WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 35 |

... m 0, такая что для любого i, 1 i m - 1, пара групп [i, i+1] содержится в некотором почти полном классе (i).

Для доказательства достаточно проверить, что пары групп [, 0], удовлетворяющие условию утверждения, во-первых, содержатся в полном классе и, во-вторых, образуют полный класс пар. И то и другое непосредственно выводится из определений.

Просто проверить также следующие утверждения.

У.. Совокупность пар групп [, 0], где 0 есть нормальный делитель группы и группа /0 коммутативна, образует наименьший почти полный класс пар, содержащий класс всех абелевых групп.

У.. Совокупность пар групп [, 0], где 0 есть нормальный делитель группы и группа /0 конечна, образует §. Групповые препятствия наименьший почти полный класс пар, содержащий класс всех конечных групп.

У.. Совокупность пар групп [, 0], для которых ind(, 0) k, образует почти полный класс групп.

Будем обозначать через ind k класс пар групп из утверждения.. Утверждение. интересно для нас в связи с характеристическим свойством подгрупп группы S(k) из леммы..

Цепочка подгрупп i, i = 1,..., m, = 1... m 0, называется нормальной башней пары групп [, 0], если группа i+1 является нормальным делителем группы i при каждом i = 1,..., m - 1. Совокупность факторгрупп i/i+1 называется совокупностью делителей относительно нормальной башни.

Т. (,,, S(k) ).

. Пара групп [, 0] принадлежит наименьшему полному классу,, содержащему все конечные и коммутативные группы, если и только если она обладает нормальной башней, каждый делитель относительно которой является или конечной, или коммутативной группой.

. Пара групп [, 0] принадлежит наименьшему полному классу, S(k), содержащему группу S(k) и все коммутативные группы, если и только если она обладает нормальной башней, каждый делитель относительно которой является или подгруппой группы S(k), или коммутативной группой.

. Пара групп [, 0] принадлежит наименьшему классу, если и только если группа монодромии этой пары разрешима.

Д. Пункт теоремы вытекает из описания классов и в утверждениях. и. и из утверждения..

Для доказательства второго пункта рассмотрим наименьший полный класс пар групп, содержащий классы и ind k.

Этот класс состоит из пар групп [, 0], для которых существует цепочка подгрупп = 1... m 0, такая что для любого i, 1 i m-1, либо группа i/i+1 коммутативна, либо ind(i, i+1) k (см. утверждения.,. и утверждение.). Описанный класс пар групп содержит группу S(k) (см. лемму.) и все коммутативные группы и является, очевидно, наименьшим полным классом пар, обладающим этими свойствами. Нам осталось переформулировать ответ. Цепочку подгрупп = 1... m 0 последовательно преобразуем в нормальную башню пары [, 0]. Пусть при j < i группа Глава. Одномерная топологическая теория Галуа j+1 является нормальным делителем группы j и ind(i, i+1) k.

Обозначим через i+1 наибольший нормальный делитель группы i, содержащийся в i+1. Ясно, что факторгруппа i/ является i+подгруппой группы S(k). Вместо исходной цепочки подгрупп рассмотрим цепочку = G1... Gm = 0, в которой Gj = j при j i и Gj = j i+1 при j > i. Продолжая этот процесс (не более чем m раз), мы перейдем от исходной цепочки подгрупп к нормальной башне и получим описание класса, S(k) в нужных терминах.

Докажем пункт. Согласно утверждениям. и. пара групп [, 0] принадлежит классу, если и только если существует такая цепочка = 1... m 0, что i/i+1 – коммутативная – группа. Рассмотрим цепочку групп = G1... Gm, в которой группа Gi+1 при i = 1,..., m - 1 есть коммутант группы Gi. Всякий автоморфизм группы переводит цепочку групп Gi в себя, поэтому каждая группа Gi является нормальным делителем группы.

Индукция по i показывает, что Gi i и, в частности, Gm m 0.

Группа Gm является нормальным делителем группы, и так как Gm 0, то Gm µ0µ-1. В силу определения цепочки Gi группа µ /Gm разрешима. Группа / µ0µ-1 разрешима как факторгрупµ па группы /Gm. Обратное утверждение (пара групп с разрешимой группой монодромии лежит в классе ) очевидно.

