WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 35 |

Итак, каждой кривой соответствует отображение множества Fa в себя, причем гомотопным в S2 \ A кривым отвечают одинаковые отображения. Произведению кривых отвечает произведение отображений. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы множества S2 \ A в группу S(Fa) взаимно однозначных преобразований множества Fa. Этот гомоморфизм будем называть гомоморфизмом A-монодромии. Группой монодромии -функции f с запрещенным множеством A или, короче, группой A-монодромии называется образ фундаментальной группы 1(S2 \ A, a) в группе S(Fa) при гомоморфизме.

У... Группа A-монодромии -функции не зависит от выбора точки a.

. Группа A-монодромии -функции f транзитивно действует на листах функции f.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Оба утверждения просто доказываются при помощи леммы..

Остановимся, например, на доказательстве второго из них.

Д. Пусть f1a и f2a – некоторые ростки функции f – в точке a. Так как ростки f1a и f2a эквивалентны, то существует кривая, при продолжении вдоль которой ростка f1a получается росток f2a. Согласно лемме. существует сколь угодно близкая кривая, не пересекающая множество A. Если кривая достаточно близка к кривой, то соответствующая ей перестановка листов переводит росток f1a в росток f2a.

.. Замкнутая группа монодромии. Зависимость группы A-монодромии от выбора множества A заставляет ввести тихоновскую топологию в группе перестановок листов. Оказывается, что замыкание группы A-монодромии уже не зависит от множества A.

Группу S(M) взаимно однозначных преобразований множества M мы будем рассматривать вместе со следующей топологией. Для каждого конечного множества L M определим окрестность UL тождественного преобразования как совокупность преобразований p, таких что p(l) = l при l L. Базис окрестностей тождественного преобразования определяется как множество окрестностей вида UL, где L пробегает все конечные подмножества в M.

Л. ( ). Замыкание группы монодромии -функции f с запрещенным множеством A в группе S(F) всех перестановок листов функции f не зависит от выбора запрещенного множества A.

Д. Пусть A1 и A2 – два запрещенных множества – функции f и Fa – совокупность листов функции f в точке a, не при– надлежащей множеству A1 A2. Пусть 1, 2 S(Fa) – группы моно– дромии функции f с этими запрещенными множествами. Достаточно показать, что для каждой перестановки µ1 1 и для каждого конечного множества L Fa существует перестановка µ2 2, такая что µ1|L = µ2|L. Пусть кривая 1(S2 \ A1, a) задает перестановку µ1. Так как множество L конечно, всякая кривая 1(S2 \ A1, a), достаточно близкая к кривой, задает перестановку µ1, совпадаю щую с перестановкой µ1 на множестве L, µ1|L = µ1|L. По лемме из п.. такую кривую можно выбрать так, чтобы она не пересекала множества A2. Перестановка µ1 в этом случае будет лежать в груп пе 2.

§. Группа монодромии Лемма делает корректным следующее определение: замкнутой группой монодромии -функции f называется замыкание в группе S(F) группы монодромии функции с некоторым запрещенным множеством A.

.. Транзитивное действие группы на множестве и монодромная пара -функции. Группа монодромии функции f – это – не просто абстрактная группа, но транзитивная группа перестановок листов этой функции. В этом пункте напоминается алгебраическое описание транзитивных действий группы на множествах.

Действием группы на множестве M называется гомоморфизм группы в группу S(M). Два действия 1 : S(M1) и 2 :

S(M2) называются эквивалентными, если существует такое взаимно однозначное отображение q: M1 M2, что q 1 = 2, где q: S(M1) S(M2) – изоморфизм, индуцированный отображением q.

– Стационарной подгруппой a точки a M при действии называется подгруппа, состоящая из всех элементов µ, таких что µ(a) = a. Действие называется транзитивным, если для любых точек a, b M существует µ, такое что µ(a) = b. Очевидно следующее утверждение.

У... Действие группы транзитивно, если и только если стационарные подгруппы любых двух точек a, b M сопряжены. Образ группы при транзитивном действии изоморфен факторгруппе / µaµ-1.

µ. Существует и при этом единственно с точностью до эквивалентности транзитивное действие группы с фиксированной стационарной подгруппой некоторой точки.

