WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 35 |

С.. Если группа монодромии системы линейных дифференциальных уравнений над полем рациональных функций неразрешима (не k-разрешима, не почти разрешима), то по крайней мере одна из компонент почти каждого решения не лежит в классе функций, представимых с помощью однозначных -функций и квадратур (k-квадратур, обобщенных квадратур).

С.. Если система дифференциальных уравнений типа Фукса с маленькими коэффициентами не является треугольной, то по крайней мере одна из компонент почти каждого решения не лежит в классе функций, представимых с помощью однозначных -функций и квадратур (k-квадратур, обобщенных квадратур).

§ 3., В этом параграфе классифицируются многоугольники G, ограниченные дугами окружностей, для которых функция fG, задающая отображение Римана верхней полуплоскости на многоугольник G, представима в явном виде. Мы пользуемся принципом симметрии Римана– –Шварца и описанием конечных подгрупп группы дробнолинейных преобразований.

.. Применение принципа симметрии. Рассмотрим на комплексной плоскости многоугольник G, ограниченный дугами окружностей. Согласно теореме Римана существует функция fG, отображающая верхнюю полуплоскость на многоугольник G. Это отображение изучалось Риманом, Шварцем, Кристоффелем, Клейном и другими. Напомним нужные нам классические результаты.

Обозначим через B = {bj} прообраз множества вершин многоугольника G при отображении fG, через H(G) – группу конформных – §. Отображение полуплоскости на многоугольник преобразований сферы, порожденную инверсиями относительно сторон многоугольника, и через L(G) – подгруппу индекса группы – H(G), состоящую из дробно-линейных преобразований. Из принципа симметрии Римана– –Шварца вытекает следующее У.. Функция fG мероморфно продолжается вдоль всех кривых, не пересекающих множество B.

. Все ростки многозначной функции fG в неособой точке a B по/ лучаются применением к фиксированному ростку fa группы дробнолинейных преобразований L(G).

. Группа монодромии функции fG изоморфна группе L(G).

. Около точек bj функция fG имеет особенности следующего вида. Если в вершине aj многоугольника G, соответствующей точке bj, угол j не равен 0, то функция fG дробно-линейным преобразоj ванием приводится к виду fG(z) = (z - bj) (z), где j = j/2, а функция (z) голоморфна около точки bj. Если же угол j равен 0, то функция fG дробно-линейным преобразованием приводится к виду fG(z) = ln(z) + (z), где (z) голоморфна около bj.

Из наших результатов вытекает, что если функция fG представима в обобщенных квадратурах, то группа L(G) и вместе с ней группа H(G) лежат в классе,.

.. Группы дробно-линейных и конформных преобразований класса,. Пусть – эпиморфизм группы SL(2) матриц – -го порядка с определителем 1 в группу дробно-линейных преобразований L, a b az + b :.

c d cz + d Так как ker = 2, группа L L и группа -1( = SL(2) лежат L) в классе, одновременно. Группа – матричная группа, по– этому она лежит в классе,, если и только если она обладает нормальным делителем 0 конечного индекса, приводящимся к треугольному виду. (Этот вариант теоремы Ли верен и в многомерном пространстве и играет важную роль в дифференциальной теории Галуа; см. § главы.) Группа 0 состоит из матриц второго порядка, поэтому группа 0 приводится к треугольному виду в одном из следующих трех случаев:

) группа 0 имеет единственное собственное одномерное подпространство;

Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса ) группа 0 имеет два собственных одномерных подпространства;

) группа 0 имеет двумерное собственное пространство.

Перейдем теперь к группе дробно-линейных преобразований L = = (). Группа L принадлежит классу,, если и только если она обладает нормальным делителем L0 = (0) конечного индекса, множество неподвижных точек которого состоит из одной точки, или из двух, или из всей сферы Римана.

Группа конформных преобразований H обладает подгруппой L индекса (или индекса ), состоящей из дробно-линейных преобра зований. Поэтому для группы конформных преобразований H класса, справедливо аналогичное утверждение.