У.. Каждая не более чем континуальная коммутативная группа принадлежит классу.

Д. Комплексные числа образуют векторное пространство над рациональными числами континуальной размерности. Пусть {e} – некоторый базис этого пространства. Подгруппа – группы, натянутая на числа {e}, является свободной абелевой группой с континуальным числом образующих. Всякая не более чем континуальная коммутативная группа есть факторгруппа группы, и, следовательно,.

Из утверждения. и результатов вычисления классов,,, S(k) и следует, что пара групп [, 0] с не более чем континуальной группой принадлежит классу,,, S(k) и, если и только если она принадлежит соответственно классу,,, S(k) и.

Мы вправе ограничиться этим результатом, так как группа перестановок листов функции не более чем континуальна.

§. Групповые препятствия Л.. Свободная некоммутативная группа не лежит в классе,.

Д. Предположим, что,, т. е. обладает нормальной башней = 1... m = e, каждый делитель относительно которой есть конечная или коммутативная группа.

Каждая группа i свободна как подгруппа свободной группы (см.

[]). Группа m = e коммутативна. Пусть i+1 – первая по номеру – коммутативная группа. Для любых элементов a, b i существует нетривиальное соотношение: если факторгруппа i/i+1 коммутативна, то коммутируют, например, элементы aba-1b-1 и ab2a-1b-2;

если i/i+1 конечна, то коммутируют некоторые степени ap, bp элементов a, b. Следовательно, группа i имеет не более одной образующей и поэтому коммутативна. Противоречие доказывает, что,.



/ Л.. При k > 4 симметрическая группа S(k) не лежит в классе, S(k - 1).

Д. При k > 4 знакопеременная группа A(n) проста и некоммутативна. Для этой группы, очевидно, не выполняется критерий принадлежности классу, S(k - 1). Следовательно, и симметрическая группа S(n) при k > 4 не лежит в классе, S(k - 1).

Л.. Единственной транзитивной группой перестановок k элементов, натянутой на транспозиции, является симметрическая группа S(k).

Д. Пусть группа есть транзитивная группа перестановок множества M из n элементов, натянутая на транспозиции. Подмножество M0 M назовем полным, если всякая его перестановка продолжается до некоторой перестановки множества M из группы. Полные подмножества существуют. Например, два элемента множества M, переставляемые базисной транспозицией, образуют полное подмножество. Возьмем наибольшее по числу элементов полное подмножество M0. Предположим, что M0 = M. Так как группа транзитивна, то существует базисная транспозиция µ, переставляющая некоторый элемент a M0 с некоторым элементом / b M0. Группа перестановок, порожденная транспозицией µ и группой S(M0), есть группа S(M0 {a}). Множество M0 {a} является полным и содержит множество M0. Полученное противоречие доказывает, что группа есть группа S(M).

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа.. Необходимые условия представимости функций в квадратурах, k-квадратурах и обобщенных квадратурах. Основная теорема (см. § ) и вычисление классов пар групп доставляют топологические препятствия к представимости функций в обобщенных квадратурах, в k-квадратурах и в квадратурах. В этом пункте мы соберем вместе полученную информацию. Начнем с определения класса функций, представимых при помощи однозначных -функций и квадратур (k-квадратур, обобщенных квадратур). Как и в п.. введения, мы определим эти классы, задав списки основных функций и допустимых операций.

Функции, представимые при помощи однозначных -функций и квадратур.

Список основных функций: однозначные -функции.

Список допустимых операций: суперпозиции, мероморфные операции, дифференцирование, интегрирование.

Функции, представимые при помощи однозначных -функций и k-квадратур. Этот класс функций определяется в точности так же. Нужно лишь к списку допустимых операций добавить операцию решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Функции, представимые при помощи однозначных -функций и обобщенных квадратур. Этот класс функций определяется в точности так же. Нужно лишь к списку допустимых операций добавить операцию решения алгебраических уравнений.

