WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 35 |

Пусть (M, ) – пара, состоящая из связного вещественного мно– гообразия M и его подмножества M, таких что дополнение M \ локально линейно связно и всюду плотно в многообразии M. В качестве примера такого подмножества можно взять любое подмножество многообразия M, коразмерность которого по Хаусдорфу строго больше единицы. Отметим точку b, лежащую в дополнении к множеству.

О. Связное многообразие R вместе с отмеченной точкой c и с проекцией : R M назовем накрывающим многообразием над M \ с отмеченной точкой b, если, во-первых, отображение является локальным гомеоморфизмом, во-вторых, оно переводит отмеченную точку c в отмеченную точку b, (c) = b, и, в-третьих, для всякой кривой в множестве M \, начинающейся в точке b, : [0, 1] M \, (0) = b, существует поднятие кривой, : [0, 1] R, =, начинающееся в точке c, (0) = c.

Для удобства изложения мы будем считать, что многообразие M наделено некоторой римановой метрикой.

О. Скажем, что подгруппа в фундаментальной группе 1(M \, b) является открытой, если для каждой кривой : [0, 1] M \, (0) = (1) = b, принадлежащей подгруппе, §. О продолжаемости на подмножество существует число > 0, такое что всякая кривая : [0, 1] M \, (0)=(1)= b, для которой при любом t, 0 t 1, расстояние между точками (t) и (t) не превосходит, тоже лежит в подгруппе,.

С каждым накрывающим многообразием : (R, c) (M, b) над множеством M \ свяжем подгруппу в фундаментальной группе множества (M \, b). Скажем, что кривая : [0, 1] M \, (0) = = (1) = b, является допустимой для накрывающего многообразия (R, c), если поднятие : [0, 1] R этой кривой = с началом в точке c, (0) = c, является замкнутой кривой, т. е. если (1) = c.

Ясно, что все допустимые для накрывающего многообразия кривые образуют подгруппу в фундаментальной группе 1(M \, b).

Будем говорить, что эта подгруппа соответствует накрывающему многообразию (R, c).

О. Накрывающее многообразие : (R, c) (M, b) над множеством M \ называется максимальным, если его нельзя вложить ни в какое большее накрывающее многообразие, другими словами, если из существования другого накрывающего многообразия 1 : (R1, c1) (M, b) над множеством M \ и из существования вложения i : (R, c) (R1, c1), коммутирующего с проекциями = 1 i, вытекает, что вложение i является гомеоморфизмом.

Т... Если подгруппа в фундаментальной группе множества M \ с отмеченной точкой b соответствует накрывающему многообразию : (R, c) (M, b) над M \ с отмеченной точкой c, (c) = b, то подгруппа открыта в 1(M \, b).

. Для всякой открытой подгруппы в группе 1(M \, b) существует единственное максимальное накрывающее многообразие (): (R(), c) (M, b) над множеством M \, которому соответ ствует подгруппа.

. Произвольное открытое множество U в многообразии R(), содержащее полный прообраз множества M \ при отображении () и наделенное ограничением проекции (): U M, является накрывающим многообразием над M \, соответствующим группе 1(M \, b). Обратно, каждое накрывающее многообразие над M \, соответствующее подгруппе, получается таким способом.

Наметим доказательство теоремы. Докажем сначала п.. Пусть кривая в множестве M \ поднимается на R, начиная из точки c, Глава. Многомерная топологическая теория Галуа как замкнутая кривая. Отображение : R M является локальным гомеоморфизмом. Поэтому все достаточно близкие к кривой замкнутые кривые, лежащие в многообразии M, тоже поднимаются на R, начиная из точки c, как замкнутые кривые. (Это верно, даже если близкая кривая пересекает множество.) Поэтому подгруп па, соответствующая накрывающему многообразию над множеством M \, является открытой подгруппой в 1(M \, b).

Для доказательства утверждения пункта прежде всего нужно предъявить конструкцию максимального накрывающего многооб разия (): (R(), c) (M, b) над M \, соответствующего откры той подгруппе в группе 1(M \, b).

О. Пусть – открытая подгруппа в 1(M \, b).

