WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 35 |

с координатными функциями x1,..., xn,... (для каждого k > 0 функции x1,..., xk – координатные функции в k). Ниже мы определяем – лиувиллевские классы функций для каждого стандартного координатного пространства k.

Функции от n переменных, представимые в радикалах Список основных функций: все комплексные константы, все координатные функции каждого стандартного координатного пространства.

Список допустимых операций: арифметические операции и опе m рации извлечения корня f степени m, m = 2, 3,..., из заданной функции f.

Функция от n переменных, представимая в радикалах, – это лю– бая функция от переменных x1,..., xn, которую можно получить из перечисленных выше основных функций при помощи перечисленных выше допустимых операций.

Функция 3 7 g(x1, x2, x3) = 5x1 + 2 x2 + x3 + доставляет пример функции трех переменных, представимой в радикалах.

Для определения остальных классов нам понадобится список основных элементарных функций.

§. Введение Список основных элементарных функций:

. Все комплексные константы и все координатные функции x1,..., xn каждого стандартного координатного пространства n.

. Экспонента, логарифм и степенная функции x, где – любая – комплексная константа.

. Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс.

. Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Перейдем теперь к списку классических операций над функциями. Здесь приводится начало списка. Он будет продолжен в п...

Список классических операций:

. Операция суперпозиции, сопоставляющая функции f от k переменных и функциям g1,..., gk от n переменных функцию f (g1,..., gk) от n переменных.

. Арифметические операции, сопоставляющие функциям f и g функции f + g, f - g, fg и f /g.

. Операции дифференцирования по независимым переменным, для функций от n переменных имеется n таких операций: i-я операция сопоставляет функции f от переменных x1,..., xn функцию f.

xi. Операция интегрирования, сопоставляющая k функциям f1,...

..., fk от переменных x1,..., xk, для которых форма = f1 dx1 +...

... + fk dxk замкнута, неопределенный интеграл y формы (т. е. любую функцию y, такую что dy = ). По функциям f1,..., fk функция y определяется с точностью до аддитивной постоянной).

. Операция решения алгебраического уравнения, сопоставляющая функциям f1,..., fn функцию y, такую что yn + f1 yn-1 +... + fn = 0.

По функциям f1,..., fn функция y определена не вполне однозначно, так как алгебраическое уравнение степени n может иметь n решений.

. Операция взятия экспоненты интеграла, сопоставляющая k функциям f1,..., fk от переменных x1,..., xk, для которых форма = = f1 dx1 +... + fk dxk замкнута, экспоненту z от неопределенного интеграла y формы (т. е. любую функцию z, такую что dz = z). По функциям f1,..., fk функция z определяется с точностью до мультипликативной постоянной.

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа Вернемся теперь к определению лиувиллевских классов функций от n переменных.

Элементарные функции от n переменных.

Список основных функций: основные элементарные функции.

Список допустимых операций: суперпозиции, арифметические операции, дифференцирование.

Элементарная функция от n переменных – это любая функция от – переменных x1,..., xn, которую можно получить из перечисленных выше основных функций при помощи перечисленных выше допустимых операций. Элементарные функции записываются формулами, например следующей:

f (x1, x2) = arctg(exp(sin x1) + cos x2).

Аналогично определяются и остальные лиувиллевские классы функций. При определении этих классов ограничимся списками основных функций и допустимых операций.

Функции от n переменных, представимые в квадратурах.

Список основных функций: основные элементарные функции.

Список допустимых операций: суперпозиции, арифметические операции, дифференцирования, интегрирование.

Обобщенные элементарные функции от n переменных. Этот класс функций определяется в точности так же, как класс элементарных функций. Нужно лишь к списку допустимых операций добавить операцию решения алгебраических уравнений.

Функции от n переменных, представимые в обобщенных квадратурах. Этот класс функций определяется в точности так же, как класс функций, представимых в квадратурах. Нужно лишь к списку допустимых операций добавить операцию решения алгебраических уравнений.

Функции от n переменных, представимые в k-радикалах.

Этот класс функций определяется в точности так же, как класс функций, представимых в радикалах. Нужно лишь к списку допустимых операций добавить операцию решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Функции от n переменных, представимые в k-квадратурах.

Этот класс функций определяется в точности так же, как класс функций, представимых в квадратурах. Нужно лишь к списку до §. Введение пустимых операций добавить операцию решения алгебраических уравнений степени не выше k.

.. Новые определения лиувиллевских классов функций многих переменных. Все основные элементарные функции сводятся к логарифму и к экспоненте (см. лемму. из главы ). Суперпозиции y =exp f и z =ln f можно рассматривать как решения уравнений dy = y d f и dz = d f / f. Таким образом, внутри лиувиллевских классов функций вместо абсолютно неалгебраической операции суперпозиции достаточно рассматривать операции решения простых дифференциальных уравнений. После этого задача о разрешимости в лиувиллевских классах функций становится дифференциальноалгебраической и переносится на абстрактные дифференциальные поля.



Продолжим начатый в п.. список классических операций.

