WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 35 |

Можно ли оценить группы монодромии индуцированных таким способом многозначных функций через группу монодромии исходной -функции f (верно ли, например, что если группа монодромии -функции f разрешима, то разрешима и группа монодромии каждой индуцированной из f функции) В этом параграфе мы получим положительный ответ на этот вопрос (см. п..,.).

Это совсем не очевидно, если множество особых точек функции f незамкнуто. Отметим, кстати, что -функции с незамкнутыми множествами особых точек не являются чем-то необычным. Именно такими, как правило, бывают многозначные элементарные функции (см. § главы ).

Описание связи группы монодромии исходной -функции с группами монодромии индуцированных таким способом функций потребовало введения операции индуцированного замыкания групп (см. п..). В свою очередь, использование этой операции вынуждает пересмотреть определения различных классов пар групп (см. п..), встречающихся в одномерном варианте топологической теории Галуа (см. п.. и. главы ). В этом параграфе строятся определения, позволяющие работать с функциями многих переменных, имеющими всюду плотные множества особых точек и континуальные группы монодромии.

.. -функции. В одномерном варианте топологической теории Галуа центральную роль играют -функции, т. е. многозначные аналитические функции одной переменной, множество особых точек которых не более чем счетно. Обобщим понятие класса -функций на многомерный случай. Все утверждения этого параграфа несложны и доказываются точно так же, как их одномерные аналоги (см. § главы ); поэтому мы не будем останавливаться на их доказательстве.

§. О монодромии на множестве ветвления Подмножество A в связном k-мерном аналитическом многообразии M назовем тощим, если существует счетное множество открытых областей Ui M и счетное множество собственных аналитиче ских подмножеств Ai Ui в этих областях, таких что A Ai. Многозначную аналитическую функцию на многообразии M назовем -функцией, если множество ее особых точек является тощим. Уточним это определение.

Два регулярных ростка fa и gb, заданных в точках a и b многообразия M, называются эквивалентными, если росток gb получается из ростка fa регулярным продолжением вдоль некоторой кривой.

Каждый росток gb, эквивалентный ростку fa, называется также ростком многозначной аналитической функции f, порожденной ростком fa. Точка b M называется особой для ростка fa, если существует кривая : [0, 1] M, (0) = a, (1) = b, вдоль которой росток fa не может быть регулярно продолжен, но для любого t, 0 t < 1, росток fa регулярно продолжается вдоль укороченной кривой : [0, t] M. Легко видеть, что у эквивалентных ростков множества особых точек совпадают. Росток называется -ростком, если множество его особых точек является тощим. Многозначная аналитическая функция называется -функцией, если каждый ее росток является -ростком.

Фиксируем произвольную риманову метрику на M.

Л. ( ). Пусть A – тощее множество на многообразии M, : [0, 1] M – кривая и – – – непрерывная положительная функция на интервале 0 < t <1. То– гда существует кривая : [0, 1] M, такая что (t) A при 0

Кроме множества особых точек удобно рассматривать и другие множества, вне которых функция неограниченно продолжается.

Тощее множество A называется запрещенным множеством для регулярного ростка fa, если росток fa регулярно продолжается вдоль кривой (t), (0) = a, пересекающей множество A лишь, может быть, в начальный момент.

Т. ( ). Тощее множество является запрещенным множеством ростка, если и только если оно содержит множество его особых точек. В частности, росток обладает некоторым запрещенным множеством, если и только если он является ростком -функции.

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа Группа монодромии -функции f с запрещенным множеством A (или, короче, группа A-монодромии) – это группа всех перестано– вок листов функции f, которые происходят при обходе точек множества A. Остановимся на этом подробнее.

Пусть X – множество всех ростков -функции f в точке a, не – лежащей в множестве A. Возьмем замкнутую кривую в M \ A с началом в точке a. Продолжение каждого ростка из множества X вдоль кривой приводит к ростку из множества X. Итак, каждой замкнутой кривой соответствует отображение множества X в себя, причем гомотопным в M \ A кривым отвечают одинаковые отображения. Произведению кривых отвечает произведение отображений. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы множества M \ A в группу S(X) взаимно однозначных преобразований множества X. (Здесь и во всем параграфе мы имеем в виду следующую групповую структуру в группе S(X): если f, g – взаимно – однозначные преобразования множества X, то их произведением fg в группе S(X) называется композиция g f отображений f и g.) Группой A-монодромии -функции f называется образ фундаментальной группы 1(M \ A, a) в группе S(X) при гомоморфизме.

