WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 35 |

b|K 1.. Группы монодромии индуцированных функций. С каждой однозначной аналитической функцией f можно связать ее струйное расширение, сопоставляющее каждой точке x росток функции f в этой точке. Аналогично можно говорить о струйном Глава. Многомерная топологическая теория Галуа расширении многозначной аналитической функции f : это многозначная функция, принимающая значения в множестве ростков функции f и сопоставляющая точке x все регулярные ростки функции f в этой точке.

Пусть f – многозначная -функция на пространстве n и fa – – – некоторый выделенный росток функции f в точке a. Непрерывное отображение : (Y, y0)( n, a) линейно связного топологического пространства Y с отмеченной точкой y0 в пространство n, для которого ( y0) = a, называется допустимым для ростка fa, если росток fa аналитически продолжается вдоль образа любой кривой из пространства Y, начинающейся в отмеченной точке y0.

З. Типичный пример пространств Y, с которыми нам придется иметь дело, доставляют такие локально неодносвязные пространства, как дополнения к счетному всюду плотному множеству A комплексной прямой, т. е. Y = \ A.

С допустимым для ростка fa отображением : (Y, y0) ( n, a) свяжем многозначную функцию на пространстве Y, принимающую значения в множестве ростков многозначной функции f в точках пространства n. Именно, каждое значение многозначной функции в точке y Y – это росток функции f в точке ( y) – n, получающийся аналитическим продолжением ростка fa вдоль некоторой кривой вида : [0, 1] n, где : [0, 1] n – кривая – в пространстве Y, начинающаяся в точке (0) = y0 и заканчивающаяся в точке (1) = y. Для многозначной функции на пространстве Y определяется группа монодромии (которая вполне может оказаться континуальной) и монодромная пара ростка fa этой функции в точке y0 – точно так же, как это делалось для -функций.

– Обозначим через La совокупность всех ростков функции f в точке a, являющихся значениями многозначной функции в точке y0. Группа монодромии M функции является транзитивной группой взаимно однозначных преобразований множества La. Нам нужно связать пару M0, M, в которой M0 – стационарная подгруппа – ростка fa в группе M, с монодромной парой -функции f. Для этого нам понадобятся описанные ниже отождествления.

Пусть O – множество особых точек функции f и x O – любая – / – неособая точка в пространстве n. Обозначим через X множество всех ростков функции f в точке x. Фиксируем кривую : [0, 1] n, соединяющую точки a и x, (0) = a, (1) = x, и пересекающую мно §. О монодромии на множестве ветвления жество особенностей функции f лишь, может быть, в начальный момент, т. е. (t) O при t > 0. Существование такой кривой вы/ текает из леммы о снятии кривой с тощего множества. Каждый из ростков функции f, лежащих в множестве La, аналитически продолжается вдоль кривой. Действительно, ряд Тейлора каждого ростка из множества La сходится в точках (t) кривой при достаточно малых t, 0 t t0. При t t0 никаких препятствий к продолжению ростка не возникает, так как по условию при t > 0 точки (t) не лежат в множестве O.

Отождествим каждый росток fia из множества La с ростком функции fix в точке x, полученным при продолжении ростка fia вдоль кривой. При этом множество La отождествится с некоторым подмножеством Lx в множестве X, выделенный росток fa отождествится с некоторым выделенным ростком fx X, группа монодромии M функции отождествится с некоторой группой M(x) транзитивных преобразований множества Lx, а стационарная подгруппа ростка fa в M отождествится со стационарной подгруппой M0(x) ростка fx в группе M(x). Обозначим через G группу монодромии функции f, рассматриваемую как группу транзитивных взаимно однозначных преобразований множества X в себя. Через G0 обозначим стационарную подгруппу ростка fx в группе G.

Группы G0, G мы рассматриваем как группы преобразований множества X, содержащего подмножество Lx X.

Т.. Индуцированное замыкание (S) группы монодромии G функции f в группе S = S(Lx) взаимно однозначных преобразований множества Lx содержит группу монодромии M(x) функции. При этом стационарная подгруппа M0(x) равна пересечению группы M(x) с индуцированным замыканием 0(S) стационарной подгруппы G0 ростка fx в группе G.

