WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 35 |

П. Рассмотрим общее кубическое уравнение y3 + py + q = с нулевым коэффициентом при члене y2. Это уравнение в дополнении к дискриминантной кривой определяет трехзначную аналитическую функцию y(p, q). Дискриминантная кривая этого уравнения является полукубической параболой – неприводимой кривой, – имеющей единственную особую точку в начале координат. В начале координат все три корня кубического уравнения совпадают, и это единственная точка плоскости p, q, обладающая этим свойством.

Над множеством \ {0} сливаются ровно два корня уравнения.

Пусть b – любая точка плоскости, лежащая в дополнении к дискри– минантной кривой, a – любая точка, лежащая на дискриминантной – кривой и отличная от начала координат, : [0, 1] 2 – любая – кривая, начинающаяся в точке b, заканчивающаяся в точке a и пересекающая лишь в последний момент, (0) = b, (1) = a, (t) / §. О продолжаемости на подмножество при t = 1. Выберем тот из ростков функции y(p, q) над точкой b, который при продолжении вдоль кривой при подходе к точке a не сливается ни с каким другим ростком. Такой росток ровно один. Обозначим его fb. Росток fb, во-первых, аналитически продолжается вдоль любой кривой, не пересекающей. Во-вторых, он продолжается до точки a вдоль кривой. В-третьих, росток fa, полученный при таком продолжении, аналитически продолжается вдоль любой кривой, лежащей в множестве и не проходящей через начало координат. В начале координат нет ни одного аналитического ростка функции y(p, q). В этом примере препятствием к продолжаемости ростка вдоль кривой является точка 0. В этой точке к кривой не подходит никакая другая ветвь дискриминанта, но меняется локальная топология кривой (в нуле полукубическая парабола имеет особенность, в остальных точках она гладкая).

Приведенный пример подсказывает следующее естественное предположение. Пусть B – некоторый страт (аналитическое под– многообразие), лежащий в множестве и содержащий точку a.

Пусть росток аналитической функции fa аналитически продолжается вдоль любой кривой, пересекающей множество лишь, может быть, в начальный момент. Тогда если топология пары (, B) при движении вдоль кривой (t) B, (0) = a, не меняется, то росток fa аналитически продолжается вдоль такой кривой.

Это предположение действительно оказывается верным. Сначала в п.. мы доказываем его для функций f, однозначных в дополнении M \ к множеству в многообразии M. Согласно результату п.. нам достаточно показать, что при пересечении страта B с замыканием неприводимой компоненты коразмерности 1 изменяется топология пары (, B). В доказательстве мы существенно используем результаты Уитни о существовании аналитических стратификаций аналитических множеств, которые хорошо согласуются с топологией. Эти результаты Уитни напоминаются в п... Случай многозначной в M \ функции f несложной топологической конструкцией сводится к случаю, когда функция f однозначна (см. п..). Эта топологическая конструкция обобщает классическую конструкцию локально тривиального накрытия (см. п..) и тоже существенно использует стратификацию Уитни (см. п...) Глава. Многомерная топологическая теория Галуа.. Продолжаемость однозначной аналитической функции на аналитическое подмножество. Представим пространство n в виде прямого произведения (n - 1)-мерного пространства n-1 и комплексной прямой 1. Будем отождествлять пространство n-с гиперплоскостью z = 0, где z – одна из координатных функций в – пространстве n.

Л.. Пусть окрестность U начала координат в пространстве n является прямым произведением связной окрестности U1 в пространстве n-1 на связную окрестность U2 в комплексной прямой 1, U = U1 U2. Тогда любая функция f, аналитическая в дополнении к гиперплоскости z = 0 в окрестности U и ограниченная в некоторой окрестности начала координат, аналитически продолжается на всю окрестность U.

Д. Лемма вытекает из интегральной формулы Коши. Действительно, определим функцию f на области U при помощи интеграла Коши f (x, u) du f (x, z) =, 2i u - z (x,z) где x и z – точки в областях U1 и U2, f (x, u) – заданная функция – – и (x, z) – контур интегрирования, лежащий в области U на ком– плексной прямой {x} 1, охватывающий точки (x, z) и (x, 0) и непрерывно зависящий от точки (x, z). Функция f (x, z) задает искомое аналитическое продолжение. Действительно, функция f аналитична во всей области U. В окрестности начала координат она, согласно теореме Римана об устранимой особенности, совпадает с заданной функцией f.

