WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 35 |

Для любых функций f1,..., fn K можно таким способом присоединить к K решение y алгебраического уравнения yn + f1 yn-1 +... + + fn = 0 или все решения y1,..., yn этого уравнения (присоединение всех решений y1,..., yn можно осуществить на римановой поверхности вектор-функции y = ( y1,..., yn)). Таким же способом для любых функций f1,..., fn+1 K можно присоединить к K n-мерное аффинное пространство над всех решений линейного дифференциального уравнения y(n) + f1 y(n-1) +... + fn y + fn+1 = 0. (Напомним, что росток любого решения линейного дифференциального уравнения аналитически продолжается вдоль кривой на поверхности V, не проходящей через полюсы функций f1,..., fn+1.) Итак, все упомянутые выше расширения функциональных дифференциальных полей можно осуществить, не выходя из класса функциональных дифференциальных полей. Говоря о расширениях функциональных дифференциальных полей, мы всегда имеем в виду именно эту процедуру.

Дифференциальное поле, состоящее из всех комплексных констант, и дифференциальное поле, состоящее из всех рациональных функций от одной переменной, можно рассматривать как дифференциальные поля функций, определенных на сфере Римана.

Сформулируем снова теорему., используя определения из абстрактной дифференциальной алгебры и конструкцию расширения функциональных дифференциальных полей.

§. Интегрирование элементарных функций Т.. Функция одной комплексной переменной (возможно, многозначная) принадлежит ) классу элементарных функций, если и только если она принадлежит некоторому элементарному расширению поля всех рациональных функций одной переменной;

) классу обобщенных элементарных функций, если и только если она принадлежит некоторому обобщенному элементарному расширению поля рациональных функций;

) классу функций, представимых в квадратурах, если и только если она принадлежит некоторому расширению Лиувилля поля всех комплексных констант;

) классу функций, представимых в k-квадратурах, если и только если она принадлежит некоторому k-расширению Лиувилля поля всех комплексных констант;

) классу функций, представимых в обобщенных квадратурах, если и только если она принадлежит обобщенному расширению Лиувилля поля всех комплексных констант.

§ 3. Элементарные функции дифференцировать легко, но интегрировать их трудно. Как доказал Лиувилль, неопределенный интеграл от элементарной функции обычно не является элементарной функцией.

Т. (Л ). Неопределенный интеграл y функции f, лежащей в функциональном дифференциальном поле K, принадлежит некоторому обобщенному элементарному расширению этого поля, если и только если этот интеграл представим в виде z n y(z) = f (t) dt = A0(z) + i ln Ai(z), () zi=где Ai при i = 0,..., n – некоторые функции из поля K.

– С.. Неопределенный интеграл y от обобщенной элементарной функции f является обобщенной элементарной функцией, если и только если он представим в виде n y(z) = A0(z) + i ln Ai(z), i= Глава. Классы функций и теория Лиувилля где Ai при i = 0,..., n – рациональные функции с комплексными коэф– фициентами от функции f и ее производных.

Априори интеграл от элементарной функции f мог бы быть очень сложной элементарной функцией. Теорема Лиувилля показывает, что ничего такого случиться не может. Или интеграл от элементарной функции неэлементарен, или он имеет описанный в следствии простой вид.

Теорема Лиувилля – яркий результат о разрешимости и о нераз– решимости уравнений в явном виде, не связанный с теорией групп.

В § мы приведем полное доказательство этой теоремы.

Условие () из теоремы Лиувилля в дифференциальной форме означает, что элемент f K представим в виде n A i f = A + i Ai, () i=где Ai при i = 0,..., n – некоторые элементы поля K. В абстрактной – дифференциальной алгебре справедлив аналог теоремы Лиувилля.

В формулировке абстрактной теоремы в качестве K нужно взять абстрактное дифференциальное поле и воспользоваться условием () в дифференциальной форме ().

Рассуждения Лиувилля (см. []) были значительно упрощены в работах [], [] (см. также []). Доказательство с небольшими изменениями проходит для абстрактных дифференциальных полей.