Д. Если росток g аналитической функции аналитически продолжается вдоль некоторой кривой : [0, 1] n, то он аналитически продолжается вдоль всякой кривой с теми же концами, (0) = (0), (1) = (1), достаточно близкой к кривой.

При этом продолжения ростка g вдоль кривых и приводят к од ному и тому же результату. Доказательство теоремы основано на этом аналитическом факте. Ввиду принятых отождествлений каждое преобразование m: Lx Lx из группы M(x) получается одновременным аналитическим продолжением ростков из множества Lx Глава. Многомерная топологическая теория Галуа вдоль некоторой кривой вида 1-1, где -1 – кривая, прой– денная в обратном порядке, а кривая 1 является образом при отображении некоторой кривой 2 : [0, 1] Y в пространстве Y, начинающейся и заканчивающейся в точке y0. Концы кривой лежат в точке x n, но кривая, вообще говоря, пересекает множество O особых точек функции f. Фиксируем любое конечное множество K ростков в Lx. Продеформируем немного кривую, оставляя закрепленными ее концы таким образом, чтобы не изменить аналитические продолжения конечного множества K ростков вдоль кривой, и так, чтобы продеформированная кривая не пересекала множе ство O. Это можно сделать, учитывая аналитический факт, приведенный в начале доказательства, и лемму о снятии кривой с тощего множества.



Вдоль кривой можно аналитически продолжать все ростки из множества X, так как кривая не пересекает множество O. Соот ветствующее кривой преобразование g : X X принадлежит груп пе монодромии G функции f. Итак, мы для окрестности UK преобразования m: Lx Lx, лежащего в группе M(x), предъявили преобразование g : X X из группы G, такое что m|K = g|K. Поэтому M(x) (S).

Далее, подгруппа M0(x) состоит из преобразований группы M(x), переводящих точку fx в себя. Для конечных множеств K Lx, содержащих точку fx, всякое преобразование g : X X, совпадающее на множестве K с некоторым преобразованием m: L L, где m M0, тоже переводит точку fx в себя. Поэтому M0 = M 0(S).

Теорема доказана.

.. Классы пар групп. В одномерном варианте топологической теории Галуа описывается, как изменяются монодромные пары функций одной переменной при суперпозициях, интегрированиях, дифференцированиях и т. д. Для этого используются некоторые понятия, связанные с парами групп (см. п..,. главы ). Для функций многих переменных в связи с теоремой из п.. эти понятия необходимо несколько модифицировать. Напомним определения и проведем нужную модификацию.

Парой групп мы всегда называем пару, состоящую из группы и некоторой ее подгруппы, при этом группа отождествляется с парой групп, состоящей из этой группы и ее единичной подгруппы.

§. О монодромии на множестве ветвления О. Совокупность пар называется почти полным классом пар групп, если для каждой пары групп [, 0], где 0, ) для любого гомоморфизма : G, где G – некоторая группа, – пара групп [, 0] также содержится в ;

) для любого гомоморфизма : G, где G – некоторая группа, – пара групп [-1, -10] также содержится в ;

) для любой группы G, наделенной T2-топологией и содержащей группу, G, пара групп [ 0] также содержится в, где, 0 –, – замыкания групп, 0 в группе G.

О. Почти полный класс пар групп называется полным, если ) для каждой пары групп [, 0] и группы 1, такой что 1, пара групп [, 1] также содержится в ;

) для каждых двух пар групп [, 1], [1, 2], таких что 1, пара групп [, 2] также содержится в.

Минимальные почти полный и полный классы пар групп, содержащие фиксированное множество пар групп, будем обозначать и соответственно. Пусть – класс всех конечных – групп, – класс всех абелевых групп, S(k) – группа всех пере– – становок k элементов. Минимальные полные классы пар групп,,, S(k) и называются почти разрешимыми, k-разрешимыми и разрешимыми классами пар групп соответственно. Эти классы пар групп важны в теории Галуа. Они допускают следующее явное описание.