У.. Пусть M – n-мерное комплексное аналити– ческое многообразие, – аналитическое подмножество в M, a – – – такая точка в этом подмножестве, что всякая неприводимая компонента множества, имеющая размерность n - 1, содержит точку a. Тогда любая функция f, аналитическая в дополнении M \ к множеству в многообразии M и ограниченная в некоторой окрестности точки a, аналитически продолжается на все многообразие M.

Д. Утверждение. сводится к лемме.. Действительно, обозначим через H подмножество множества, определенное следующим условием: в окрестности каждой точки мно §. О продолжаемости на подмножество жества H аналитическое множество является неособой (n - 1)мерной аналитической гиперповерхностью в многообразии M. Пересечение всякой неприводимой (n - 1)-мерной компоненты Di множества с множеством H является связным (n - 1)-мерным многообразием. Докажем, что функция f аналитически продолжается на множество Di H.

Обозначим через Ai подмножество в Di H, на которое аналитически продолжается функция f. Очевидно, что Ai открыто в топологии множества Di H. Множество Ai непусто, так как по теореме Римана о продолжении голоморфной функции (см. []) оно содержит все неособые точки компоненты Di, достаточно близкие к точке a. Покажем, что Ai замкнуто в топологии множества Di H.



Действительно, пусть b – предельная точка этого множества. По – определению множества Di H около точки b в многообразии M можно выбрать такую локальную систему координат, что множество Di H в этой окрестности будет совпадать с координатной гиперплоскостью. Нужный факт теперь вытекает из леммы..

Далее, в силу связности множества Di H получаем, что множество Ai совпадает с множеством Di H, т.е. что функция f аналитически продолжается на все это множество. Поэтому функция f продолжа ется на все множество H = (Di H). Но множество \ H имеет в многообразии M коразмерность не менее двух. Согласно теореме Гартогса (см. []) утверждение. доказано.

У.. Пусть f – аналитическая функция в допол– нении к аналитическому множеству в n-мерном аналитическом многообразии M. Если функция f ограничена в некоторой окрестности точки a, то она аналитически продолжается на множество M \ Da, где Da – объединение всех (n - 1)-мерных неприводимых ком– понент множества, не содержащих точку a.

Д. Утверждение. вытекает из утверждения., примененного к многообразию M \ Da, аналитическому подмножеству \ Da и функции f.

.. Допустимые стратификации. Пусть – собственное ана– литическое подмножество в комплексно-аналитическом многообразии M. Стратификацией множества называется его разбиение на непересекающиеся подмногообразия, называемые стратами (имеющие, вообще говоря, различные размерности), обладающее Глава. Многомерная топологическая теория Галуа следующими свойствами:

) каждый страт i является связным аналитическим многообразием;

) замыкание i каждого страта i является аналитическим под множеством в M, причем граница i \ i представляется в виде объединения некоторых стратов меньшей размерности.

Пара, состоящая из аналитического многообразия M и его аналитического подмножества, имеет постоянную топологию вдоль страта B, если выполнены следующие два условия.

У. Для всякой точки a B и всякого аналитического подмногообразия L многообразия M, трансверсального к страту B в точке a, существует малая окрестность Va точки a в многообразии L, для которой топология пары (Va, Fa), где Fa = Va, не зависит ни от выбора точки a, ни от выбора сечения L, а определяется лишь стратом B и подмножеством.

У. У страта B существуют окрестность U в многообразии M вместе с проекцией : U B, ограничение которой на множество B U является тождественным отображением, такие что для каждой точки a B пара (-1(a), -1(a) ) гомеоморфна паре (Va, Fa). Более того, для каждой точки a B существует окрестность Ka в многообразии B, такая что пара (-1(Ka), -1(Ka) ) гомеоморфна паре (Va Ka, Fa Ka), причем гомеоморфизм, связывающий эти две пары, переводит проекцию в проекцию прямого произведения Va Ka на сомножитель Ka, а ограничение этого гомеоморфизма на множество Ka -1(Ka) является тождественным отображением (точнее, переводит точку b Ka в точку a b в прямом произведении Va Ka).