Правда, так как абстрактные дифференциальные поля для нас неинтересны, мы не обсуждаем существование нужных нам по ходу дела расширений полей (скажем, существование дифференциального поля, содержащего интеграл некоторого элемента заданного дифференциального поля). Для функциональных дифференциальных полей вопросы такого рода очевидны и уже рассмотрены выше (см. § ).

Для многих элементарных дифференциальных форм теорема Лиувилля позволят либо найти интеграл, либо доказать, что интеграл не является обобщенной элементарной функцией. Рассмотрим, например, форму = R(z, u) dz, где R – рациональная функция двух – переменных, а u – функция переменной z. Вопрос об элементарно– сти интеграла формы в случае, когда u=ln f, где f – рациональная – функция переменной z, разобран в §. Случай, когда u = exp f, где f – рациональная функция переменной z, разобран в §.

– §. Интегрирование элементарных функций Берется ли интеграл от алгебраической функции в явном виде Пионерские работы Абеля, заложившие основы теории алгебраических кривых и абелевых интегралов, были посвящены этому вопросу для специального класса алгебраических функций. Использование теории алгебраических кривых и топологии позволяет довольно полно объяснить причины неэлементарности абелевых интегралов (см. § ). Правда, проверка выполнения необходимых и достаточных условий элементарности абелевых интегралов из § сама является непростой задачей (ср. []), которую в этой книге мы не рассматриваем.



Скажем несколько слов о терминологии. Начиная с четвертого пункта в § до конца § термин «рациональная» функция используется в различных смыслах. Чтобы избежать недоразумений, сделаем необходимые пояснения. Мы будем иметь дело с полем F, порожденным над полем K одним элементом t, трансцендентным над полем K. Поле F естественно отождествляется с полем Kx рациональных функций над полем K: каждый элемент g F является значением единственной рациональной функции G Kx на элементе t. Мы будем отождествлять элемент g F как с функцией G, так и с ее значением G(t) на элементе t. Мы будем говорить об элементах поля F как о рациональных функциях, будем раскладывать эти функции в правильные дроби и т. д. Операция дифференцирования на поле F индуцирует операцию дифференцирования G DG на рациональных функциях. Операция D зависит от уравнения, которому удовлетворяет элемент t: она имеет вид DG = (a/a)G, если t – логарифм элемента a K, и вид DG(t) = atG(t), если t – экспо– – нента элемента a K. В § и встречается также поле K рациональных функций комплексной переменной. Чтобы избежать недоразумений, говоря об элементах этого поля, мы будем подчеркивать, что это рациональные функции комплексной переменной z, и будем обозначать это поле K символом z.

.. План доказательства теоремы Лиувилля. Нам надо доказать, что если производная обобщенной элементарной функции y над полем K лежит в поле K, т. е. если y K, то функция y представима в виде (). Введем для обобщенных элементарных функций над функциональным дифференциальным полем K понятие сложности.

Скажем, что функция y является обобщенной элементарной функци Глава. Классы функций и теория Лиувилля ей сложности не выше k над K, если существует последовательность K = F0 F1... Fk функциональных дифференциальных полей Fi, в которой при i = 1,..., k поле Fi является расширением поля Fi-при помощи добавления экспоненты, логарифма или алгебраической функции над полем Fi-1.

Теорема. доказывается по индукции. Индукционное утверждение I(m): теорема Лиувилля верна для любого обобщенно-элементарного интеграла y сложности не выше m над любым функциональным дифференциальным полем K. Утверждение I(0) очевидно:

если интеграл y лежит в поле K, то он представим в виде (): y = A0, где A0 K.

Пусть y – обобщенно-элементарный интеграл над K сложности – не выше k, т. е. y K, y Fk и K = F0 F1... Fk – последователь– ность полей, в которой каждое поле Fi получается из предыдущего поля Fi-1 при помощи добавления экспоненты, логарифма или алгебраической функции над полем Fi-1. Так как y F1, то по индукционному утверждению I(k - 1) можно считать, что q y = i ln Ri + R0, () i=где R1,..., Rq, R0 F1.

Поле F1 получено из поля K присоединением или алгебраического элемента, или логарифма, или экспоненты над полем K. Эти три случая ниже рассматриваются отдельно (см. п..). Мы покажем, что если F1 – алгебраическое расширение поля K, то элемент y – представляется через элементы поля K формулой, аналогичной () и содержащей то же число q логарифмических слагаемых. Если F1 получено из K при помощи логарифмического расширения, то функция R0 могла бы содержать аддитивный логарифмический член, однако функции R1,..., Rq логарифма содержать не могут.