– Замкнутую кривую на многообразии M, начинающуюся и заканчивающуюся в точке b, : [0, 1] M, (0) = (1) = b, назовем -допустимой, если она обладает следующим свойством. Существует число >0, такое что всякая замкнутая кривая в множестве M \, начинающаяся и заканчивающаяся в точке b, : [0, 1] M \, (0)=(1)=b, для которой при любом t, 0 t 1, расстояние между точками (t) и (t) не превосходит, принадлежит группе.

С каждой (вообще говоря, незамкнутой) кривой : [0, 1] M, (0) = b, связана замкнутая дважды пройденная кривая, являющаяся композицией кривой и кривой -1.

О. Скажем, что незамкнутая кривая : [0, 1] M является -хорошей, если ) кривая начинается в отмеченной точке, (0) = b;

) дважды пройденная кривая -1 является -допустимой.

Множество всех -хороших кривых обозначим через (, b). Введем на множестве (, b) соотношение эквивалентности. Две -хорошие кривые 1 и 2 назовем -эквивалентными, если ) кривые 1 и 2 имеют одинаковые правые концы, 1(1) = 2(1);

) композиция кривых 1 и -1 является -допустимой.

Опишем теперь множество R() и отображение (): R() M на теоретико-множественном уровне. Множество R() – это фак– тормножество множества (, b) всех -хороших кривых по описанному выше соотношению эквивалентности. Отображение () сопоставляет каждой кривой (, b) ее правый конец (1).

Отмеченная точка c в множестве R() – класс эквивалентности – постоянной кривой (t) b.

§. О продолжаемости на подмножество Определим теперь топологию в множестве R(): топология в R() – это минимальная топология, для которой отображение ():

– R() M является непрерывным.



Легко видеть, что построенное многообразие R() вместе с отмеченной точкой c и проекцией () действительно представляет собой накрывающее многообразие над множеством M \, соответствующее подгруппе.

Докажем, что R() является расширением всякого другого накрывающего многообразия : (R, c)(M, b) над множеством M \, соответствующего подгруппе. Пусть : [0, 1] R – любая кривая – на многообразии R, начинающаяся в точке c. Очевидно, что проекция этой кривой будет -хорошей в многообразии M.

Сопоставим каждой точке d на многообразии R совокупность (c, d, R) всех кривых : [0, 1] R на многообразии R с началом в точке c и с концом в точке d, (0) = c, (1) = d. Ясно, что проекции всех кривых из множества (c, d, R) являются -эквивалентными кривыми. Поэтому отображение, сопоставляющее каждой точке d многообразия R совокупность проекций всех кривых из множества (c, d, R), является вложением многообразия R в описанное выше многообразие R().

Проверка остальных утверждений теоремы не представляет труда, и мы не будем на ней останавливаться.

.. Накрывающие над дополнением к аналитическому подмножеству в многообразии.

У.. Пусть M – аналитическое многообразие, – – – аналитическое подмножество в M и b M \ – отмеченная точ– ка. Фиксируем некоторую подгруппу фундаментальной группы 1(M \, b). Допустим, что некоторая -хорошая кривая (см. определение ) 1 : [0, 1] M, 1(0)=b, при 0 t <1 лежит в множестве M \, а ее правый конец a = (1) принадлежит множеству.

Рассмотрим любую допустимую стратификацию множества (см. п..). Пусть B – страт этой стратификации, который содер– жит точку a, и пусть 2 : [0, 1] B – любая кривая в этом страте, – начинающаяся в точке a, 2(0) = a. Тогда композиция кривых 1 и 2 является -хорошей кривой.

Д. Пусть U – достаточно малая окрестность стра– та B, о которой идет речь в условии (см. п..), и : U B – соот– Глава. Многомерная топологическая теория Галуа ветствующая проекция. Обозначим через (): (R(), c)(M \, b) локально тривиальное накрытие, соответствующее подгруппе 1(M \, b). По определению накрытия кривая 1 : [0, t1] M \, где t1 – любое число, строго меньшее 1, поднимается на многообра– зие R() так, что поднятая кривая начинается в отмеченной точке c R(). Фиксируем значение параметра t1, настолько близкое к 1, что точка b1 = (t1) принадлежит множеству U. Обозначим через c1 точку на поднятой кривой, соответствующую параметру t1, (c1)=b1. Пусть R1 – компонента связности прообраза множества U – при отображении (): R() M \. Ограничение отображения () на многообразие R1 задает локально тривиальное накрытие : (R1, c1) (U \, b1). Обозначим через 1 подгруппу фундаментальной группы 1(U \, b1), соответствующую этому накрытию.