Группа A-монодромии – это не только абстрактная группа, но – и группа транзитивных перестановок листов функции (транзитивность этой группы легко выводится из леммы о снятии кривой с тощего множества). Алгебраически такой объект задается парой групп: группой перестановок и ее подгруппой, являющейся стационарной подгруппой некоторого элемента.

Монодромной парой -функции с запрещенным множеством A называется пара групп, состоящая из группы A-монодромии и стационарной подгруппы некоторого листа этой функции. Эта пара групп определена корректно, т. е. с точностью до изоморфизма не зависит ни от выбора точки a, ни от выбора листа функции.



В случае, когда запрещенное множество A совпадает с множеством особых точек функции, упоминание о запрещенном множестве мы будем опускать и говорить о группе монодромии и монодромной паре этой функции. В случае, когда множество особых точек функции незамкнуто, группа A-монодромии может оказаться собственной подгруппой группы монодромии этой функции.

Группа S(X) наделена топологией (см. п.. главы и п..).

§. О монодромии на множестве ветвления У.. Замыкание в группе S(X) группы A-монодромии -функции f не зависит от выбора запрещенного множества A и содержит группу монодромии функции f. При этом замыкание стационарной подгруппы фиксированного листа fa относительно действия группы A-монодромии содержит стационарную подгруппу этого листа относительно действия группы монодромии.

.. Почти гомоморфизмы и индуцированные замыкания.

Нам понадобится конструкция, сопоставляющая каждой группе преобразований множества X некоторую группу преобразований его подмножества L (см. п..). Для изучения ее свойств удобно воспользоваться понятиями почти гомоморфизма и индуцированного замыкания.

Пусть T – топологическое пространство и S – группа, лежащая – – в T.

О. Отображение J : G T группы G в пространство T называется почти гомоморфизмом около группы S, если ) отображение J переводит единицу группы G в единицу группы S;

) для любой точки a группы S и любой окрестности V в пространстве T точки a-1 существует такая окрестность U в пространстве T точки a, что для любой точки группы G, для которой J() U, справедливо включение J(-1) V;

) для любых точек a, b группы S и любой окрестности V в пространстве T точки ab существуют такие окрестности U1 и U2 в про странстве T точек a и b, что для всяких точек, b группы G, для которых J() U1 и J( U2, справедливо включение J( V.

b) b) Основной пример почти гомоморфизма около группы описан в п...

О. Индуцированным замыканием (S) группы G в группе S относительно почти гомоморфизма J : G T около груп пы S называется пересечение группы S с замыканием J(G) в пространстве T образа группы G при отображении J.

Опишем свойства индуцированного замыкания. Прежде всего, индуцированное замыкание (S) является подгруппой в группе S.

Далее, ограничение J : G1 T почти гомоморфизма J : G T группы G около группы S на подгруппу G1 группы G, очевидно, является почти гомоморфизмом группы G1 около группы S. Поэтому инду Глава. Многомерная топологическая теория Галуа цированное замыкание определено для всех подгрупп группы G одновременно.

Пусть A1,..., An – алфавит, содержащий n символов. Словом W в – 1 N этом алфавите называется любое выражение вида W = Ak... Ak, где i1 iN индексы i1,..., iN принимают любые целые значения от до n, а степени k1,..., kN равны плюс или минус единице. Число k = |k1| +...

... +|kN | называется длиной слова W. Для всякой группы и всякой последовательности a1,..., an точек группы определено значение 1 n W(a1,..., an) слова W, являющееся точкой ak... ak группы.

i1 in У.. Пусть J : G T – почти гомоморфизм груп– пы G около группы S. Тогда для всякого слова W, всякого набора точек a1,..., an группы S и всякой окрестности V в пространстве T точки W(a1,..., an) S существуют такие окрестности U1,...