Поэтому представление y через элементы поля K имеет вид, аналогичный (), но может содержать q + 1 логарифмическое слагаемое.

Если же поле F1 получено из K при помощи экспоненциального расширения, то экспонента не может входить в функцию R0 и могла бы входить в функции Ri при i > 0 только в качестве сомножителя. Поэтому после логарифмирования экспонента пропадает и соответствующие сомножители становятся слагаемыми, которые прибавляются к R0.

§. Интегрирование элементарных функций Мы приступим к реализации этого индукционного доказательства в п... До этого мы уточним формулировку теоремы Лиувилля (п..) и обсудим общие свойства расширений дифференциального поля степеней трансцендентности нуль (п..) и один (п..), среди которых выделяются присоединения интеграла и экспоненты интеграла (п..).

.. Уточнение теоремы Лиувилля. Докажем, что в формулировке теоремы Лиувилля можно добавить требование линейной независимости коэффициентов 1,..., n над полем рациональных чисел (см. «торическую» лемму. ниже). Начнем с очевидной леммы..

k1 kn Л.. Если g = f1... fn, где ki – целые числа и f1,..., fn – – – g ненулевые элементы некоторого дифференциального поля, то = g fi = ki fi.

Д вытекает из тождества Лейбница (или из равенства логарифма произведения сумме логарифмов сомножителей).

Рассмотрим набор A1,..., An ненулевых элементов дифференциA A 1 n ального поля K и линейную комбинацию S = 1 A1 +... + n An их логарифмических производных с постоянными коэффициентами 1,..., n.

Л.. Если числа 1,..., n зависимы над полем, то в мультипликативной группе G, порожденной элементами A1,..., An, можно выбрать меньше чем n элементов, некоторая линейная комбинация с постоянными коэффициентами логарифмических производных которых равна S.

Д. Можно считать, что ни один из элементов Ai A i не равен константе: в противном случае = 0 и число слагаемых Ai в S можно сократить. Можно считать, что группа G свободна и не содержит констант, отличных от единицы. Действительно, нетриk1 n виальное тождество A1... Ak = c, где c – константа, по лемме.

– n A i влечет за собой нетривиальное линейное соотношение ki Ai = 0, которое позволяет сократить число слагаемых в S. Если группа G свободна, то в ней можно выбрать такие новые образующие m1,1 m1,n mn,1 mn,n B1,..., Bn, что A1 = B1... Bn,..., An = B1... Bn, где M = {mi, j} – – Глава. Классы функций и теория Лиувилля произвольная целочисленная (nn)-матрица с определителем 1. По A B B i 1 n лемме. имеем = mi,1 B1 +... + mi,n Bn. Поэтому S является линейAi ной комбинацией логарифмических производных элементов Bi. Логарифмическая производная функции B1 входит в эту комбинацию с коэффициентом 1m1,1 +... + nmn,1. Пусть p11 +... + pnn = 0 – – соотношение между коэффициентами 1,..., n, где p1,..., pn – це– лые числа, не имеющие общего делителя. Выберем целочисленную матрицу M с единичным определителем так, чтобы выполнялись равенства m1,1 = p1,..., mn,1 = pn. Это можно сделать, так как несократимый целочисленный вектор p = (p1,..., pn) можно дополнить до базиса решетки n. Такому выбору матрицы соответствует некоторый набор образующих B1,..., Bn. Элемент S является линейной комбинацией логарифмических производных элементов B2,..., Bn.





Лемма доказана.

Мы показали, что из теоремы Лиувилля вытекает ее уточнение, сформулированное в начале этого пункта.

.. Алгебраические расширения дифференциальных полей.

Пусть K F – функциональные дифференциальные поля и PK[x] – – – неприводимый полином степени n над полем K. Пусть поле F содержит все n корней x1,..., xn полинома P. При i = 1,..., n обозначим через Ki поле, полученное алгебраическим присоединением к полю K корня xi. Поля Ki изоморфны друг другу: для каждого i = 1,..., n поле Ki изоморфно фактору K[x]/(P) кольца полиномов K[x] по идеалу (P), порожденному полиномом P.