Л.. Группа 1 содержит ядро гомоморфизма фундаментальной группы пространства U \ в фундаментальную группу страта B, индуцированного проектированием : U B.

Д. Ограничение отображения : U B на область U \ является локально тривиальным расслоением (см. условие из п..). Обозначим через a1 образ точки b1 при проекции и обозначим через V \ F слой расслоения над точкой a1. Из отрезка... 1(V \ F, b1) 1(U \, b1) 1(B, a1)...

точной гомотопической последовательности этого расслоения вытекает, что ядро интересующего нас гомоморфизма совпадает с образом фундаментальной группы слоя 1(V \ F, b1). Поэтому нам надо показать, что группа 1 содержит образ фундаментальной группы слоя. Пусть : [0, 1] V \ F, (0) = (1) = b1, – любая замкнутая – петля, лежащая в слое. Покажем, что 1. Для этого нам надо про верить, что композиция кривых 1, и -1, где 1 – ограничение – кривой 1 на отрезок [0, t1], принадлежит группе 1(M \, b).

Но композицию этих кривых можно рассматривать как малое возмущение дважды пройденной кривой 1. По условию кривая 1 является -хорошей, что и означает, что малое возмущение дважды пройденной кривой, не пересекающее множества, лежит в группе. Лемма доказана.

Вернемся к доказательству утверждения.. Пусть – компо– зиция кривых 1 и 2, о которых идет речь в утверждении. Мы должны показать, что кривая является -хорошей, т. е. что любая §. О продолжаемости на подмножество малая деформация дважды пройденной кривой, которая не пересекает множества, лежит в группе. Сначала докажем это для специальных малых деформаций, не пересекающих множество и имеющих следующий вид. Кривая должна быть композицией кривых 1, 2 и 3, которые являются малыми деформациями кри вых 1, 2-1 и -1 соответственно; при этом кривая 2 должна 2 быть замкнута. Разумеется, мы считаем, что выполнены равенства 1(1) = 2(0) = 2(1) = 3(0), иначе композиция не определена. Так как кривая 2 замкнута и близка к дважды пройденной кривой 2, ее проекция на страт B задает тривиальный элемент фундаментальной группы базы. Рассмотрим поднятие кривой 1 на пространство расслоения R(), начинающееся в точке c. Обозначим через c1 правый конец поднятой кривой. Согласно лемме поднятие кривой 2 на пространство R(), начинающееся в точке c1, будет заканчиваться в той же точке c1. Далее, поднятие кривой 3 на R(), начинаю щееся в точке c1, должно заканчиваться в точке c. Действительно, композиция кривых 1 и 3 является малой деформацией дважды пройденной кривой 1. Кривая 1 является -хорошей. Поэтому поднятие композиции кривых 1 и 3 на R(), начинающееся в точке c, должно заканчиваться в той же точке.

Итак, поднятие композиции кривых 1, 2 и 3 на R(), начина ющееся в точке c, заканчивается в той же точке c. Другими словами, композиция этих кривых лежит в группе. Мы доказали нужное утверждение для специально возмущенной кривой, являющейся дважды пройденной композицией кривых 1 и 2. Очевидно, что любое малое возмущение этой кривой, лежащей в области M \, гомотопно в этой области некоторому специальному возмущению этой кривой.





(Дважды пройденная композиция кривых 1 и 2 является композицией кривых 1, 2-1 и -1. Возмущение этой композиции яв2 ляется композицией трех кривых l1, l2 и l3, из которых кривая lблизка к кривой 2-1, но не обязательно замкнута. Такая компо зиция, очевидно, гомотопна композиции близких кривых l1, l2, l3, из которых кривая l2 замкнута.) Утверждение. доказано.

.. Основная теорема. Теперь все готово для формулировки и доказательства основной теоремы этого параграфа.

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа Т. ( ). Пусть M – комплексное – аналитическое многообразие, – аналитическое подмножество в – M и fb – росток аналитической функции в некоторой точке b M.