Итак, транзитивные действия группы описываются парами групп. Пару групп [, a], где a – стационарная подгруппа некото– рой точки a при транзитивном действии группы, будем называть монодромной парой точки a относительно действия. Группу () / µaµ-1 будем называть группой монодромии пары µ [, a].

Гомоморфизм A-монодромии задает транзитивное действие фундаментальной группы 1(S2 \ A) в множестве Fa листов функции f в точке a.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Монодромную пару ростка fa относительно действия будем называть монодромной парой ростка fa с запрещенным множеством A.

Монодромную пару ростка fa при действии замкнутой группой монодромии будем называть замкнутой монодромной парой ростка fa. У разных ростков -функции f монодромные пары с запрещенным множеством A изоморфны, поэтому имеет смысл говорить о монодромной паре с запрещенным множеством A и замкнутой монодромной паре -функции f. Замкнутую монодромную пару -функции f будем обозначать [ f ].

.. Почти нормальные функции. Пару групп [, 0], 0, будем называть почти нормальной парой, если существует конечное множество P, такое что µ0µ-1 = µ0µ-1.

µ µP Л. ( ). Образ () группы при транзитивном действии : S(M) является дискретной подгруппой в S(M), если и только если монодромная пара [, 0] некоторого элемента x0 M почти нормальна.



Д. Пусть группа () дискретна. Обозначим через P такое конечное подмножество множества M, что окрестность тождественного преобразования UP не содержит преобразо ваний группы (), отличных от тождественного. Это означает, что пересечению x стационарных подгрупп точек x P отвечает xP тривиальное действие на множестве M, т. е. x µ0µ-1.

µ xP Группы x сопряжены группе 0, поэтому можно выбрать такое конечное множество P, что µ0µ-1 = µ0µ-1. Обратное µP µ утверждение доказывается аналогично.

Будем называть -функцию f почти нормальной, если ее группа монодромии дискретна. Из леммы вытекает, что функция f почти нормальна, если и только если почти нормальна ее замкнутая монодромная пара [ f ].

Дифференциальной рациональной функцией от нескольких функций называется рациональная функция от этих функций и их производных.

§. Группа монодромии Л. ( ). Пусть каждый росток -функции f в точке a является дифференциальной рациональной функцией от конечного числа фиксированных ростков функции f в точке a. Тогда функция f почти нормальна.

Действительно, если при продолжении вдоль замкнутой кривой не изменяются фиксированные ростки функции, то не меняются и дифференциальные рациональные функции от них.

Из леммы о конечно порожденных функциях вытекает, что любое решение линейного дифференциального уравнения с рациональными коэффициентами является почти нормальной функцией. То же самое верно и для многих других функций, естественно встречающихся в дифференциальной алгебре.

.. Классы пар групп. В § мы опишем, как изменяются замкнутые монодромные пары функций при суперпозициях, интегрированиях, дифференцированиях и т. д. Для этого нам понадобится ввести некоторые понятия, связанные с парами групп.

Парой групп мы всегда будем называть пару, состоящую из группы и некоторой ее подгруппы. Будем отождествлять группу с парой групп, состоящей из этой группы и ее единичной подгруппы.

О. Совокупность пар групп будем называть почти полным классом пар групп, если ) для каждой пары групп [, 0], 0, и любого гомоморфизма : G, где G – некоторая группа, пара групп [, 0] так– же содержится в, ) для каждой пары групп [, 0], 0, и любого гомоморфизма : G, где G – некоторая группа, пара групп [-1, -10] – также содержится в, ) для каждой пары групп [, 0], 0, и группы G, наделенной T2-топологией и содержащей группу, G, пара групп [ также содержится в, где, 0 – замыкания групп, 0 в, 0] – группе G.

О. Почти полный класс пар групп будем называть полным классом пар групп, если ) для каждой пары групп [, 0] и группы 1, 0 1, пара групп [, 1] также содержится в, ) для каждых двух пар групп [, 1], [1, 2] пара групп [, 2] также содержится в.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Минимальные почти полный и полный классы пар групп, содержащие фиксированное множество пар групп, будем обозначать соответственно и.

Л... Если группа монодромии пары [, 0] содержится в некотором полном классе пар, то пара [, 0] также содержится в.

. Если почти нормальная пара [, 0] содержится в некотором полном классе пар, то ее группа монодромии также содержится в.

