. Г. Хованский. Теория Галуа, накрытия и римановы поверхности. М.:

Изд-во МЦНМО,.

[] А. Г. Хованский. Интерполяционные полиномы и их применения в чистой математике. М.: Изд-во МЦНМО (в печати).

[] А. Г. Хованский, О. А. Гельфонд. О вещественных функциях Лиувилля // Функцион. анализ и его прил.. Т., вып.. С. –.

[] А. Г. Хованский. Малочлены. М.: Фазис,.

[] Н. Г. Чеботарев. Основы теории Галуа,. М.–Л.: ГТТИ, [] Н. Г. Чеботарев. Основы теории Галуа,. М.–Л.: ГТТИ,.

[] Н. Г. Чеботарев. Теория алгебраических функций. М.–Л.: ГТТИ, ;

М.: УРСС,.

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 || 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.