..., Un в пространстве T точек a1,..., an, что для всяких точек 1,..., n, для которых J(1) U1,..., J(n) Un, справедливо включение J(W(1,..., n)) V.

Д. Проведем индукцию по длине k слова W.

Для единственного нетривиального слова W = A-1 длины один iутверждение справедливо по определению почти гомоморфизма.

Каждое слово W длины k > 1 записывается либо в виде Ai W1, либо в виде A-1W1, где W1 – слово длины k - 1. В любом из этих – iдвух случаев по определению почти гомоморфизма для каждой окрестности V точки W(a1,..., an) существуют окрестности V1 и V2 точек ai и W1(a1,..., an), такие что если точки 1,..., n группы G удовлетворяют включениям J(i ) V1 и J(W1(1,..., n)) V2, то J(W(1,..., n)) V. По предположению индукции найдутся такие окрестности U1,..., Un точек a1,..., an, что если 1,..., n удовлетворяют включениям J(1) U1,..., J(n) Un, то J(W(1,..., n)) V2.

Поэтому если точка i удовлетворяет включению J(i ) Ui V1, 1 1 а точки j при j = i1 удовлетворяют включениям J(j) Uj, то J(W(1,..., n)) V. Утверждение доказано.

Т.. Для всякого почти гомоморфизма J : G T группы G около группы S и всякого нормального делителя G1 группы G, для которого факторгруппа G/G1 коммутативна, индуцированные замыкания 1(S), (S) групп G1, G в группе S относительно почти гомоморфизма J удовлетворяют следующим условиям: группа 1(S) является нормальным делителем в группе (S), и факторгруппа (S)/1(S) коммутативна.

§. О монодромии на множестве ветвления Д. Нам надо доказать, что для каждой пары то чек a, b группы (S) точка aba-1b-1 принадлежит группе 1(S), т. е.

что в любой окрестности V точки aba-1b-1 существуют точки, принадлежащие образу J(G1) группы G1. Согласно утверждению, примененному к слову W = A1 A2 A-1 A-1, существуют окрестности U1 и 1 U2 точек a и b, такие что для всякой пары точек, b группы G, для которых выполнены соотношения J() U1, J( U2, справедливо b) включение J(-1 V. Точки a и b лежат в группе (S); поb b-1) этому точки и b группы G, для которых эти соотношения выпол нены, действительно существуют. Для такой пары точек, b точка -1 лежит в группе G1, так как факторгруппа G/G1 коммутаb b-тивна. Итак, мы нашли точку, принадлежащую образу J(G1) группы G1 в заданной окрестности V точки aba-1b-1. Теорема. доказана.





Т.. Для всякого почти гомоморфизма J : G T группы G около группы S и всякой подгруппы G1 группы G, имеющей ко нечный индекс k в группе G, индуцированные замыкания 1(S), (S) групп G1, G в группе S относительно почти гомоморфизма J удовле творяют следующему условию: группа 1(S) является подгруппой конечного индекса в группе (S), причем этот индекс меньше или равен k.

Д. Пусть R1,..., Rk – правые классы смежности – группы G по подгруппе G1. Обозначим через Pi, i = 1,..., k, пересечение группы S с замыканием образа J(Ri) класса Ri при отображении J. Мы покажем, что каждый правый класс смежности группы (S) по группе 1(S) совпадает с одним из множеств P1,..., Pk. Отсюда немедленно вытекает теорема., так как это означает, что правых классов смежности не больше чем k.

. Покажем, что объединение множеств P1,..., Pk совпадает с груп пой (S). Действительно, группа G является объединением правых k классов смежности R1,..., Rk; поэтому J(G) = J(Ri). Отсюда имеi=k ем J(G) = J(Ri). Пересекая фигурирующие в этом равенстве мноi=k жества с группой S, получим (S) = Pi.

i=. Пусть a – точка группы (S) и a1(S) – правый класс смежно– – сти, содержащий эту точку. Согласно п. точка a лежит в одном из Глава. Многомерная топологическая теория Галуа множеств Pi. Покажем, что Pi содержит весь класс a1(S). Действи тельно, каждая точка этого класса имеет вид b= ac, где c 1(S). Все три точки a, b, c лежат в группе S. По определению почти гомоморфизма для каждой окрестности V точки b существуют окрестности U1 и U2 точек a и c, такие что если J() U1 и J( U2, то J( V.

c) c) Точки и c, удовлетворяющие этим соотношениям, можно выбрать в классе Ri и группе G1 соответственно, так как a J(Ri), c 1(S).

