WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 35 |

.. Группа монодромии линейного дифференциального уравнения, ее связь с группой Галуа. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение y(n) + r1 y(n-1) +... + rn y = 0, () Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса где ri – рациональные функции комплексной переменной x. Полю– сы рациональных функций ri и точка называются особыми точками уравнения ().

В окрестности неособой точки x0 решения уравнения образуют n n-мерное пространство V. Возьмем теперь произвольную кривую (t) на комплексной плоскости, ведущую из точки x0 в точку x1 и не проходящую через особые точки ai. Решения уравнения будут аналитически продолжаться вдоль кривой, оставаясь при этом решениями уравнения. Поэтому каждой кривой отвечает линейное отображение M пространства решений Vxn в точке x0 в пространство решений Vxn в точке x1.

Если пошевелить кривую, не задевая при этом особых точек и оставляя закрепленными концы, то отображение M меняться не будет. Замкнутым кривым будет отвечать линейное преобразование n пространства V в себя. Совокупность всех таких линейных преобn разований пространства V образует группу, которая и называется группой монодромии уравнения (). Итак, группа монодромии уравнения – это группа линейных преобразований решений, кото– рые возникают при обходе особых точек. Группа монодромии уравнения характеризует многозначность его решений.

Л... Группа монодромии почти каждого решения уравнения () изоморфна группе монодромии этого уравнения.

. Монодромная пара каждого решения уравнения () почти нормальна.

Д. Второе утверждение леммы вытекает из п..

главы. Остановимся на доказательстве первого утверждения.

Группа монодромии уравнения () – это матричная группа, со– держащая не более чем счетное число элементов. Для каждого нетождественного элемента этой группы множество его неподвижных точек является собственным подпространством конечномерного пространства решений уравнения (). Множество решений, остающихся неподвижными, хотя бы для одного нетождественного преобразования из группы монодромии имеет нулевую меру в пространстве решений (так как объединение не более чем счетного числа собственных подпространств конечномерного пространства имеет в этом пространстве нулевую меру). Группа монодромии всех остальных решений уравнения () изоморфна группе монодромии уравнения.

§. Теория Галуа уравнений типа Фукса В окрестности неособой точки x0 существуют n линейно независимых решений y1,..., yn уравнения (). В этой окрестности можно рассмотреть поле функций y1,..., yn, полученное присоединением к полю рациональных функций всех решений yi и всех их производных.

Каждое преобразование M пространства решений из группы монодромии можно продолжить до автоморфизма всего поля функций y1,..., yn. Действительно, вместе с функциями y1,..., yn вдоль кривой будет мероморфно продолжаться каждый элемент поля y1,..., yn. Это продолжение и дает требуемый автоморфизм, так как при продолжении сохраняются арифметические операции и дифференцирование, а рациональные функции возвращаются к своему прежнему значению из-за однозначности.

Итак, группа монодромии уравнения () лежит в группе Галуа этого уравнения над полем рациональных функций.

Поле инвариантов группы монодромии – это подполе дифферен– циального поля y1,..., yn, состоящее из однозначных функций.

В отличие от алгебраических уравнений для дифференциальных уравнений поле инвариантов относительно действия группы монодромии может быть больше, чем поле рациональных функций.

Например, для дифференциального уравнения (), у которого все коэффициенты ri(x) являются полиномами, все решения – це– лые функции. Но, конечно, решения таких уравнений далеко не всегда полиномиальны. Дело здесь в том, что решения дифференциальных уравнений могут расти при подходе к особым точкам экспоненциальным образом. Известен широкий класс линейных дифференциальных уравнений, для которых такого осложнения нет, т. е. для которых решения при подходе к каждой особой точке (вдоль любого сектора с вершиной в этой точке) растут не быстрее чем степенным образом. Дифференциальные уравнения, обладающие этим свойством, называются дифференциальными уравнениями типа Фукса (см. [], []). Для дифференциальных уравнений типа Фукса справедлива следующая теорема Фробениуса.

Т.. Подполе дифференциального поля y1,..., yn, состоящее из однозначных функций, для дифференциальных уравнений типа Фукса совпадает с полем рациональных функций.

Прежде чем доказывать теорему Фробениуса, остановимся на ее непосредственных следствиях.

Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса С.. Алгебраическое замыкание группы монодромии M (т. е. наименьшая алгебраическая группа, содержащая M) уравнения типа Фукса совпадает с группой Галуа этого уравнения над полем рациональных функций.

Д. Следствие вытекает из теоремы Фробениуса и основной теоремы дифференциальной теории Галуа (см. § главы ).

Т.. Линейное дифференциальное уравнение типа Фукса решается в квадратурах, в k-квадратурах или в обобщенных квадратурах, если и только если его группа монодромии соответственно разрешима, k-разрешима или почти разрешима.

Доказательство вытекает из теоремы Пикара– (см. § гла–Вессио вы ) и предыдущего следствия.

Дифференциальная теория Галуа доказывает тем самым два результата.

. Если группа монодромии дифференциального уравнения типа Фукса разрешима (k-разрешима, почти разрешима), то это уравнение решается в квадратурах (в k-квадратурах, в обобщенных квадратурах).

. Если группа монодромии дифференциального уравнения типа Фукса неразрешима (не k-разрешима, не почти разрешима), то это уравнение не решается в квадратурах (в k-квадратурах и в обобщенных квадратурах).



Первый из этих результатов не требует основной теоремы теории Галуа и, по существу, относится к линейной алгебре. Дело в том, что группу автоморфизмов дифференциального поля R y1,..., yn, оставляющих на месте только поле рациональных функций, не нужно специально конструировать. Такой группой является группа монодромии. Поэтому для доказательства разрешимости в квадратурах и обобщенных квадратурах уравнений типа Фукса с разрешимой или с почти разрешимой группой монодромии достаточно воспользоваться линейно-алгебраическими рассуждениями из § главы. Для доказательства разрешимости в k-квадратурах уравнение типа Фукса с k-разрешимой группой монодромии этих линейно-алгебраических рассуждений недостаточно. Нужно еще воспользоваться теорией Галуа алгебраических расширений поля рациональных функций. Впрочем, теория Галуа таких расширений весьма наглядна и геометрична (см. главу ).

§. Теория Галуа уравнений типа Фукса Наша теория позволяет усилить второй (отрицательный) результат. Об этом – в пункте.. А сейчас перейдем к доказательству тео– ремы Фробениуса.

.. Доказательство теоремы Фробениуса. Мы покажем, что однозначная функция из дифференциального поля y1,..., yn мероморфна на сфере Римана и, следовательно, рациональна. Пусть p – особая точка уравнения типа Фукса и x – локальный пара– – метр около этой точки, такой что x(p) = 0. Согласно теории Фукса около точки p каждое решение y представлено в виде конечной суммы y = fk x lnk x, где fk – мероморфные функции около – точки p. Ясно, что функции, представимые в виде fk x lnk x, где функции fk мероморфны около точки p, образуют дифференциальное кольцо, содержащее поле функций, мероморфных около точки p. Нам нужно показать, что частное двух функций из этого дифференциального кольца является однозначной функцией около точки p, если и только если эта функция мероморфна. Доказательство этого факта основано на формулируемом ниже утверждении.. Нам понадобятся следующие обозначения: U(0, ) – – -окрестность точки 0 на комплексной плоскости; (0, ) – про– колотая -окрестность точки 0, (0, ) = U(0, ) \ {0}; M(0, ) и M(0, ) – поля мероморфных функций в областях U(0, ) и (0, ).

– Два мероморфных ростка fa и gb называются эквивалентными над областью U, a, b U, если росток gb получается из ростка fa при продолжении вдоль некоторой кривой, лежащей в области U.

Определим теперь кольцо Ka(0, ). Мероморфный росток fa, заданный в точке a (0, ), принадлежит кольцу Ka(0, ), если ) росток fa мероморфно продолжается вдоль всех кривых, лежащих в (0, ), ) комплексное векторное пространство, натянутое на все мероморфные ростки в точке a, эквивалентные над окрестностью (0, ) ростку fa, конечномерно.

Кольцо Ka(0, ) содержит поле M(0, ) и является векторным пространством над ним.

У. ( ). При любом выборе ветвей функ ций ln x и x, [Re ] = 0, ростки xa lnk x, k =0, 1,..., образуют базис a пространства Ka(0, ) над полем M(0, ).