. Операция взятия экспоненты, сопоставляющая функции f функцию exp f.

. Операция взятия логарифма, сопоставляющая функции f функцию ln f.

Приведем теперь новые определения трансцендентных лиувиллевских классов функций от n переменных.

Элементарные функции от n переменных.

Список основных функций: все комплексные константы, все координатные функции каждого стандартного координатного пространства.

Список допустимых операций: взятие экспоненты, взятие логарифма, арифметические операции, дифференцирования.

Функции от n переменных, представимые в квадратурах.

Список основных функций: все комплексные константы.

Список допустимых операций: взятие экспоненты, арифметические операции, дифференцирования, интегрирование.

Обобщенные элементарные функции от n переменных и функции от n переменных, представимые в обобщенных квадратурах, k-квадратурах и k-радикалах, определяются так же, как соответствующие необобщенные классы функций, нужно лишь к списку допустимых операций добавить, соответственно, операцию решения алгебраических уравнений или операцию решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа Справедливо следующее утверждение.

Для каждого из трансцендентных лиувиллевских классов функций новое и старое определения (см. настоящий параграф и п..) эквивалентны.

Мы не будем доказывать это утверждение: оно доказывается так же, как теорема. из главы.

Поле K называется полем с n коммутирующими дифференцированиями, если задано n аддитивных отображений i : K K, i =1,..., n, удовлетворяющих соотношению Лейбница i(ab)=(ia)b+a(ib) и коммутирующих между собой: ij = ji. Ниже поле, снабженное n коммутирующими дифференцированиями, мы будем называть дифференциальным полем (если подобное сокращение не приводит к недоразумениям).

Элемент y дифференциального поля K называется константой, если i y = 0 для i = 1,..., n. Все константы образуют подполе, которое называется полем констант. Во всех интересующих нас случаях полем констант является поле комплексных чисел. Поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что дифференциальное поле имеет в качестве поля констант поле комплексных чисел. Элемент y дифференциального поля называется: экспонентой элемента a, если i y = yia для i =1,..., n; экспонентой интеграла набора элементов a1,..., an, если i y =ai y для i =1,..., n; логарифмом элемента a, если i y = ia/a для i = 1,..., n; интегралом набора элементов a1,..., an, если i y = ai для i = 1,..., n.

Пусть дифференциальное поле K и множество M лежат в некотором дифференциальном поле F. Присоединением к дифференциальному полю K множества M называется минимальное дифференциальное поле KM, содержащее поле K и множество M.

Дифференциальное поле F, содержащее дифференциальное поле K и имеющее то же поле констант, называется элементарным расширением поля K, если существует цепочка дифференциальных полей K = F1... FN = F, в которой при каждом i = 1,..., N - 1 поле Fi+1 = Fixi получается присоединением к полю Fi элемента xi, причем xi – экспонента или логарифм некоторого элемента ai поля – Fi. Элемент a F называется элементарным над K, K F, если он содержится в каком-либо элементарном расширении поля K.

Обобщенное элементарное расширение, расширение Лиувилля, обобщенное расширение Лиувилля и k-расширение Лиувилля поля K §. Введение определяются аналогично. При построении обобщенных элементарных расширений допускаются присоединения экспонент, логарифмов и алгебраические расширения. При построении расширений Лиувилля допускаются присоединения интегралов и экспонент интегралов наборов элементов дифференциального поля, построенного на предыдущем шаге. В обобщенных расширениях Лиувилля и k-расширениях Лиувилля кроме этого допускаются соответственно алгебраические расширения и присоединения решений алгебраических уравнений степени не выше k. Элемент a F называется обобщенно-элементарным над K, K F (представимым в квадратурах, в обобщенных квадратурах, в k-квадратурах над K), если a содержится в каком-либо обобщенном элементарном расширении (расширении Лиувилля, обобщенном расширении Лиувилля, k-расширении Лиувилля) поля K.

.. Расширения Лиувилля дифференциальных полей, состоящих из функций многих переменных. Перейдем к функциональным дифференциальным полям, элементами которых являются функции от n переменных. Именно с такими полями мы будем иметь дело в настоящей главе.

Всякое подполе K поля всех мероморфных функций в связной области U пространства n, содержащее все комплексные константы и замкнутое относительно дифференцирования по каждой перемен f ной (т. е. если f K, то K для i = 1,..., n), доставляет пример xi функционального дифференциального поля, снабженного n коммутирующими дифференцированиями.

Дадим теперь общее определение. Пусть V, – пара, состоя– щая из связного n-мерного аналитического многообразия V и из n коммутирующих мероморфных векторных полей = 1,..., n на нем. Производная Ли L вдоль векторного поля i действует на i поле F всех мероморфных функций на многообразии V и задает дифференцирование i f = L f в этом поле. Функциональное диффеi ренциальное поле – это любое дифференциальное подполе поля F, – содержащее все комплексные константы.