Скажем, что стратификация аналитического множества M является допустимой, если пара (M, ) имеет постоянную топологию вдоль всякого страта i этой стратификации.

Как открыл Уитни, допустимые стратификации существуют для любого комплексно-аналитического множества в любом комплексно-аналитическом многообразии (см. []). Мы будем использовать этот результат.

.. Изменение топологии аналитического множества при подходе к неприводимой компоненте. Согласно следующей лемме. вещественное топологическое подмногообразие в M, ле §. О продолжаемости на подмножество жащее в аналитической гиперповерхности и отличающееся от этой гиперповерхности множеством малой размерности, имеет ровно столько же компонент связности, сколько неприводимых (n - 1)-мерных компонент имеется в гиперповерхности.

Л.. Пусть подмножество T аналитического (n - 1)-мерного множества, лежащего в n-мерном аналитическом многообразии M, обладает следующими свойствами.

. Множество T является вещественным топологическим подмногообразием в многообразии M коразмерности 2, т. е. у каждой точки a T существует такая окрестность Ua в многообразии M, что множество Ua T является топологическим подмногообразием в области Ua вещественной размерности 2n - 2.

. Множество \ T является замкнутым подмножеством в вещественной коразмерности не меньше 2 (т. е. является объединением конечного числа вещественных топологических подмногообразий в M размерностей не выше 2n - 4).

Тогда каждая из (n - 1)-мерных неприводимых компонент множества пересекается ровно с одной компонентой связности топологического многообразия T. При этом каждая компонента связности многообразия T всюду плотна в соответствующей неприводимой (n - 1)-мерной компоненте аналитического множества.

Д. Лемма. вытекает из следующих фактов:

а) множество коразмерности не может разделять топологическое многообразие, б) если из неприводимой компоненты аналитического множества удалить все его особые точки, то останется связное многообразие.

Покажем сначала, что всякая компонента связности T0 множества T пересекается ровно с одной неприводимой компонентой множества. Действительно, множество \ H имеет вещественную размерность не выше 2n - 4, следовательно, оно не может делить связное (2n - 2)-мерное вещественное многообразие T0 на части. Поэтому дополнение множества T0 до его пересечения с множеством \ H покрывается ровно одним множеством Di H. Так как множество Di \ H всюду плотно в компоненте Di и множество Di замкнуто, то множество T0 целиком содержится в неприводимой компоненте Di множества. Допустим, что некоторая точка a множества T0 принадлежит и другой (n - 1)-мерной компоненте Dj, Dj = Di, множества. Но по условию множество T, а следовательно, Глава. Многомерная топологическая теория Галуа и его компонента T0 открыты в топологии множества. Так как множество Dj H всюду плотно в Dj, множество T0 будет содержать точки множества Dj H, что невозможно. Противоречие доказывает нужное утверждение.





Покажем теперь, что различные компоненты связности многообразия T не могут лежать в одной и той же (n - 1)-мерной неприводимой компоненте множества. Действительно, если из неприводимой (n - 1)-мерной компоненты удалить все ее особые точки и точки, не принадлежащие многообразию T, то останется связное многообразие. Следовательно, оно покрывается ровно одной компонентой связности многообразия T. Лемма доказана.

У.. Пусть пара, состоящая из n-мерного аналитического многообразия и его аналитического подмножества, имеет постоянную топологию вдоль связного страта B (см.

п..). Тогда каждая (n - 1)-мерная неприводимая компонента множества либо не пересекается со стратом B, либо содержит его целиком.

Д. Рассмотрим сначала локальный случай. Предположим, что многообразие B совпадает с множеством Ka, а многообразие M совпадает с его окрестностью -1(Ka) (в обозначениях условия из п..). Покажем, что в этом случае замыкание каждой неприводимой (n - 1)-мерной компоненты множества совпадает с множеством Ka.