Цепочка подгрупп i, i = 1,..., m, = 1... m 0, называется нормальной башней пары групп [, 0], если группа i+1 является нормальным делителем группы i при каждом i = 1,..., m - 1. Совокупность факторгрупп i/i+1 называется совокупностью делителей относительно нормальной башни.

Т,,, S(n) (см.

теорему. из главы ).. Пара групп почти разрешима, если и только если она обладает нормальной башней, каждый делитель относительно которой является или конечной, или коммутативной группой.

. Пара групп k-разрешима, если и только если она обладает нормальной башней, каждый делитель относительно которой является или подгруппой группы S(k), или коммутативной группой.

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа. Пара групп разрешима, если и только если группа монодромии этой пары разрешима (группой монодромии пары групп [, 0] называется факторгруппа группы по наибольшему нормальному делителю, лежащему в группе 0).

Усилим свойство из определения почти полного класса пар групп.

) Для всякого почти гомоморфизма J : T около группы S пара групп [ также содержится в, где (S), 0(S) – ин(S), 0(S)] – дуцированные замыкания групп, 0 в группе S при почти гомоморфизме J.

О. I-почти полный класс пар групп, I-полный класс пар групп, классы I и I определяются так же, как почти полный класс пар групп, полный класс пар групп, классы и соответственно, нужно лишь во всех определениях свойство заменить более сильным свойством.

У.. Верны равенства I, =,, I, S(k) =, S(k) и I =.

Доказательство немедленно вытекает из явного описания классов,,, S(k) и и из теорем. и. п.. об индуцированных замыканиях.

Т.. Монодромная пара всякой многозначной функции, индуцированной при некотором непрерывном отображении -функцией f, принадлежит минимальному I-почти полному классу пар групп, содержащему монодромную пару функции f. В частности, если -функция f обладает разрешимой группой монодромии (почти разрешимой монодромной парой, k-разрешимой монодромной парой), то этим же свойством обладает группа монодромии (монодромная пара) всякой многозначной функции, индуцированной при некотором непрерывном отображении функцией f.

Доказательство вытекает из теоремы. пункта. и из замкнутости классов,,, S(k) и относительно операции индуцированного замыкания.

§ 4. В этом параграфе описываются топологические препятствия к представимости функций многих переменных в квадратурах. Аналогич §. Многомерные результаты о непредставимости ные результаты для функции одной переменной описаны в главе настоящей книги.

В § главы построен обширный класс бесконечнозначных функций одной переменной, для которых определена группа монодромии. Существует ли достаточно широкий класс ростков бесконечнозначных функций многих переменных (содержащий ростки функций, представимых в обобщенных квадратурах, и ростки целых функций многих переменных и замкнутый относительно естественных операций, таких как операция суперпозиций), обладающих аналогичным свойством В этом параграфе определяется класс -ростков, дающий положительный ответ на этот вопрос.





Доказательство использует результаты о продолжаемости многозначных аналитических функций вдоль их множеств ветвления (см. § ).

Основная теорема (см. п..) описывает изменения групп монодромий -ростков, которые происходят в результате применения к росткам естественных операций. Она очень близка к соответствующей одномерной теореме (см. § главы ), но использует также новые результаты аналитического (см. § ) и теоретико-группового (см. § ) характера. Как следствие получаются топологические результаты о неразрешимости уравнений в явном виде, более сильные, чем аналогичные классические теоремы.

.. Формулы, их мультиростки, аналитические продолжения и римановы поверхности. Мы рассматриваем лиувиллевские классы аналитических функций многих переменных, представимых явными формулами, в частности класс функций, представимых в квадратурах (обобщенных квадратурах, k-квадратурах), класс элементарных (обобщенных элементарных) функций (см. введение к этой главе). Для каждой формулы можно определить мультиросток, содержащий ростки всех функций, фигурирующих в этой формуле (см. п..).