Сначала докажем лемму.

Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса Л.. Ростки 1, lna x,..., lnk x,... линейно независимы над a полем M(0, ).

Д. Действительно, существование нетривиаль ного соотношения ak lnk x = 0, ak M(0, ), влечет за собой коa нечнозначность функции ln x в окрестности нуля.

Доказательство утверждения основывается на рассмотрении оператора монодромии A: Ka(0, ) Ka(0, ), который сопоставляет каждому ростку его продолжение вдоль замкнутой кривой, обходящей точку 0.

Л.. Ростки xa lnk x, [Re ] = 0, k = 0,..., n - 1, образуют a базис в пространстве ker(A -E)n, где и связаны соотношением = e2i.

Д. Заметим, что пространство ker(A - E) не более чем одномерно. Действительно, если Afa = fa и Aga = ga, то A( fa/ga) = fa/ga. Следовательно, росток a = fa/ga является ростком некоторой функции из поля M(0, ) и fa =ga. Поэтому пространство ker(A - E)n имеет размерность не выше чем n. С другой сторо ны, легко проверить, что в этом пространстве лежат ростки xa lnk x, a [Re ] = 0, k = 0,..., n - 1. Согласно лемме. эти ростки линейно независимы и поэтому образуют базис пространства ker(A - E)n.

Пространства ker(A - E)n при разных имеют нулевое пересе чение. Поэтому все ростки xa lnk x линейно независимы. Покажем, a что всякий росток fa из пространства Ka(0, ) можно разложить по этим функциям. По определению росток fa лежит в некотором конечномерном пространстве V, инвариантном относительно оператора монодромии. Пусть – ограничение оператора A на простран– ство V. Согласно линейной алгебре пространство V раскладывается в прямую сумму подпространств ker( - E)n, где – собственное – значение оператора и n – его кратность. Из леммы. вытека– ет, что всякий элемент пространства V раскладывается по векторам xa lnk x.

a З. Выбор разных ветвей функций ln x и x приводит к разным базисам пространства Ka(0, ). Коэффициенты разложения векторов из таких базисов по другому базису являются комплексными числами.

О.. Мероморфный росток fa, a (0, ), имеет над окрестностью (0, ) целую фуксову особенность, если fa Ka(0, ) и коэффициенты разложения ростка fa по базису xa lnk x мероморфa §. Теория Галуа уравнений типа Фукса ны, т. е. если fa = f,k lnk x · xa, где f,k M(0, ).

a. Мероморфный росток fa, a (0, ), имеет над окрестностью (0, ) фуксову особенность, если он представ в виде частного им двух ростков a, ga, имеющих над (0, ) целую фуксову особенность, fa = a/ga.

С.. Росток fa Ka(0, ) имеет фуксову особенность над окрестностью (0, ), если и только если он имеет целую фуксову особенность над этой окрестностью.





Д. Росток fa принадлежит Ka(0, ), следователь но, fa = r,k xa lnk x, где r,k M(0, ) – коэффициенты разложения – a ростка fa по базису. Росток fa имеет также фуксову особенность, поэтому справедливо равенство p,k xa lnk x a - r,k xa lnk x = 0, a q,k xa lnk x a где p,k, q,k – некоторые элементы поля M(0, ). Умножим равен– ство на q,k xa lnk x, раскроем скобки и приведем, если надо, a ростки x lnk x к виду xn · x lnk x, где n – целое и [Re ] = 0. Так – a a a a как ростки xa lnk x линейно независимы над полем M(0, ), то a равенство эквивалентно системе уравнений, полученной приравниванием к нулю коэффициентов при этих функциях. Полученная система представляет собой систему линейных уравнений относительно функций r,k с коэффициентами из поля M(0, ). Система имеет единственное решение, так как функции r,k определены однозначно. Следовательно, функции r,k лежат в поле M(0, ).

С.. Если росток fa мероморфной в окрестности (0, ) функции f имеет над этой окрестностью фуксову особенность, то функция f мероморфна в окрестности (0, ).

Д. Росток fa принадлежит Ka(0, ), и его разложение по базису имеет вид fa = f · 1. Согласно следствию росток fa имеет целую фуксову особенность, и поэтому f M(0, ).