Л.. Для каждого i = 1,..., n поле Ki замкнуто относительно дифференцирования. Для каждой пары индексов 1 i, j n отображение, оставляющее поле K неподвижным и переводящее элемент xi в xj, продолжается до дифференциального изоморфизма полей Ki и Kj.

Д. Для полинома P(x) = xn + a1xn-1 +... + an над P P полем K обозначим через и соответственно полиномы nxn-1 + x t +... + an-1 и a xn-1 +... + a. Так как полином P неприводим над K, 1 n P то полином не имеет общих корней с полиномом P и не равен x нулю в поле K[x]/(P). Обозначим через M полином степени меньP P ше n, для которого выполняется сравнение M - mod P.

x t §. Интегрирование элементарных функций Для каждого корня xi, продифференцировав в поле F тождество P P P(xi) = 0, получаем равенство (xi)xi + (xi) = 0, откуда следует, x t что xi = M(xi). Итак, производная элемента xi является значением в точке xi полинома M, не зависящего от выбора корня xi. Отсюда вытекают оба утверждения леммы.

.. Расширения степени трансцедентности один. В этом пункте приводятся простые вычисления, на которых основаны доказательство теоремы Лиувилля (п..) и критерии элементарности логарифмических (§ ) и экспоненциальных интегралов (§ ).

Пусть K F – пара вложенных дифференциальных полей, где – поле F как поле (а не как дифференциальное поле!) порождено над K одним элементом t F и элемент t трансцендентен над полем K.

В этом случае поле F можно рассматривать как снабженное новой операцией дифференцирования поле рациональных функций над полем K. Действительно, каждый элемент поля F представляется как значение на элементе x = t единственной рациональной функции G(x) над полем K: две различные рациональные функции не могут совпадать на элементе t, так как он трансцендентен над K. В частности, производная t элемента t равняется G(t), где G – рацио– нальная функция над полем K. В этой ситуации дифференциальное поле F изоморфно полю рациональных функций над полем K с новой операцией дифференцирования D, определенной формулой D = G, где – обычная операция дифференцирования в поле – рациональных функций над дифференциальным полем K.

Ниже мы ограничиваемся случаем, когда функция G, определяющая операцию дифференцирования, является полиномом P над полем K. Мы отождествляем поле F с полем рациональных функций над полем K, снабженных дифференцированием D = P. Это дифференцирование переводит кольцо полиномов над полем K в себя.

Рациональная функция над любым полем K допускает мультипликативное и аддитивное представления. Напомним свойства этих представлений.

а. Мультипликативное представление. Каждую рациональную функцию R можно представить в виде произведения k1 l R = AP1... Plk, где Pj – неприводимый над K полином со старшим коэффициентом, – Глава. Классы функций и теория Лиувилля равным единице, kj – целое число и A – элемент поля K. Такое – – представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.

б. Аддитивное представление. Каждую рациональную функцию R можно разложить в правильную дробь, т. е. представить в виде суммы Qm, j R = Q +, Lm j j,m где Q – полином, Lj – неприводимый над K полином со старшим ко– – эффициентом, равным единице, Qm, j – полином, степень которого – меньше степени полинома Lj. Такое представление единственно с точностью до перестановки слагаемых. Полином Q будем называть полиномиальной составляющей функции R. Разность R - Q будем Qm, j называть полярной составляющей функции R, сумму будем Lm j m Qm, j называть Lj-полярной составляющей функции R, член в Lj-поLm j лярной составляющей, соответствующий максимальной степени m знаменателя, будем называть старшим членом Lj-полярной составляющей, а число m будем называть порядком Lj-полярной составляющей.

Следующие два утверждения очевидны.

У.. Пусть полиномы Lj и DLj взаимно просты.

Тогда для всякой рациональной функции Lj-полярная составляющая ее производной зависит лишь от Lj-полярной составляющей функQm ции: если – старший член Lj-полярной составляющей функции R – Lm j и Q – остаток от деления полинома (-m)QmDLj на полином Lj, то – Q – старший член Lj-полярной составляющей производной DR.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.