Можно говорить об аналитическом продолжении мультиростка формулы вдоль кривой (являющемся, в сущности, аналитическим продолжением ростков, фигурирующих в этой формуле, вдоль различных кривых, связанных этой формулой между собой). Можно определить понятие римановой поверхности формулы, говорить об -свойстве формулы и т. д. Мы подробно обсудим эти определения Глава. Многомерная топологическая теория Галуа для случая простейшей формулы y = f G. Чтобы не загромождать текст, для более сложных формул аналогичные определения не приводятся. О чем идет речь, ясно из разбираемого ниже примера.

Росток аналитической функции (вообще говоря, многозначной) мы иногда обозначаем той же буквой, что и саму функцию, не уточняя в обозначении, о какой точке и о каком ростке функции в этой точке идет речь, если это ясно из контекста.

Рассмотрим композицию ростка аналитического отображения G связного аналитического многообразия M в n и ростка аналитической функции f : n C. Мультиростком формулы y = f G называется тройка ростков {yb |Gb, fa}, где yb, Gb – ростки в точке – b M аналитической функции y и аналитического отображения G : (M, b) ( n, a), fa – росток в точке a n аналитической функ– ции f, для которых справедлива формула yb = fa Gb.

Пусть : [0, 1] M, (0) = b, – параметризованная кривая на – многообразии M. Рассмотрим параметризованную кривую G(t) :

[0, 1] n в пространстве n, переводящую точку t, 1 t 1, в точку G(t) (t), где G(t) – результат аналитического продолжения – ростка Gb вдоль кривой : [0, t] M. Аналитическим продолжением мультиростка {yb |Gb, fa } формулы y = f G вдоль кривой 1 1 : [0, 1] M, (0) = b1, (1) = b2, называется тройка {yb |Gb, fa }, 2 2 где yb и Gb – ростки, полученные аналитическим продолжением – 2 ростков yb и Gb вдоль кривой, и fa – росток, полученный анали– 1 1 тическим продолжением ростка fa вдоль кривой G(t) : [0, 1] n.

Очевидно, что эти ростки связаны соотношением yb = fa Gb.

2 2 Скажем, что два мультиростка формулы y = f G эквивалентны, если один мультиросток получается из другого аналитическим продолжением вдоль некоторой кривой. Как множество точек риманова поверхность R формулы y = f G – это совокупность всех муль– тиростков, эквивалентных заданному мультиростку { yb |Gb, fa}.

Определена естественная проекция : R M римановой поверхности формулы y = f G на многообразие M, сопоставляющая мультиростку {yb |Gb, fa } точку b1 M. По малой окрестности U точки 1 1 b1 на многообразии M можно определить окрестность U мульти ростка b1 = {yb |Gb, fa } на римановой поверхности R. Для этого 1 1 нужно, чтобы окрестность U лежала в некоторой координатной окрестности точки b1 на многообразии M, чтобы в области U ряд Тейлора ростка Gb : M n сходился к некоторому отображению §. Многомерные результаты о непредставимости G : U n и чтобы образ G(U) n окрестности U при отображении G лежал в области сходимости ряда Тейлора ростка fa. Если эти условия выполнены, то окрестность U мультиростка b1 на римановой поверхности R определяется как множество мультиростков {yb |Gb, fa }, где b2 U, Gb – росток в точке b2 отображения G, fa – – – 2 2 2 2 росток в точке a2 = G(b2) функции f, равной сумме ряда Тейлора ростка fb, и yb = fa Gb.

1 2 2 Окрестности U описанного вида задают топологию на римановой поверхности R. В этой топологии естественная проекция : R M является локальным гомеоморфизмом R в M. При помощи локального гомеоморфизма на поверхности R индуцируется структура комплексно-аналитического многообразия, которая по определению существует на многообразии M.

Риманова поверхность R формулы y = f G играет в точности ту же роль, что и риманова поверхность аналитической функции. А именно, мультиросток {y |G, fa} формулы y = f G, где G = G, b b однозначно аналитически продолжается на всю риманову поверхность R, и риманова поверхность R является максимальным многообразием, для которого это условие выполнено (это значит, что если 1 : R1 M – другое многообразие R1 вместе с локальным го– меоморфизмом 1 в M, для которого верен этот факт, то существует вложение j : R1 R, коммутирующее с проекциями, т. е. 1 = j).

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.