Остановимся на доказательстве второго утверждения. Пусть i, i = 1,..., n, – конечное число подгрупп, сопряженных с 0, таких – n что i = µ0µ-1. Пары [, i] изоморфны паре [, 0], поэтоi=1 µ му [, i]. Пусть : 2 – гомоморфизм вложения, тогда – -1(1) = 2 1, поэтому [2, 2 1]. Класс содержит пары [, 2] и [2, 2 1], следовательно, [, 1 2].

Продолжая n это рассуждение, получим, что класс содержит пару, i и i= вместе с ней группу / µ0µ-1.

µ У. ( [ f ]). Почти полный класс пар содержит замкнутую монодромную пару [ f ] -функции f, если и только если этот класс содержит монодромную пару функции f с запрещенным множеством A.

Д. Пусть [, 0] – монодромная пара функции f – с запрещенным множеством A. Тогда [ f ] = [ Поэтому всякий, 0].

почти полный класс, содержащий пару [, 0], содержит и пару [ f ]. Обратно, если [ 0] содержится в классе, то и [, 0].

, Действительно, топология в группе перестановок устроена таким образом, что 0 = 0. Поэтому пара [, 0] является прообразом пары [ 0] при вложении группы в ее замыкание.

, § 6. Здесь формулируется и доказывается основная теорема топологической теории Галуа.

О.. Класс -функций, состоящий из -функций, замкнутые монодромные пары которых лежит в неко §. Основная теорема тором полном классе пар, замкнут относительно дифференцирования, суперпозиций и мероморфных операций. Если, кроме того, класс содержит ) группу комплексных чисел по сложению, то класс замкнут относительно интегрирования, ) группу S(k) перестановок k элементов, то класс замкнут относительно решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Доказательство основной теоремы состоит из следующих лемм.

Л. ( ). Для всякой -функции f спра ведливо включение [ f ] [ f ].

Д. Пусть A – множество особых точек -функ– ции f и fa – росток функции f в неособой точке a. Обозначим через – фундаментальную группу 1(S2 \ A, a), а через 1 и 2 – стацио– нарные группы ростков fa и fa. Группа 1 содержится в группе 2.

Действительно, при продолжении вдоль кривой 1 не изменяется росток fa, а значит, не меняется и его производная. Из определения полного класса пар следует, что [, 2] [, 1]. Воспользовав шись утверждением., получим, что [ f ] [ f ].

Л. ( ). Для всяких -функций f и g справедливо включение [g f ] [ f ], [g].

Д. Пусть A и B – множества особых точек функ– -ций f и g. Пусть f (B) – прообраз множества B при многозначном – соответствии, порожденном многозначной функцией f. Положим -Q = A f (B). Пусть fa – некоторый росток функции f в точке a Q – / и gb – некоторый росток функции g в точке b = f (a). Множество Q – будет запрещенным для ростка gb fa. Обозначим через фундаментальную группу 1(S2 \ Q, a), через 1 и 2 – стационарные подгруп– пы ростков fa и gb fa. Обозначим через G фундаментальную группу 1(S2 \ B, b), а через G0 – стационарную группу ростка gb.





– Определим гомоморфизм : 1 G. Каждой кривой 1 поставим в соответствие кривую (t) = f ((t)), где f(t) – росток, полу– ченный при продолжении ростка fa вдоль кривой до точки t. Кривые будут замкнуты, так как при продолжении вдоль кривых из 1 росток fa не изменяется. При гомотопии кривой в множестве S2 \ Q будет происходить гомотопия кривой в множестве -S2 \ B, так как f (B) Q. Следовательно, гомоморфизм определен корректно.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Росток gb fa не будет меняться при продолжении вдоль кривых из группы -1(G0), или, другими словами, -1(G0) 2. Отсюда и вытекает лемма. Действительно, мы получаем включения 2 -1(G0) -1(G) = 1, из которых следует, что [, 2] [G, G0], [, 1]. Воспользовавшись утверждением., получим, что [g f ] [ f ], [g].

Л. ( ). Для всякой -функции f справед ливо включение f (x) dx [ f ],, где – группа комплексных – чисел по сложению.

Д. Пусть A – множество особых точек функции – f и Q = A{}. Пусть fa – некоторый росток функции f в точке aQ – / и ga – росток функции f (x) dx в этой точке, ga = fa. В качестве – запрещенного множества для ростков fa и ga можно взять множество Q. Обозначим через фундаментальную группу 1(S2 \ Q, a), через 1 и 2 – стационарные подгруппы ростков fa и ga.