Для расширения функциональных полей полезна следующая конструкция. Пусть K – некоторое подполе поля мероморфных функ– ций на связном многообразии V, снабженном n коммутирующими Глава. Многомерная топологическая теория Галуа мероморфными векторными полями = 1,..., n, дифференцирование вдоль которых не выводит из поля K (т. е. если f K, то L f K). Рассмотрим любое связное многообразие W вместе с i аналитическим отображением : W V, являющимся локальным гомеоморфизмом. Фиксируем на W мероморфные векторные поля = 1,..., n, такие что i = d() i. Дифференциальное поле F всех мероморфных функций на W с дифференцированиями i = L i содержит дифференциальное подполе K, состоящее из функций вида f, где f K. Дифференциальное поле K изоморфно дифференциальному полю K, и оно лежит внутри дифференциального поля F. Если удачно подобрать многообразие W, то расширение поля K, изоморфного полю K, можно произвести внутри поля F.





Пусть требуется расширить поле K, скажем, интегралом y некоторого набора функций f1,..., fn K. Это можно сделать следующим образом. Поскольку векторные поля 1,..., n мероморфны и коммутируют, на W существуют мероморфные -формы 1,..., n, определенные соотношениями i( j) = 0 при i = j и i( i) = 1. Форма = f11 +...+ fnn должна быть замкнутой (иначе интеграл y не может существовать), и y является неопределенным интегралом формы.

Над многообразием V можно рассмотреть риманову поверхность W неопределенного интеграла y формы f. По самому определению римановой поверхности W существует естественная проекция : W V и функция y является однозначной мероморфной функцией на поверхности W. Дифференциальное поле F мероморфных функций на W с операциями дифференцирования вдоль векторных полей i = d-1() i содержит как элемент y, так и поле K, изоморфное полю K. Поэтому расширение K y определено и является подполем дифференциального поля F. Именно эту конструкцию расширения мы имеем в виду, когда говорим о расширениях функциональных дифференциальных полей.

Эта же конструкция позволяет присоединить к функциональному дифференциальному полю K логарифм или экспоненту от любой функции f из поля K и интеграл или экспоненту интеграла от любого набора функций f1,..., fn, для которого форма = f11 +... + fnn замкнута. Для любых функций f1,..., fn K можно таким способом присоединить к K решение y алгебраического уравнения yn + §. Введение + f1 yn-1 +... + fn = 0 или все решения y1,..., yn этого уравнения (присоединение всех решений y1,..., yn можно осуществить на римановой поверхности вектор-функции y = ( y1,..., yn)). Таким же способом можно присоединить к K конечномерное пространство над всех решений любой голономной системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами в поле K. (Напомним, что росток любого решения системы голономных линейных дифференциальных уравнений аналитически продолжается вдоль кривой на многообразии V, не проходящей через некоторое аналитическое подмногообразие коразмерности один в многообразии V.) Итак, все упомянутые выше расширения функциональных дифференциальных полей можно осуществить, не выходя из класса функциональных дифференциальных полей. Говоря о расширениях функциональных дифференциальных полей, мы всегда имеем в виду именно эту процедуру.

Дифференциальное поле, состоящее из всех комплексных констант, и дифференциальное поле, состоящее из всех рациональных функций от n переменных, можно рассматривать как дифференциальные поля функций, определенных на пространстве n. Так же, как и в одномерном случае, проверяются следующие утверждения.

Функция n комплексных переменных (возможно, многозначная) принадлежит ) классу элементарных функций, если и только если она принадлежит некоторому элементарному расширению поля всех рациональных функций n переменных;

) классу обобщенных элементарных функций, если и только если она принадлежит некоторому обобщенному элементарному расширению поля рациональных функций n переменных;

) классу функций, представимых в квадратурах, если и только если она принадлежит некоторому расширению Лиувилля поля всех комплексных констант;

) классу функций, представимых в k-квадратурах, если и только если она принадлежит некоторому k-расширению Лиувилля поля всех комплексных констант;

) классу функций, представимых в обобщенных квадратурах, если и только если она принадлежит обобщенному расширению Лиувилля поля всех комплексных констант.

Глава. Многомерная топологическая теория Галуа § 2. Пусть M – аналитическое многообразие и – аналитическое под– – множество в нем. Пусть в точке b M задан росток fb аналитической функции, который аналитически продолжается вдоль любой кривой : [0, 1] M, (0) = b, пересекающей множество лишь, может быть, в начальный момент. Что можно сказать о продолжаемости ростка fb вдоль кривых, которые, начиная с некоторого момента, лежат в Этим вопросом мы и будем заниматься. В п.. мы рассмотрим классический случай, в котором дополнительно известно, что продолжения ростка fb задают однозначную аналитическую функцию в множестве M \. В этом случае единственным препятствием к продолжаемости ростка fb выступают неприводимые компоненты множества, которые имеют коразмерность один в многообразии M и замыкания которых не содержат заданной точки b (см.

утверждение., являющееся вариантом теорем Римана и Гартогса о продолжаемости аналитических функций). Росток fb продолжается в дополнение к объединению таких компонент и, вообще говоря, не продолжается дальше. Однако, как показывает следующий простейший пример, этот результат не переносится непосредственно на случай многозначных функций.

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.