WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |

Точка b2 M называется особой для мультиростка {yb |Gb, fa } 1 1 формулы y = f G, если существует кривая : [0, 1] M, (0) = b1, (1) = b2, вдоль которой мультиросток не может быть регулярно продолжен, но для любого t, 0 t < 1, он регулярно продолжается вдоль укороченной кривой : [0, t] M. У эквивалентных мультиростков множества особых точек совпадают. Будем говорить, что формула y = f G обладает -свойством, если множество особых точек для любого ее мультиростка является тощим (см. п..).

Кроме множества особых точек удобно рассматривать и другие множества, вне которых неограниченно продолжается мультиросток формулы. Тощее множество A называется запрещенным множеством для мультиростка формулы, если мультиросток регулярно продолжается вдоль кривой (t), (0)= a, пересекающей множество A лишь, может быть, в начальный момент.

Следующая теорема доказывается точно так же, как аналогичная теорема об -функциях в одномерном случае (теорема. главы ).

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа Т. ( ). Тощее множество является запрещенным множеством мультиростка формулы, если и только если оно содержит множество его особых точек. В частности, мультиросток формулы обладает некоторым запрещенным множеством, если и только если формула обладает -свойством.

.. Класс -ростков, его замкнутость относительно естественных операций. Ключевую роль для дальнейшего играет следующее определение.

О. Росток fa аналитической функции f в точке a пространства n является -ростком, если выполнено следующее условие. Для всякого связного комплексно-аналитического многообразия M, всякого аналитического отображения G : M n и всякого прообраза b точки a, G(b) = a, существует тощее множество A M, такое что для всякой кривой : [0, 1] M, начинающейся в точке b, (0) = b, и пересекающей множество A лишь, может быть, в начальный момент, (t) A при t > 0, росток fa аналитически / продолжается вдоль кривой G : [0, 1] n.

Другими словами, росток fa в точке a n является -ростком, если для всякого аналитического отображения G : M n и всякой точки b M, такой что G(b) = a, мультиросток {yb |Gb, fa} формулы y = f G обладает -свойством на многообразии M.

У.. Каждый росток -функции f одной переменной является -ростком.

Д. Если отображение G : M 1 постоянно, то функция f G является константой. Если отображение G непостоянно, то в качестве тощего множества A достаточно взять множество G-1(O), где O – множество особенностей функции f.

– У.. Если f1,..., fm – -ростки в точке a n – и g – -росток в точке ( f1(a),..., fm(a)) пространства m, то – g( f1,..., fm) – -росток в точке a.

– Д. Пусть G : M n – аналитическое отображе– ние связного комплексного многообразия M в n, и пусть b M – – такая точка, что G(b)=a. Так как ростки f1,..., fm в точке a n являются -ростками, то для i = 1,..., m существует тощее множество Ai M, запрещенное для мультиростка формулы yi = fi G. В качестве запрещенного множества для мультиростка формулы z = f G, где f = ( f1,..., fm) – росток вектор-функции в точке a n, доста– §. Многомерные результаты о непредставимости m точно взять множество A = Ai. Обозначим через : R M естеi=ственную проекцию римановой поверхности R формулы z = f G и обозначим через b точку римановой поверхности R, соответствующую мультиростку {zb |Gb, fa}. Росток функции g в точке c = = ( f1(a),..., fm(a)) пространства m является -ростком. Поэтому в многообразии R существует тощее множество B R, запрещенное для мультиростка { |( f G ), gc} формулы = g ( f G ).

b b Для мультиростка {ub |( f G)b, gc} формулы u = g ( f G) в качестве запрещенного множества достаточно взять тощее множество A (B).

О. Операцию, сопоставляющую ростку аналитической вектор-функции f в точке a n росток аналитической функции = ( f ) в той же точке a, назовем операцией с контролируемыми особенностями, если при естественной проекции : R M ростка f римановой поверхности R у ростка существует запрещенное замкнутое аналитическое подмножество A R (т. е. росток аналитически продолжается вдоль любой кривой : [0, 1] R, (0) =, где – точка на R, соответствующая ростку f, пересекаю– щей множество A лишь, может быть, в начальный момент, (t) A / при 0 < t 1).