– Определим гомоморфизм : 1. Каждой кривой 1 поста вим в соответствие число f ((t)) dx, где f(t) – росток, получен– ный продолжением ростка fa вдоль кривой до точки t, и x = (t).

Стационарная подгруппа 2 ростка ga совпадает с ядром гомоморфизма, откуда следует, что [, 2] 1],. Воспользовав [, шись утверждением., получим, что f (x) dx [ f ],.

В дальнейшем будет удобно пользоваться векторными функциями. На векторные функции непосредственно переносятся определения запрещенного множества, -функции, группы монодромии.

Л. ( ). Для всякой векторной -функции f = ( f1,..., fn) справедливо равенство [ f] = [ f1],..., [ fn].

Д. Пусть Ai – множества особых точек функ– ций fi. Множеством особых точек векторной функции f является множество Q = Ai. Пусть fa = ( f1a,..., fna) – некоторый росток – векторной функции f в точке a Q. Обозначим через фунда/ ментальную группу 1(S2 \ Q, a), через i – стационарные группы – ростков fia и через 0 – стационарную группу векторного ростка fa.

– n Стационарная подгруппа 0 есть в точности i, откуда следует, i=что [, 0] = [, 1],..., [, n].

§. Основная теорема Воспользовавшись утверждением., получим, что [ f] = [ f1],..., [ fn].

Л. ( ). Для всякой векторной -функции f = ( f1,..., fn) и мероморфной функции F(x1,..., xn), такой что функция F f определена, справедливо включение [F f ] [ f].

Д. Пусть A – множество особых точек функции – f и B – проекция множества полюсов функции F f на сферу Ри– мана. В качестве запрещенного множества функций F f и f можно взять множество Q = A B. Пусть fa – некоторый росток функ– ции f в точке a, a Q. Обозначим через фундаментальную груп/ пу 1(S2 \ Q, a), через 1 и 2 – стационарные группы ростков fa и – F fa. Группа 2 содержится в группе 1. Действительно, при продолжении вдоль кривой 1 не изменяется векторная функция, а значит, не меняется мероморфная функция от нее. Из включения 2 1 следует, что [, 2] [, 1]. Воспользовавшись утверждением., получим, что [F f] [ f ].

Л. ( ). Для всякой векторной -функции f = ( f1,..., fn) и алгебраической функции y от нее, определенной равенством yk + f1 yk-1 +... + fk = 0, () справедливо включение [ y] [ f ], S(k), где S(k) – группа пере– становок k элементов.

Д. Пусть A – множество особых точек функции – f и B – проекция множества алгебраических точек ветвления функ– ции y на сферу Римана. В качестве запрещенного множества функций y и f можно взять множество Q = A B. Пусть ya и fa – некото– рые ростки функций y и f в точке a Q, связанные равенством / k k-ya + f1a ya +... + fka = 0.

Обозначим через фундаментальную группу 1(S2 \ Q, a), а через 1 и 2 – стационарные подгруппы ростков fa и ya. При продолже– нии вдоль кривой 1 коэффициенты уравнения () не меняются, следовательно, при продолжении вдоль кривой корни уравнения Глава. Одномерная топологическая теория Галуа () переставляются. Возникает гомоморфизм группы 1 в группу S(k), : 1 S(k). Группа 2 содержится в ядре гомоморфизма, откуда следует, что [, 2] [, 1], S(k). Воспользовавшись утверждением., получим, что [ y] [ f ], S(k).

Доказательство основной теоремы закончено.

§ 7. В этом параграфе вычисляются классы пар групп, встречающиеся в основной теореме, и формулируются необходимые условия представимости функций в квадратурах, k-квадратурах и обобщенных квадратурах.

.. Вычисление некоторых классов пар групп. Основная теорема делает актуальной задачу описания наименьшего класса пар групп, содержащего группу комплексных чисел по сложению, и наименьших пар классов пар групп, содержащих соответственно группу и все конечные группы, а также группу и группу S(k). В настоящем пункте мы приводим решение этих задач.

У.. Наименьший полный класс пар, содержащий заданные почти полные классы пар, состоит из пар групп [, 0], для которых существует цепочка подгрупп = 1...

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.