Мы будем использовать обозначения из этого пункта. Пусть Fa Fa – множество, состоящее из точек аналитического множества – Fa, в окрестности которых множество Fa является аналитической гиперповерхностью в многообразии Va. Множество F0 распадается a на компоненты связности F0,i. Дополнение Fa \ F0 имеет меньшую a a комплексную размерность, чем множество Fa.

Гомеоморфизм, о котором идет речь в условии, переводит множество F0 в множество. Из леммы. вытекает, что этот гомеоa морфизм переводит множества F0,i Ka в различные неприводимые a (n - 1)-мерные компоненты множества, причем образ каждого из множеств F0,i Ka всюду плотен в соответствующей неприводимой a компоненте множества, и в каждую из (n - 1)-мерных компонент множества отобразится некоторое множество F0,i Ka.

a Далее, для каждой компоненты связности F0,i точка a являетa ся предельной (компоненты, для которых это не так, не пересе §. О продолжаемости на подмножество каются с достаточно малой окрестностью точки a и не входят в множество F0). Поэтому замыкание каждого из множеств F0,i Ka a a содержит множество Ka. Следовательно, каждая из неприводимых (n -1)-мерных компонент множества содержит множество Ka (гомеоморфизм, о котором идет речь в условии из п.., тождествен на базе Ka).

Локальный случай разобран. Предположим теперь, что многообразие M находится в малой окрестности страта B. Именно, пусть многообразие M совпадает с окрестностью U страта B, о котором идет речь в условии. В этом случае страт B покрывается областями Ka. В каждой из таких областей действует предыдущее рассуждеj ние. Поэтому если неприводимая (n - 1)-мерная компонента Di множества пересекает множество -1(Ka ), то ее замыкание соj держит всю окрестность Ka. Итак, множество предельных точек j компоненты Di, лежащих в страте B, является открытым в топологии страта B. Но это множество, очевидно, является замкнутым в топологии страта B. Поэтому, так как страт B связен, он должен содержаться в замыкании компоненты Di.

Перейдем теперь к общему случаю.

Если неприводимая (n - 1)-мерная компонента множества не пересекает окрестность U страта B, о котором идет речь в условии, то страт B не содержит предельных точек этой компоненты. Если же она пересекает область U, то действует предыдущее рассуждение, согласно которому замыкание компоненты содержит весь страт B.

Утверждение доказано.

Т.. Пусть пара, состоящая из n-мерного многообразия M и его аналитического подмножества, имеет постоянную топологию вдоль связного страта B. Тогда любая функция f, аналитическая в дополнении M \ к множеству в многообразии M, которая ограничена в некоторой окрестности точки a B, аналитически продолжается на окрестность страта B.

Д. Каждая (n - 1)-мерная неприводимая компонента Di множества, не содержащая точку a, не пересекает страта B (см. утверждение.). Поэтому объединение Da неприводимых (n - 1)-мерных компонент множества, не содержащих точку a, является замкнутым множеством, не пересекающим страта B. Теорема теперь вытекает из утверждения..

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа.. Накрывающие над дополнением к подмножеству хаусдорфовой коразмерности, большей единицы, в многообразии.

В топологической теории Галуа роль полей играют римановы поверхности, а роль групп Галуа играют их группы монодромии. При этом приходится требовать, чтобы римановы поверхности обладали разумными топологическими свойствами. Римановы поверхности, являющиеся локально тривиальными накрытиями, такими свойствами обладают. Однако класс локально тривиальных накрытий является слишком узким и недостаточным для наших целей. В этом параграфе описывается класс накрывающих многообразий над M \, где M – многообразие, в котором отмечено в некотором – смысле малое подмножество. В одномерном варианте топологической теории Галуа (см. главу ) идет речь о функциях, римановы поверхности которых являются накрывающими над комплексной прямой, на которой отмечено счетное (возможно, всюду плотное) множество. В этом параграфе ключевую роль играют накрывающие многообразия над комплексным многообразием M, в котором отмечено аналитическое подмножество (см. п..).

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.