У... Для каждого i = 1,..., n операция дифференцирования, сопоставляющая ростку аналитической функции f f в точке a n росток функции в той же точке, является операxi цией с контролируемыми особенностями.

. Операция интегрирования, сопоставляющая ростку векторфункции f = ( f1,..., fn) в точке a n росток в той же точке аналитической функции, для которого выполнено тождество d = f1 dx1 +... + fn dxn, является операцией с контролируемыми особенностями.

Д. Если росток функции f (формы = f1 dx1 +...

... + fn dxn) аналитически продолжается вдоль некоторой кривой в n, то вдоль этой же кривой аналитически продолжаются частные производные ростка f (неопределенный интеграл формы ). Поэтому частная производная (неопределенный интеграл) вообще не имеет особенностей на римановой поверхности ростка функции f (ростка вектор-функции f ).

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа У.. Операция решения алгебраического уравнения, сопоставляющая ростку вектор-функции f =( f0,..., fk) в точке a n, где f0 0, росток y в той же точке, удовлетворяющий уравнению f0 yk +... + fk = 0, является операцией с контролируемыми особенностями.

Д. Рассмотрим поле K, порожденное ростками f0,..., fk над полем комплексных чисел. По определению росток y удовлетворяет алгебраическому уравнению f0 yk +... + fk = 0 над полем K, однако это уравнение может оказаться приводимым. Выберем неприводимое уравнение Q0 yl +... + Ql = 0 () над полем K, которому удовлетворяет росток y. Можно считать, что коэффициенты Q0,..., Ql этого уравнения лежат в кольце над полем, порожденном ростками f0,..., fk (если это не так, то достаточно умножить коэффициенты этого уравнения на общий знаменатель). Коэффициенты Q0,..., Ql однозначно продолжаются на риманову поверхность R ростка вектор-функции f.



Обозначим через D(Q0,..., Ql) дискриминант уравнения ().

Дискриминант не обращается в тождественный нуль на R, так как уравнение () неприводимо. Пусть D R – аналитическое мно– жество, на котором дискриминант D(Q0,..., Ql) обращается в нуль.

Пусть 0 R – аналитическое множество, на котором коэффициент – Q0 обращается в нуль. В качестве множества достаточно взять множество = 0 D.

Напомним, что система из N линейных дифференциальных уравнений в частных производных i1+...+in y Lj( y) = aij = 0, j = 1,..., N, (),..., in i i x11...xnn на неизвестную функцию y, коэффициенты aij которых – ана–,..., in литические функции от n комплексных переменных x1,..., xn, называется голономной, если пространство ростков ее решений в любой точке пространства n конечномерно.

О. Операцией решения голономной системы уравнений называется операция, сопоставляющая ростку вектор-функции a =(aij ) в точке a, компоненты которой – занумерованные в лю–,..., in бом порядке коэффициенты голономной системы уравнений (), росток y в точке a некоторого решения этой системы.

§. Многомерные результаты о непредставимости У.. Операция решения голономной системы уравнений является операцией с контролируемыми особенностями.

Это утверждение вытекает из общих теорем о голономных системах.

Т.. Пусть f – росток аналитической вектор-функции – в точке a n, f = ( f1,..., fN), компоненты f1,..., fN которого являются -ростками. Пусть росток в точке a n получается из ростка f применением операции с контролируемыми особенностями. Тогда росток является -ростком.

Д. Пусть : R n – естественная проекция – римановой поверхности R ростка f и R – отмеченная точка на – R, соответствующая этому ростку, () = a. По определению росток в точке R аналитически продолжается вдоль любой кривой на римановой поверхности R, пересекающей некоторое аналитическое множество R лишь, может быть, в начальный момент.

Фиксируем стратификацию Уитни пары (R, ), замыкание каждого страта которой является замкнутым комплексно-аналитическим множеством. Нас будут интересовать лишь страты, замыкания которых содержат отмеченную точку на римановой поверхности R.