Следствие. завершает доказательство теоремы Фробениуса.

.. Группа монодромии систем линейных дифференциальных уравнений, ее связь с группой Галуа. Результаты из п..

автоматически переносятся на системы линейных дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками.

Глава. Разрешимость уравнений типа Фукса Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение y = A(x)y, () где y = y1(x),..., yn(x), A(x) = ai, j(x), 1 i, j n, – матрица рацио– нальных функций и x – комплексная переменная. Пусть a1,..., ak – – – полюсы матрицы A(x). В окрестности неособой точки x0, x0 =, x0 = ai, i = 1,..., k, решения уравнения образуют n-мерное простран n ство V. Возьмем теперь произвольную кривую (t) на комплексной плоскости, ведущую из точки x0 в точку x1 и не проходящую через особые точки ai, (0)= x0, (1)= x1, (t)= ai. Решения уравнения бу дут аналитически продолжаться вдоль кривой, оставаясь при этом решениями уравнения. Поэтому каждой кривой отвечает линейное отображение M пространства решений Vxn в точке x0 в пространство решений Vxn в точке x1.

Если пошевелить кривую, не задевая при этом особых точек и оставляя закрепленными концы, то отображение M меняться не будет. Замкнутым кривым будет отвечать линейное преобразование n пространства V в себя. Совокупность всех таких линейных преобn разований пространства V образует группу, которая и называется группой монодромии уравнения (). Итак, группа монодромии уравнения – это группа линейных преобразований решений, кото– рые возникают при обходе особых точек. Группа монодромии уравнения характеризует многозначность его решений.

Л... Группа монодромии почти каждого решения системы () совпадает с группой монодромии системы ().

. Монодромная пара каждой компоненты каждого решения системы () почти нормальна.

. Если группа монодромии системы () не лежит в некотором полном классе пар групп, то монодромная пара одной из компонент почти каждого решения этой системы не лежит в.

Д. Первые два утверждения леммы доказываются так же, как лемма.. Третье утверждение вытекает из первого и из леммы. главы.

В окрестности неособой точки x0 существуют все решения y1,...

..., yn уравнения (). В этой окрестности можно рассмотреть дифференциальное поле функций Ry1,..., yn, полученное присоединением к полю рациональных функций R всех компонент yi,1,..., yi,n eвсех решений yi и всех их производных yi(p).

, j §. Теория Галуа уравнений типа Фукса Каждое преобразование M пространства решений из группы монодромии можно продолжить до автоморфизма всего дифференциального поля y1,..., yn над полем R. Действительно, вместе с вектор-функциями y1,..., yn вдоль кривой будет мероморфно продолжаться каждый элемент поля y1,..., yn. Это продолжение и дает требуемый автоморфизм, так как при продолжении сохраняются арифметические операции и дифференцирование, а рациональные функции возвращаются к своему прежнему значению из-за однозначности.

Особая точка уравнения () называется регулярной, если в любом секторе с вершиной в особой точке все решения при подходе к этой точке растут не быстрее чем степенным образом (см. [], []).

Известно, что около регулярной особой точки каждая компонента каждого решения имеет целую фуксову особенность (см. определение из п..). Уравнение () называется регулярным, если все его особые точки (включая ) регулярны. Для регулярного уравнения () все однозначные функции из поля y1,..., yn являются рациональными функциями.

Т.. Для регулярной системы линейных дифференциальных уравнений () дифференциальное поле y1,..., yn является расширением Пикара– поля R. Группа Галуа этого расшире–Вессио ния является алгебраическим замыканием группы монодромии системы уравнений ().

Д. На дифференциальном поле y1,..., yn группа монодромии действует как группа изоморфизмов с полем инвариантов R. Поле y1,..., yn порождено над R конечномерным -линейным пространством, инвариантным относительно действия монодромии, а именно линейным пространством, натянутым на все компоненты всех решений уравнения (). Теперь теорема вытекает из следствия. главы.

Т.. Каждая компонента каждого решения регулярной системы линейных дифференциальных уравнений выражается в квадратурах, в k-квадратурах и в обобщенных квадратурах, если и только если группа монодромии системы, соответственно, разрешима, k-разрешима или почти разрешима.

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.