Л,.

Группа конформных преобразований сферы принадлежит классу,, если и только если выполнено одно из трех условий:

) группа имеет неподвижную точку;

) группа имеет инвариантное множество, состоящее из двух точек;

) группа конечна.

Лемма вытекает из предыдущего, так как множество неподвижных точек нормального делителя инвариантно относительно дей ствия группы. Хорошо известно, что конечная группа L дробно-линейных преобразований сферы дробно-линейной заменой координаты приводится к группе вращений.

Несложно показать, что если произведению инверсий относительно двух разных окружностей при стереографической проекции соответствует вращение сферы, то этим окружностям соответству ют большие круги. Поэтому каждая конечная группа H конформных преобразований, порожденная инверсиями относительно окружностей, дробно-линейной заменой координаты приводится к группе движений сферы, порожденной отражениями.

Хорошо известны все конечные группы движений, порожденные отражениями. Каждая такая группа есть группа движений одного из следующих тел:

) правильной n-угольной пирамиды;

) n-угольного диэдра, или тела, образованного двумя равными правильными n-угольными пирамидами, склеенными по общему основанию;

§. Отображение полуплоскости на многоугольник ) тетраэдра;

) куба или октаэдра;

) додекаэдра или икосаэдра.

Все эти группы движений, за исключением группы додекаэдраикосаэдра, разрешимы. На сфере, центр которой совпадает с центром тяжести тела, плоскости симметрии тела высекают некоторую сетку больших кругов. Сетки, соответствующие перечисленным телам, будем называть конечными сетками больших кругов. Стереографические проекции конечных сеток изображены на рис..



.. Интегрируемые случаи. Вернемся к вопросу о представимости функции fG в обобщенных квадратурах.

Рассмотрим возникающие случаи и покажем, что найденные условия на группу монодромии не только необходимы, но и достаточны для представимости функции fG в обобщенных квадратурах.

Первый случай интегрируемости. Группа H(G) имеет неподвижную точку. Это означает, что продолжения сторон многоугольника G пересекаются в одной точке. Переводя эту точку дробнолинейным преобразованием в бесконечность, получим многоуголь ник, ограниченный отрезками прямых.

Все преобразования группы L() имеют вид z az +b. Все ростки функции f = f в неособой точке c получаются применением к фик сированному ростку fc группы L(), fc a fc + b. Росток Rc = fc/ fc инвариантен при действии группы L(). Значит, росток Rc есть росток однозначной функции. Особые точки bj функции Rc могут быть лишь полюсами (см. утверждение из п..). Поэтому функция Rc ра циональна. Уравнение f / f = R интегрируется в квадратурах. Этот случай интегрируемости хорошо известен. Функция f в этом случае называется интегралом Кристоффеля– –Шварца.

Рис.. Первый случай интегрируемости Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса Второй случай интегрируемости. Группа H(G) имеет инвариантное множество, состоящее из двух точек. Это означает существование таких двух точек, что для каждой стороны многоугольника G точки или инверсионны относительно стороны, или лежат на ее продолжении. Переведем эти точки дробно-линейным преобразо ванием в нуль и в бесконечность. Мы получим многоугольник, ограниченный дугами окружностей с центрами в точке 0 и отрезками лучей, выходящих из точки 0 (см. рис. ). Все преобразования группы L() имеют вид z az, z b/z. Все ростки функции f = f в неособой точке c получаются применением к фиксированному рост ку fc преобразований группы L():

fc a fc, fc b/ fc.

Росток Rc = ( fc/ fc)2 инвариантен при действии группы L() и является ростком однозначной функции R. Особенности функции R могут быть лишь полюсами (см. утверждение из п..), поэтому функция R рациональна. Уравнение R = ( f / f )2 интегрируется в квадратурах.