Пусть 1 – замыкание одного из таких стратов 1, а 0 – объеди– – нение всех стратов, кроме страта 1, лежащих в 1. Согласно результату § росток аналитически продолжается вдоль любой кривой : [0, 1] 1, (0) =, пересекающей множество 0 лишь, может быть, в начальный момент. Отсюда и вытекает теорема.

Действительно, пусть G : M n – аналитическое отображение – связного комплексного многообразия M в n, и пусть b M – такая – точка, что G(b) = a. Так как все компоненты ростка вектор-функции f являются -ростками, то существует тощее множество A M, запрещенное для мультиростка {yb |Gb, fa} формулы y = f G. Пусть 1 : R1 M – естественная проекция римановой поверхности R– этой формулы и b R1 – отмеченная точка на M1, соответствующая – этому ростку. На риманову поверхность R1 аналитически продол жается росток -1G1 в точке b R1 отображения поверхности R1 в поверхность R, переводящий точку b в точку. Полученное аналитическим продолжением отображение будем обозначать символом G : R1 R. Пусть 1 – наименьшее из замыканий стратов страти– фикации Уитни пары (R, ), содержащее образ G(R1) многообразия R1. Пусть 0 – объединение всех стратов, кроме страта 1, лежа– Глава. Многомерная топологическая теория Галуа щих в 1. Множество B R1, где B = G-1(0), является собственным аналитическим подмножеством в R1. Согласно [], росток a аналитически продолжается вдоль образа G 1 : [0, 1] n всякой кривой : [0, 1] M1, (0) = b, пересекающей множество B лишь, может быть, в начальный момент. Поэтому множество A 1(B) M является запрещенным для мультиростка {yc |Gc, a} формулы y = G. Теорема доказана.

С.. Пусть множество особенностей многозначной аналитической функции в n является замкнутым аналитическим множеством. Тогда каждый росток этой функции является -ростком.

Д. По определению росток такой функции в точке a n можно рассматривать как результат применения операции с контролируемыми особенностями к ростку в точке a векторфункции x = (x1,..., xn), компоненты которой – координатные функ– ции.

Т. ( - ). Класс -ростков содержит все ростки -функций одной переменной и все ростки -функций многих переменных, имеющих аналитические множества особых точек.

Класс -ростков в n замкнут относительно операций суперпозиции с -ростками функции m переменных, дифференцирования, интегрирования, решения алгебраических уравнений и решения голономных систем линейных дифференциальных уравнений.

Д. Принадлежность ростков -функций, о которых говорится в теореме., классу -ростков доказана в утверждении. и в следствии.. Замкнутость класса -ростков относительно суперпозиций доказана в утверждении.. Замкнутость класса -ростков относительно остальных операций вытекает из теоремы. в силу утверждений.–..

С.. Если росток функции f можно получить из ростков -функций, имеющих аналитические множества особенностей, и из ростков -функций одной переменной с помощью интегрирования, дифференцирования, арифметических операций, суперпозиций, решения алгебраических уравнений и решения голономных систем линейных дифференциальных уравнений, то росток f является -ростком. В частности, росток, не являющийся -ростком, нельзя представить в обобщенных квадратурах.





§. Многомерные результаты о непредставимости.. Класс мультиростков формул, обладающих -свойством. Пусть класс ростков аналитических функций задан множеством основных ростков и списком допустимых операций.

Пусть список содержит лишь операции, перечисленные во введении к этой главе. По определению каждый росток класса выражается через множество основных ростков при помощи формул, содержащих допустимые операции. Приведем индуктивное определение мультиростков формул такого вида.

Мультиросток простейшей формулы, означающей принадлежность ростка множеству основных ростков, по определению, состоит из ростков и g, где g – элемент множества, и равенства – = g, т. е. = { | g | = g}.