Из определения видно, что класс функций, представимых с помощью однозначных -функций и квадратур (k-квадратур, обобщенных квадратур), содержит класс функций, представимых в квадратурах (k-квадратурах, обобщенных квадратурах). Ясно, что только что определенные классы функций несравненно шире, чем их лиувиллевские аналоги. Поэтому, скажем, утверждение о непринадлежности функции f классу функций, представимых с помощью однозначных -функций и квадратур, значительно сильнее, чем утверждение о непредставимости f в квадратурах.

У.. Класс функций, представимых с помощью однозначных -функций и квадратур (k-квадратур, обобщенных квадратур), лежит в классе -функций.

Это утверждение немедленно вытекает из теоремы о замкнутости класса -функций (см. п..).

§. Групповые препятствия Р. Замкнутая монодромная пара [ f ] функции f, представимой в обобщенных квадратурах, обладает нормальной башней, каждый делитель относительно которой есть или конечная, или коммутативная группа. Более того, этому условию удовлетворяет замкнутая монодромная пара [ f ] всякой функции f, представимой при помощи однозначных -функций и обобщенных квадратур. Если дополнительно известно, что функция f почти нормальна, то указанному условию удовлетворяет и группа монодромии функции [ f ].

Р k-. Замкнутая монодромная пара [ f ] функции f, представимой в k-квадратурах, обладает нормальной башней, каждый делитель относительно которой есть или подгруппа группы S(k), или коммутативная группа. Более того, этому условию удовлетворяет замкнутая монодромная пара [ f ] всякой функции f, представимой при помощи однозначных -функций и k-квадратур. Если дополнительно известно, что функция f почти нормальна, то указанному условию удовлетворяет и группа монодромии функции [ f ].

Р. Замкнутая группа монодромии функции f, представимой в квадратурах, разрешима. Более того, разрешима замкнутая группа монодромии всякой функции f, представимой при помощи однозначных -функций и квадратур.

Для доказательства этих результатов достаточно применить осно вную теорему к классам -функций,,, S(k) и и воспользоваться вычислением классов,,, S(k) и.

Приведем теперь примеры функций, не представимых в обобщенных квадратурах. Пусть риманова поверхность функции f является универсальной накрывающей над областью S2 \ A, где S2 – – сфера Римана и A – конечное множество, содержащее не меньше – трех точек. Тогда функция f не выражается при помощи однозначных -функций и обобщенных квадратур. Действительно, функция f является почти нормальной функцией. Замкнутая группа монодромии функции f свободна и некоммутативна, так как свободна и некоммутативна фундаментальная группа области S2 \ A.

П. Рассмотрим функцию f, конформно отображающую верхнюю полуплоскость на треугольник с нулевыми углами, ограниченный дугами окружностей. Функция f обратна к модулярной Глава. Одномерная топологическая теория Галуа функции Пикара. Риманова поверхность функции f является универсальной накрывающей над сферой без трех точек, поэтому функция f не выражается при помощи однозначных -функций и обобщенных квадратур.





Функция f тесно связана с эллиптическими интегралами 1 1/k dx dx K1(k) = и K2(k) =.

(1 - x2)(1 - k2x2) (1 - x2)(1 - k2x2) 0 Каждые две из функций K1, K2 и f взаимно выражаются друг через друга при помощи квадратур (см. []). Поэтому каждый из интегралов K1 и K2 не выражается при помощи однозначных -функций и обобщенных квадратур.

Пример допускает существенное обобщение: в § главы перечислены все многоугольники, ограниченные дугами окружностей, на которые можно отобразить верхнюю полуплоскость функцией, представимой в обобщенных квадратурах.

П. Пусть f – k-значная алгебраическая функция с не– кратными точками ветвления, расположенными в разных точках сферы Римана. При k > 4 функция f не выражается при помощи однозначных -функций и (k - 1)-квадратур, суперпозиций и мероморфных операций. В частности, функция f не представима в (k - 1)-квадратурах.

Действительно, при обходе некратной точки ветвления функции f происходит транспозиция в множестве листов этой функции.

Группа монодромии функции f является транзитивной группой перестановок, натянутой на транспозиции, т. е. группой S(k). При k > 4 группа S(k) не лежит в классе, S(k - 1).

