WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 35 |

Доказательство вытекает из теоремы Пикара– –Вессио (см. теорему. главы ) и из предыдущей теоремы. Как и в случае уравнения типа Фукса, «положительная» часть теоремы, относящаяся к разре Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса шимости системы, доказывается, в основном, при помощи линейной алгебры (см. § главы и п..). А отрицательную часть теоремы значительно усиливает топологическая теория Галуа (см. п..).

§ 2. В этом параграфе приводятся явные критерии для различных видов разрешимости систем линейных дифференциальных уравнений типа Фукса с достаточно маленькими коэффициентами []. Доказательство использует критерий Колчина (см. § главы ) и теорию Лаппо-Данилевского.

.. Системы уравнений типа Фукса. Среди систем регулярных линейных дифференциальных уравнений выделяются системы линейных дифференциальных уравнений типа Фукса. Это уравнения вида y = A(x)y, где матрица A(x) не имеет кратных полюсов и обращается в нуль на бесконечности. Другими словами, это уравнения вида k Ap y = y, (x - ap) p=где Ap – комплексная (n n)-матрица, а y = ( y1,..., yn) – вектор в – – n. Точки ap называются полюсами, а матрицы Ap – матрицами-вы– четами системы уравнений типа Фукса.

Для систем уравнений типа Фукса, как и для других регулярных систем дифференциальных уравнений, алгебраическое замыкание группы монодромии совпадает с группой Галуа порожденного системой уравнений расширения Пикара– поля рациональных –Вессио функций (см. п..).

И. А. Лаппо-Данилевский развил теорию аналитических функций от матриц и применил ее к дифференциальным уравнениям [].

Нам понадобятся результаты Лаппо-Данилевского относительно систем уравнений типа Фукса, которые мы будем использовать в виде следствия, приведенного в конце этого пункта.

Возьмем неособую точку x0 = ap. Зафиксируем k кривых 1,..., k так, чтобы кривая p начиналась в точке x0, подходила к полюсу ap, обходила его и возвращалась назад в точку x0. Кривым 1,..., k §. Теория Галуа систем уравнений типа Фукса отвечают матрицы монодромии M1,..., Mk. Очевидно, что матрицы M1,..., Mk порождают группу монодромии. При фиксации кривых матрицы монодромии зависят лишь от матриц-вычетов. Эта зависимость изучалась Лаппо-Данилевским.

Во-первых, он показал, что матрицы монодромии Mp – целые – функции матриц-вычетов Aj. Точнее, существуют специальные ряды с комплексными коэффициентами Mp = E + 2iAp + ci, j Ai Aj +... () 1 i, j k от матриц A1,..., Ak, выражающие матрицы монодромии Mp и сходящиеся при любых матрицах A1,..., Ak.

Хотя матрица монодромии Mp зависит от всех матриц-вычетов Aj, ее собственные числа определяются только по собственным числам матрицы-вычета Ap.

Т. [], []. Пусть {µm} – набор собственных чисел ма– m трицы Ap. Тогда {e2iµ } – набор собственных чисел матрицы Mp.

– Знаменитая проблема Римана– – –Гильберта – это вопрос о разрешимости обратной задачи, т. е. о существовании уравнений типа Фукса с заданным набором матриц монодромии. Для почти всякого набора матриц монодромии задача Римана– –Гильберта разрешима.

Традиционно считалось, что этот классический результат переносится на любые наборы матриц монодромии. Однако, как обнаружил А. А. Болибрух [], [], это не так. Он предъявил пример набора матриц монодромии, для которых проблема Римана– –Гильберта неразрешима.

Далее, Лаппо-Данилевский показал, что в предположении малости матриц-вычетов Aj матрицы-вычеты Aj – однозначные анали– тические функции матриц монодромии Mp. А именно, он показал, что если ограничиться уравнениями типа Фукса с достаточно малыми матрицами-вычетами Aj <, = (n, a1,..., ak), то для достаточно близких к E матриц монодромии Mp, Mp - E <, задача Римана– –Гильберта имеет единственное решение. Более того, существуют специальные ряды с комплексными коэффициентами 1 Ap = - E + Mp + bi, j MiMj +... () 2i 2i 1 i, j k от матриц M1,..., Mk, выражающие матрицы-вычеты Ap и сходящиеся при Mp - E <.

Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса Ряды () получаются обращением рядов (). Этот результат является своеобразной теоремой о неявной функции (для аналитических отображений с некоммутативными переменными).

Теорию Лаппо-Данилевского мы будем использовать в форме такого следствия.

С.. Матрицы монодромии лежат в алгебре с единицей, натянутой на матрицы-вычеты. Обратно, если матрицы-вычеты достаточно малы и матрицы монодромии достаточно близки к E, то матрицы-вычеты лежат в алгебре с единицей, натянутой на матрицы монодромии.

.. Группы, порожденные матрицами, близкими к единичной. В этом пункте доказывается аналог теоремы Ли для матричных групп, порожденных матрицами, близкими к единичным. Напомним формулировку теоремы Жордана.

Т Ж. Конечная группа G линейных преобразований n-мерного пространства обладает диагональным нормальным делителем Gd ограниченного индекса, ind(G, Gd) J(n).

Известны различные явные оценки сверху чисел J(n). (Напри 2 мер, Шур показал, что J(n) ( 8n + 1)2n - ( 8n - 1)2n, см. [].) У.. Существует целое число T(n), такое что подгруппа G в GL(n) обладает разрешимым нормальным делителем конечного индекса, если и только если она обладает треугольным нормальным делителем индекса не больше T(n).

Д. Теорема Ли гарантирует существование у группы G треугольного нормального делителя Gl конечного индек са. Действительно, достаточно положить Gl = G 0, где 0 – компо– нента связности единицы алгебраического замыкания группы G.

Однако индекс нормального делителя Gl может быть как угодно велик. Так, например, для группы k корней степени k из единицы этот индекс равен k при n = 1. Мы будем увеличивать нормальный делитель Gl, оставляя его треугольным. Отметим, что нам достаточно доказать существование треугольной подгруппы ограниченного индекса, так как подгруппа индекса k содержит нормальный делитель индекса не больше k!. Доказательство будем вести индукцией по размерности n. Если группа G обладает инвариантным пространством Vk размерности k, 0 < k < n, мы сможем сделать индукционный шаг. Действительно, группа G в этом случае действу §. Теория Галуа систем уравнений типа Фукса k ет и на пространстве V размерности k, и на факторпространстве n k V /V размерности n - k. По индукции можно считать, что группа G обладает нормальным делителем индекса не больше T(k)T(n - k), k k n который треуголен как в V, так и в Vn/V, т. е. треуголен в V.



Нормальный делитель Gl приводится к треугольному виду и обладает поэтому ненулевым максимальным собственным подпространk n k n ством Vk. Возникают два случая: V V и V = V. Рассмотрим перk n вый случай: V V. Обозначим через Gl подгруппу группы G, соk стоящую из всех преобразований, для которых V инвариантно (в этом месте и происходит увеличение нормального делителя Gl). До кажем, что ind(G, Gl) n. Действительно, группа перестановок группы G переставляет максимальные собственные пространства всякого своего нормального делителя и, в частности, Gl. Однако максимальных собственных пространств не может быть больше n. Отсюда и вытекает нужное соотношение ind(G, Gl) n. Для окончания дока зательства достаточно применить к группе Gl индукционный шаг.

k n Рассмотрим второй случай: V = V, т. е. Gl состоит из матриц E.

Можно считать, что группа G состоит из матриц с единичным детерминантом. Действительно, в противном случае можно рассмотреть группу, составленную из матриц (det A)-1 A. Нормальный делитель Dl при этом предположении конечен (так как n = 1). Группа G тоже конечна, так как ind(G, Gl) <. Для окончания доказательства достаточно воспользоваться теоремой Жордана.

У.. Существует целое число D(n), такое что подгруппа G в GL(n) обладает диагональным нормальным делителем конечного индекса, если и только если она обладает диагональным нормальным делителем индекса не больше D(n).

Утверждение. доказывается точно так же, как утверждение., и мы не будем останавливаться на его доказательстве. Числа T(n) и D(n) также допускают явную оценку сверху (ср. []).

N Л.. Уравнение X = A, A - E <, X - E <, в котором X и A – комплексные (n n)-матрицы, близкие к E, имеет един– ственное решение, если =(n, N) достаточно мало. При этом каждое инвариантное пространство V матрицы A будет инвариантно и для матрицы X.