Пусть росток в точке a n выражается через ростки в точке a функций f1,..., fm при помощи одной из операций – из п..,. введения к настоящей главе или при помощи решения системы голономных уравнений. Пусть 1,..., m – мультиростки – формул, выражающих f1,..., fm через множество основных ростков. Тогда мультиросток формулы, выражающей росток, – это – набор, состоящий из ростка, из мультиростков всех формул 1,..., m и из тождества, соответствующего рассматриваемой операции. Например, если получается из f1,..., fm при помощи решения алгебраического уравнения m + f1m-1 +... + fm = 0, то = { |1,..., m |m + f1m-1 +... + fm = 0}.

Если росток в точке a n выражается через ростки в точке a функций f1,..., fm и через росток в точке b = ( f1(a),..., fm(a)) m функции g при помощи суперпозиции, то мультиросток формулы, выражающей, – это = { |1,..., m, 0 | = g( f1,..., fm)}, – где при i = 1,..., m i – мультиросток формулы для ростка в точке – a функции fi и 0 – мультиросток формулы для ростка в точке b – функции g. (Из-за операции суперпозиции мультиростки формул могут содержать ростки функций в разных пространствах.) Для мультиростка формулы, представляющей росток в точке a n, понятия аналитического продолжения и римановой поверхности определяются точно так же, как это делалось в п.. для формулы y = f G. Отметим, что риманова поверхность R формулы расположена над пространством n (т. е. определена естественная проекция : R n), хотя в ней могут фигурировать ростки функций разного числа переменных.

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа Повторяя определение из п.., скажем, что мультиросток формулы, выражающей росток функции в точке a n через основные ростки, обладает -свойством, если выполнено следующее условие. Для всякого связного комплексно-аналитического многообразия M, всякого аналитического отображения G : M n и всякого прообраза b точки a, G(b) = a, существует тощее множество A M, такое что для всякой кривой : [0, 1] M, начинающейся в точке b, (0) = b, и пересекающей множество A лишь, может быть, в начальный момент, (t) A при t > 0, мультиросток формулы ана/ литически продолжается вдоль кривой G : [0, 1] n.

Т... Пусть класс ростков задан множеством основных ростков, содержащим лишь -ростки, и списком допустимых операций, содержащим лишь операции, перечисленные в п.., и операцию решения системы голономных уравнений. Тогда для каждого ростка из этого класса любая формула, выражающая этот росток через основные ростки при помощи допустимых операций, обладает -свойством.

. Если дополнительно множество основных ростков замкнуто относительно операции аналитического продолжения, то для всякого ростка a, заданного в точке a пространства n, существует запрещенное множество A n, такое что в каждой точке b A каждый росток b, эквивалентный ростку a, тоже принадле/ жит классу (и выражается через основные ростки в некотором смысле той же формулой, что и росток ).

Д. Для доказательства п. достаточно повторить рассуждения из п.. (заменяя ростки функций на мультиростки формул).

Докажем пункт. Согласно п. мультиросток формулы, выражающей росток a через ростки основных функций, обладает -свойством и, в частности, имеет тощее запрещенное множество A. Пусть росток b получается из ростка a аналитическим продолжением вдоль кривой. Можно считать, что (t) не принадлежит множеству A при 0 < t 1 (см. лемму. о снятии кривой с тощего множества из § ). При аналитическом продолжении мультиростка формулы получается мультиросток формулы, выражающей мультиросток b при помощи допустимых операций через основные ростки, так как множество основных ростков замкнуто относительно аналитического продолжения.

§. Многомерные результаты о непредставимости В условиях п. теоремы мы имеем следующую альтернативу. Для всякой многозначной аналитической функции либо ни один из ее ростков не принадлежит классу, либо все ее ростки вне некоторого тощего множества принадлежат этому классу (и выражаются через основные ростки «одной и той же» формулой). В первом случае мы будем говорить, что функция не выражается через основные ростки при помощи допустимых операций, во втором – что такое – представление существует. В частности, определены понятия представимости многозначной аналитической функции в квадратурах, k-квадратурах и обобщенных квадратурах.

.. Топологические препятствия к представимости функций в квадратурах. Фиксируем некоторый непустой I-почти полный класс пар групп IM (см. § ). Обозначим через IM класс -ростков аналитических функций (в точках всех пространств n, n 1, одновременно), монодромная пара которых принадлежит классу пар групп IM.

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.