Рис.. Второй случай интегрируемости Третий случай интегрируемости (см. рис. ). Группа H(G) конечна. Это означает, что многоугольник G дробно-линейным преобразованием переводится в многоугольник, стороны которого лежат на некоторой конечной сетке больших кругов. Группа L(G) конечна, и, следовательно, функция fG конечнозначна. Так как все особенности функции fG степенного типа (см. утверждение из п..), то функция fG есть алгебраическая функция.

Остановимся на случае конечной разрешимой группы H(G). Такой случай возможен, если и только если многоугольник G дробно линейным преобразованием переводится в многоугольник, сто §. Отображение полуплоскости на многоугольник Сетка n-угольной пирамиды (n = 6) Сетка n-угольного диэдра (n = 6) Сетка тетраэдра Сетка куба-октаэдра Сетка додекаэдра-икосаэдра Рис..

Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса роны которого лежат на конечной сетке, отличной от сетки додекаэдра-икосаэдра. В этом случае группа L(G) разрешима. Применяя теорию Галуа, легко показать, что в этом случае функция fG представляется через рациональные функции при помощи арифметических операций и радикалов.

Из наших результатов (см. п.. главы ) вытекает Т,. Для любого многоугольника G, не относящегося ни к одному из перечисленных выше трех случаев интегрируемости, функция fG не только не представима в обобщенных квадратурах, но и не выражается через однозначные -функции при помощи обобщенных квадратур, суперпозиций и мероморфных операций.

Гл а в а М Н О ГО М Е Р НАЯ ТО П ОЛ О ГИЧ Е СКАЯ Т Е О Р ИЯ ГА Л УА § 1. В топологической теории Галуа для функций одной переменной (см. главу ) доказывается, что характер расположения римановой поверхности функции над комплексной прямой может препятствовать представимости этой функции в квадратурах. Это не только объясняет, почему многие дифференциальные уравнения не решаются в квадратурах, но и дает наиболее сильные известные результаты об их неразрешимости.

Мне всегда казалось, что полноценного многомерного варианта топологической теории Галуа не существует. Дело в том, что для построения такого варианта в случае многих переменных нужно было бы иметь информацию о продолжаемости ростков функций не только вне их множеств ветвления, но и вдоль таких множеств. А такую информацию взять вроде бы неоткуда. Только весной года я неожиданно заметил, что ростки функций временами автоматически продолжаются вдоль множества ветвления. Именно поэтому многомерная топологическая теория Галуа все-таки существует. Эта теория обсуждается в настоящей главе. В § описывается свойство продолжаемости функций вдоль их множеств ветвления, которое, как мне кажется, представляет и самостоятельный интерес.

Пусть f – многозначная аналитическая функция на n, для ко– торой определена группа монодромии. Пусть : (Y, y0) ( n, a) – – аналитическое отображение многообразия Y в n. Росток ( fa)y может быть ростком многозначной функции на многообразии Y, для которой определена группа монодромии. Такая ситуация возможна, даже если точка a лежит в множестве особых точек функции f (некоторые из ростков многозначной функции f могут оказаться неособыми в особых точках этой функции) и многообразие Y отображается в это множество. Можно ли оценить группы монодромии индуцированной таким способом многозначной функции через группу монодромии исходной функции f (верно ли, например, что если группа монодромии функции f разрешима, то разрешима и группа монодромии каждой индуцированной из f функции) В § Глава. Многомерная топологическая теория Галуа этот вопрос формулируется более точно и на него дается положительный ответ (см. п..,.).





Описание связи группы монодромии исходной функции с группами монодромии индуцированных таким способом функций потребовало введения операции индуцированного замыкания групп (см. п..). В свою очередь, использование этой операции вынуждает пересмотреть определения различных классов пар групп (см.

п..), встречающихся в одномерном варианте топологической теории Галуа (см. главу ). В § строятся определения, позволяющие работать с функциями многих переменных, имеющими всюду плотные множества особых точек и континуальные группы монодромии.

В главе описан обширный класс бесконечнозначных функций одной переменной, для которых определена группа монодромии.