Д. Положим B = A - E и 1 1 1 X = E + B + - 1 B2 +...

N 2 N N Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса N При B < 1 ряд сходится и X = A. Выберем теперь = (n, N) столь малым, чтобы теорема о неявной функции гарантировала единственность решения. Пространство V будет инвариантно относительно B = A - E и, следовательно, относительно X.

Л.. Пусть N-е степени всех матриц из группы G лежат в некоторой алгебраической группе L, тогда группа G L имеет в группе G конечный индекс.

Д. Рассмотрим алгебраическое замыкание N группы G. Легко видеть, что X L при X. Обозначим через и L0 компоненты связности единицы групп и L. Если A лежит в N группе L0, A = exp(M), то уравнение X = A имеет решение в этой же группе. Действительно, достаточно положить X = exp(M/N). Но N уравнение X = A имеет единственное решение при матрицах A и X, близких к E. Отсюда следует, что 0 L0 L. Лемма теперь вытекает из того, что ind(, 0) <.

З. При L = e лемма. превращается в теорему БернN сайда: матричная группа с тождеством X = e конечна.

У.. Существует целое число N(n), такое что подгруппа G в GL(n) обладает разрешимым нормальным делителем конечного индекса, если и только если все матрицы AN(n), A G, одновременно приводятся к треугольному виду.

Д. В одну сторону утверждение. вытекает из утверждения., если положить N(n) = T(n)!. Для доказательства в другую сторону нужно применить лемму. для группы G и группы треугольных матриц L.

Аналогично доказывается следующее утверждение.

У.. Существует целое число N(n), такое что подгруппа G в GL(n) обладает диагональным нормальным делителем конечного индекса, если и только если все матрицы AN(n), A G, одновременно приводятся к диагональному виду.

Т.. Существует положительное число (n) > 0, такое что подгруппа G в GL(n), порожденная матрицами A, близкими к единичной, E - A < (n), обладает разрешимым нормальным делителем конечного индекса, если и только если все матрицы A одновременно приводятся к треугольному виду.

Д. Выберем (n) > 0 столь малым, что для уравN(n) нения X = A, E - X < (n), выполнены условия леммы..

По утверждению. все матрицы AN(n) должны приводиться к §. Теория Галуа систем уравнений типа Фукса треугольному виду. Но по лемме. инвариантные пространства матриц AN(n) и A совпадают. Поэтому матрицы A тоже приводятся к треугольному виду.

Аналогично доказывается следующее утверждение.

У.. Существует положительное число (n) > 0, такое что подгруппа G в GL(n), порожденная матрицами A, близкими к единичной, E - A < (n), обладает диагональным нормальным делителем конечного индекса, если и только если все матрицы A одновременно приводятся к диагональному виду.

З. В теореме. и в утверждении. можно ослабить требование близости матриц A к единичной. Достаточно ограничиться близостью в топологии Зарисского. Скажем, что матрица A k-резонансна, если у нее найдутся разные собственные числа 1 и k 2, связанные соотношением 1 = k2, k = 1, k = 1. Все k-резо нансные матрицы образуют алгебраическое множество, не содержащее единицы. Достаточно требовать, чтобы матрицы A не были N(n)-резонансными.





.. Явные критерии разрешимости. Перейдем к явным критериям разрешимости. Начнем с двух простых лемм.

Л.. Система типа Фукса n-го порядка k Ai = y x - ai i=с достаточно малыми коэффициентами Ai < = (n, a1,..., ak) решается в обобщенных квадратурах, если и только если ее матрицы монодромии Mi треугольны.

Д. Группа монодромии системы порождена матрицами монодромии Mi. Если матрицы-вычеты Ai малы, Ai <, то матрицы Mi будут близки к E. Выберем = (n, a1,..., ak) столь малым, чтобы для матриц монодромии M1,..., Mk выполнялись условия теоремы.. В силу этой теоремы у группы монодромии существует разрешимый нормальный делитель конечного индекса, если и только если матрицы M1,..., Mk треугольны. Теперь осталось воспользоваться теоремой..

Л.. Для системы типа Фукса треугольность и диагональность группы Галуа эквивалентны тому же условию на матрицы монодромии M1,..., Mk.

Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса Д. Группа монодромии порождена матрицами монодромии M1,..., Mk и треугольна или диагональна вместе с ними. Теперь лемма вытекает из того, что для уравнения типа Фукса группа Галуа совпадает с алгебраическим замыканием группы монодромии (см. п..).

К. По набору полюсов a1,..., ak и порядку n можно указать число (n, a1,..., ak), такое что условия разрешимости для систем n-го порядка типа Фукса k Ai = y x - ai i=с малыми коэффициентами, Ai (n, a1,..., ak), принимают явный вид. Именно, система решается ) в квадратурах или обобщенных квадратурах, если и только если матрицы Ai (в некотором базисе) треугольны;

) в интегралах и алгебраических функциях или интегралах и радикалах, если и только если матрицы Ai треугольны и их собственные числа рациональны;

) в интегралах, если и только если матрицы Ai треугольны и их собственные числа равны нулю;

) в экспонентах интегралов и в алгебраических функциях или в экспонентах интегралов, если и только если матрицы Ai диагональны;

) в алгебраических функциях или в радикалах, если и только если матрицы Ai диагональны и их собственные числа рациональны;

) в рациональных функциях, если и только если все матрицы Ai равны нулю.

Д. Выберем (n, a1,..., ak) столь малым, чтобы выполнялись условия леммы. и чтобы матрицы-вычеты выражались через матрицы монодромии (см. п..).

Каждый из видов разрешимости влечет за собой разрешимость в обобщенных квадратурах. Разрешимость в обобщенных квадратурах в наших предположениях влечет треугольность матриц монодромии (лемма.) и, следовательно, треугольность группы Галуа (лемма.). Поэтому мы находимся в рамках применимости критерия, приведенного в конце § главы. Нам нужно превратить Эти виды разрешимости различаются, если не ограничивать величины коэффициентов.

§. Теория Галуа систем уравнений типа Фукса условия на группу Галуа из этого критерия в условия на матрицывычеты Ai.

Условия на группу Галуа из критерия § главы эквивалентны тем же условиям на матрицы монодромии M1,..., Mk. Частично мы это проверили в лемме.. Остальная проверка столь же несложна.

В предположениях нашей теоремы условие принадлежности матриц монодромии M1,..., Mk некоторой алгебре с единицей, например алгебре треугольных или диагональных матриц, эквивалентно тому же условию на матрицы-вычеты A1,..., Ak (следствие из п..).

Собственные числа матрицы Mi будут корнями из единицы или единицами, если и только если собственные числа матрицы Ai – ра– циональные или целые числа (см. п..).

Теперь наш критерий вытекает из критерия § главы.

З. Незадолго до смерти Андрей Андреевич Болибрух сказал мне, что, по его мнению, в условиях критерия разрешимости требование малости матриц Ai можно ослабить. Достаточно лишь требовать, чтобы собственные числа этих матриц были малы.

.. Сильная неразрешимость уравнений. Топологическая теория Галуа позволяет усилить классические результаты о неразрешимости уравнений в явном виде.

Группа монодромии алгебраической функции совпадает с группой Галуа соответствующего расширения Галуа поля рациональных функций. Поэтому согласно теории Галуа ) алгебраическая функция представима в радикалах, если и только если ее группа монодромии разрешима; ) алгебраическая функция выражается через рациональные функции при помощи радикалов и решения алгебраических уравнений степени k, если и только если ее группа монодромии k-разрешима.

Из наших результатов (см. п.. главы ) вытекает такое следствие.

С... Если группа монодромии алгебраического уравнения над полем рациональных функций неразрешима, то его решение не принадлежит классу функций, представимых при помощи однозначных -функций и квадратур.

. Если группа монодромии алгебраического уравнения не k-разрешима, то его решение не принадлежит классу функций, представимых при помощи однозначных -функций и k-квадратур.

Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса Аналогичным образом усиливаются результаты о неразрешимости в явном виде из п..,. и..

С.. Если группа монодромии линейного дифференциального уравнения над полем рациональных функций неразрешима (не k-разрешима, не почти разрешима), то общее решение уравнения не принадлежит классу функций, представимых при помощи однозначных -функций и квадратур (k-квадратур, обобщенных квадратур).

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.