– Допустим, что росток fb аналитически продолжается вдоль любой кривой : [0, 1] M, (0) = b, не пересекающей множество при t > 0. Пусть росток fb аналитически продолжается вдоль некоторой кривой 1 : [0, 1] M, 1(0) = b, с правым концом в точке a, a = 1(1), принадлежащим множеству, a. Рассмотрим любую допустимую стратификацию множества (см. п..). Пусть B – страт этой стратификации, замыкание которого содержит – точку a, и пусть 2 : [0, 1] M – любая кривая, начинающаяся в – точке a, 2(0) = a, такая что 2(t) B при t > 0. Тогда росток fb аналитически продолжается вдоль композиции кривых 1 и 2.

Д. Пусть росток аналитической функции fb про должается вдоль кривой. Рассмотрим любую точку b, лежащую в области сходимости ряда Тейлора ростка fb. Росток в точке b суммы этого ряда Тейлора продолжается вдоль любой кривой, которая вне области сходимости ряда Тейлора достаточно близка к кривой. Поэтому в формулировке основной теоремы, не ограничивая общности, можно считать, что точка b лежит в множестве M \, точка a лежит в страте B и кривая 1 : [0, 1] M, 1(0) = b, 1(1) = a, не пересекает множество при 0 t < 1. В этих предположениях мы и будем доказывать основную теорему.

Обозначим через подгруппу фундаментальной группы области M \ с отмеченной точкой b, состоящую из петель в M \ с началом и концом в отмеченной точке, продолжение вдоль которых ростка fb приводит к тому же ростку. Рассмотрим максимальное накрыва ющее многообразие (): (R(), c) (M, b) над множеством M \, соответствующее этой подгруппе (см. определение.). Многооб разие R() имеет естественную структуру комплексно-аналитического многообразия; эта структура наследуется из аналитической структуры на M при отображении (), являющемся локальным гомеоморфизмом. Множество = -1()() является аналитиче ским подмножеством в этом многообразии R(). Росток fc = fb, рассматриваемый как росток аналитической функции в точке c на аналитическом многообразии R(), по условию аналитически про должается на все многообразие R() \ и задает там однозначную §. О монодромии на множестве ветвления аналитическую функцию f. Всякая кривая : [0, 1] M, (0) = b, вдоль которой аналитически продолжается росток fb, является -хорошей кривой. Действительно, аналитическое продолжение ростка fb как вдоль дважды пройденной кривой, так и вдоль любой близкой к кривой -1 замкнутой кривой : [0, 1] M, (0) = (1) = b, приводит, очевидно, к тому же ростку fb, с которого мы начинали.

В частности, кривая 1 : [0, 1] M, 1(0) = b, 1(1) = a, вдоль которой продолжается росток fb и о которой идет речь в основной теореме, является -хорошей. Поэтому существует поднятие кривой 1 на R(), которое начинается в точке c. Обозначим через правый конец поднятой кривой. Согласно утверждению для всякой кривой 2, начинающейся в точке a и лежащей в страте B, композиция кривых 1 и 2 является -хорошей кривой. Следовательно, существует поднятие этой композиции на R() с началом в точке c.

Другими словами, это означает, что всякая кривая, лежащая в стра те B и начинающаяся в точке a, поднимается на R() с началом в точке. Пусть B – компонента связности прообраза страта B отно– сительно проекции (), которая содержит точку. Мы доказали, что ограничение отображения () на B задает локально тривиаль ное накрытие над стратом B. Ясно, что топология пары, состоящая из многообразия R() и множества, являющегося полным прообразом множества при проекции (), имеет постоянную топо логию вдоль страта B. Действительно, локально тройка (R(),, B) гомеоморфна тройке (M,, B), и топология пары (M, ) по условию постоянна вдоль страта B.

Теперь мы можем применить теорему к ростку fc = fb одно значной аналитической функции на многообразии R()\, которая продолжается в окрестность точки B. Доказательство теоремы. закончено.

§ 3. Многозначная аналитическая функция в n называется -функцией, если множество ее особых точек покрывается счетным числом аналитических подмножеств (и занимает, следовательно, очень малую часть пространства n). При отображении : (Y, y0) ( n, a) топологического пространства Y в n росток fa -функции f в Глава. Многомерная топологическая теория Галуа точке a может индуцировать многозначную функцию на пространстве Y. Для этого нужно, чтобы росток fa аналитически продолжался вдоль образа любой кривой из пространства Y, начинающейся в отмеченной точке y0. Такая ситуация возможна, даже если точка a лежит в множестве особых точек функции f (некоторые из ростков многозначной функции f могут оказаться неособыми в особых точках этой функции) и пространство Y отображается в это множество.

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.