В главе топологические результаты о непредставимости функций в квадратурах (k-квадратурах и обобщенных квадратурах) обобщены на случай функций многих комплексных переменных.

§ 8. В § рассматривались -функции, т. е. многозначные аналитические функции комплексного переменного, множества особых точек которых не более чем счетны. Пусть – класс всех не более чем – §. Обобщение основной теоремы счетных подмножеств сферы Римана S2. Перечислим свойства класса, которыми мы существенно пользовались:

) если A, то множество S2 \ A всюду плотно и локально линейно связно;

) существует непустое множество A, такое что A ;

) если A и B A, то B ;

) если Ai, i = 1, 2,..., то Ai ;

) пусть U1 и U2 – открытые подмножества сферы и f : U1 U2 – – – обратимое аналитическое отображение, тогда если A U1 и A, то f (A).

Полным классом множеств будем называть всякое множество подмножеств сферы Римана, удовлетворяющее свойствам –. Многозначную аналитическую функцию будем называть Q-функцией, если множество ее особых точек лежит в некотором полном классе множеств Q. На Q-функции переносятся все определения и теоремы из §. Так, например, справедлив следующий В. Для всякого полного класса множеств Q и полного класса пар класс, состоящий из всех Q-функций f, для которых [ f ], замкнут относительно дифференцирования, суперпозиций и мероморфных операций. Если дополнительно ), то класс Q-функций замкнут относительно интегрирования, ) S(k), то класс Q-функций замкнут относительно решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Приведем пример полного класса множеств. Пусть X – множе– ство всех подмножеств сферы Римана, имеющих нулевую меру по Хаусдорфу веса. Несложно показать, что при 1 множество X образует полный класс подмножеств сферы.

Отметим, что новая формулировка основной теоремы позволяет усилить все отрицательные результаты. Остановимся, например, на результате о непредставимости функций в квадратурах. (Результаты о непредставимости в k-квадратурах и в обобщенных квадратурах обобщаются точно так же.) Определим следующий класс функций.

Функции, представимые при помощи однозначных X1-функций и квадратур.

Список основных функций: однозначные X1-функции.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Список допустимых операций: суперпозиции, мероморфные операции, дифференцирование, интегрирование.

Согласно новой формулировке основной теоремы -функция, имеющая неразрешимую группу монодромии, не только не представима в квадратурах, но и не представима при помощи однозначных X1-функций и квадратур.

С. Если для многоугольника G, ограниченного дугами окружностей, не выполнены условия ни одного из трех случаев интегрируемости (см. § главы ), то функцию fG нельзя выразить через однозначные X1-функции при помощи обобщенных квадратур, суперпозиций и мероморфных операций.

Гл а в а РА ЗР Е Ш ИМ О СТЬ В КВА Д РАТ У РА Х Л ИН Е Й НЫ Х Д ИФФЕ Р Е НЦ ИА Л ЬН Ы Х У РА В НЕ Н ИЙ Т И П А ФУ КС А И ТО П ОЛ О ГИЧ Е СКАЯ Т Е О Р ИЯ ГА Л УА В этой главе описывается «разрешительная» часть топологической теории Галуа. Она основана на следующих классических результатах: на простой линейно-алгебраической части теории Пикара– – Вессио и на теореме Фробениуса (см. теорему.). Для доказательства разрешимости в k-квадратурах уравнения типа Фукса, имеющего k-разрешимую группу монодромии, приходится использовать также обычную теорию Галуа.

В § строятся решения линейных дифференциальных уравнений типа Фукса с разрешимой (почти разрешимой, k-разрешимой) группой монодромии. В § приводятся явные критерии для различных видов разрешимости систем линейных дифференциальных уравнений типа Фукса с достаточно маленькими коэффициентами. При построении решений используется теория Лаппо-Данилевского. В § классифицируются многоугольники G, ограниченные дугами окружностей, для которых функция fG, задающая отображение Римана верхней полуплоскости на многоугольник G, представима в явном виде.

§ 1. – – В этом параграфе показывается, что топология расположения над комплексной плоскостью римановой поверхности общего решения линейного дифференциального уравнения типа Фукса отвечает за разрешимость уравнения в явном виде.

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.