Для такого выбора точек и c точка лежит в классе Ri. Поэтому c точка b лежит в множестве Pi, что и требовалось доказать.

. Пусть множество Pi непусто и a Pi – одна из его точек. Пока– жем, что множество Pi содержится в классе a1(S). Пусть b – любая – точка в Pi. Рассмотрим элемент c = a-1b. Покажем, что c 1(S). Для этого нужно показать, что всякая окрестность V элемента c пересекается с образом J(G1) группы G1. Все три точки a, b, c лежат в группе S. По определению почти гомоморфизма для каждой окрестности V точки c существуют окрестности U1 и U2 точек a и b, такие что если J() U1 и J( U2, то J(-1 V. Точки, b, удовлетвоb) b) ряющие этим соотношениям, можно выбрать в классе Ri, так как a, b Pi. Для такого выбора точек, b точка -1 лежит в группе G1.

b Поэтому точка c лежит в группе 1(S), что и требовалось доказать.

Теорема. доказана.

.. Индуцированное замыкание группы преобразований множества в группе преобразований его подмножества. Опишем основной пример почти гомоморфизма J около группы.

а) Топологическое пространство T = T(L, X). Пусть X – произ– вольное множество и L X – любое его подмножество. Рассмотрим – пространство T = T(L, X) отображений из L в X, наделенное следующей топологией. Для каждого отображения f : L X и каждого конечного множества K L обозначим через UK( f ) множество отображений из L в X, совпадающих с отображением f на множестве K. По определению базис окрестностей элемента f в пространстве T(L, X) образует совокупность множеств {UK( f )}, где индекс K пробегает множество всех конечных подмножеств в L. Другими словами, только что определенную топологию в множестве T(L, X) можно описать как топологию поточечной сходимости отображений из L в X в дискретной топологии множества X. Для бесконечных множеств X топология в T(L, X) нетривиальна и полезна для дальнейшего.

§. О монодромии на множестве ветвления б) Группа S = S(L) T(L, X). Группа S(L), состоящая из всех взаимно однозначных преобразований множества L, естественным образом вложена в пространство T(L, X): взаимно однозначное отображение F : L L можно рассматривать и как отображение f : L X, так как L X.

в) Группа G и отображение J(G) T(L, X). В качестве группы G возьмем любую подгруппу группы S(X) взаимно однозначных преобразований множества X. В качестве отображения J : G T(L, X) рассмотрим отображение, сопоставляющее каждому отображению f : X X, принадлежащему группе G, его ограничение на множество L, т. е. J( f ) = f |L.

Т.. В описанной выше в п. а), б), в) ситуации отображение J : G T(L, X) является почти гомоморфизмом около группы S = S(L).

Д.. Ограничение тождественного отображения множества X на подмножество L является тождественным отображением множества L. Поэтому отображение J переводит единицу группы G в единицу группы S(L).

. Пусть a S(L). Фиксируем произвольное конечное подмножество K L и рассмотрим окрестность V = UK(a-1) элемента a-в пространстве T(L, X). Обозначим через K1 образ множества K при отображении a: L L. Пусть – преобразование из S(X) и – J() – его ограничение на L, J() = |L. Рассмотрим окрестность – U1 = UK (a) элемента a. Если J() U1, то J(-1)|K = a|K.

. Пусть a, b S(L), и ab S(L) – их композиция b a. Фиксируем – произвольное конечное множество K L и рассмотрим окрестность V = UK(ab) элемента ab в пространстве T(L, X). Обозначим через K образ множества K при отображении a: L L. Пусть, b – преоб– разования из S(X) и J(), J( – их ограничения на множество L, b) – J() = |L, J( = b|L.

b) Рассмотрим окрестности U1 = UK(a) и U2 = UK (b) элементов a и b. Если J() U1 и J( U2, то J( V. Действительно, если b) b) b|K = b|K и |K = a|K, то = ab|K.

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.