Существует ли достаточно широкий класс ростков бесконечнозначных функций многих переменных (содержащий ростки функций, представимых в обобщенных квадратурах, и ростки целых функций многих переменных и замкнутый относительно естественных операций, таких как операция суперпозиции), обладающих аналогичным свойством Долгое время я считал, что ответ на поставленный вопрос отрицателен. В § определяется класс -ростков, дающий положительный ответ на этот вопрос. Доказательство использует результаты о продолжаемости многозначных аналитических функций вдоль их множеств ветвления (см. § ).

Основная теорема (см. п..) описывает изменения групп монодромий -ростков, которые происходят в результате применения к росткам естественных операций. Она очень близка к соответствующей одномерной теореме (см. § главы ), но использует также новые результаты аналитического (см. § ) и теоретико-группового (см. § ) характера. Как следствие получаются топологические результаты о неразрешимости уравнений в явном виде, более сильные, чем аналогичные классические теоремы.

В п.. определяются операции над многозначными функциями многих переменных (которые понимаются в немного более ограниченном смысле, чем операции над многозначными функциями одной переменной). В п..–. определяются лиувиллевские классы функций и расширения Лиувилля дифференциальных функциональных полей для случая функций многих переменных.

§. Введение.. Операции над многозначными функциями многих переменных. Операции над многозначными функциями в настоящей главе понимаются как операции над их однозначными ростками (ср. п.. введения к этой книге). Пусть фиксирован класс основных функций и запас допустимых операций. Выражается ли заданная функция (являющаяся, скажем, решением данного алгебраического или дифференциального уравнения или возникшая из каких-либо других соображений) через основные функции с помощью допустимых операций Нас интересуют различные однозначные ветви многозначных функций над различными областями.

Каждую функцию, даже если она является многозначной функцией, мы будем рассматривать как совокупность всех ее однозначных ветвей. Мы будем применять допустимые операции (такие как арифметические операции или операцию взятия суперпозиции) лишь к однозначным ветвям функций над различными областями.

Так как мы имеем дело с аналитическими функциями, то в качестве областей достаточно рассматривать лишь малые окрестности точек.

Вопрос теперь видоизменяется следующим образом: выражается ли заданный росток функции в заданной точке через ростки основных функций при помощи допустимых операций Конечно, ответ зависит от выбора точки и от выбора однозначного ростка в этой точке заданной многозначной функции. Однако оказывается, что (для интересующих нас классов функций) либо искомого выражения не существует ни для какого ростка заданной многозначной функции ни в какой точке, либо, наоборот, «одно и то же» представление обслуживает все ростки заданной многозначной функции почти в любой точке пространства. В первом случае мы будем говорить, что никакая ветвь заданной многозначной функции не выражается через ветви основных функций при помощи допустимых операций. Во втором случае мы будем говорить, что такое выражение существует. В этой главе операции над многозначными функциями многих переменных будут пониматься в только что описанном смысле.

Для функций одной переменной мы пользовались другим, более расширенным определением операций над многозначными функциями, в котором многозначная функция воспринимается как единый объект (см. п.. введения к настоящей книге). Оно, в сущ Глава. Многомерная топологическая теория Галуа ности, эквивалентно добавлению операции аналитического продолжения к числу допустимых операций над аналитическими ростками. Для функций многих переменных приходится принять описанное выше более ограничительное понимание операций над многозначными функциями, которое, впрочем, не менее (а может быть, даже более) естественно.

.. Лиувиллевские классы функций многих переменных. В п..–. определяются лиувиллевские классы функций и расширения Лиувилля функциональных дифференциальных полей для случая функций многих переменных. Эти классы и расширения определяются так же, как соответствующие классы и расширения полей функций одной переменной (см. п.. введения к настоящей книге и § главы ). Разница лишь в деталях.

Мы считаем, что фиксирована цепочка стандартных координатных пространств возрастающих размерностей 0 1... n...

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.