WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 35 |

Д. Каждую перестановку ростков функции y, которая получается при обходе по кривой из группы 1(UA, ), можно получить в результате обхода по кривой из группы 1(UB, ).

Для этого достаточно чуть пошевелить первоначальную кривую и избавиться от ее точек пересечения с множеством B \ (B A) (если, разумеется, такие точки пересечения изначально существовали).

Поэтому следствие. и утверждение., в сущности, не различаются.

Т.. Класс алгебраических функций с разрешимой группой монодромии замкнут относительно арифметических операций.

Д. Пусть алгебраические функции y и z имеют множества ветвления A1 и A2 и разрешимые группы монодромии M1 и M2 глубин l1 и l2 соответственно. Пусть B = A1 A2, UB = \ B и – точка в области UB. Обозначим через m максимум из чисел l– и l2. По следствию. мероморфное продолжение вдоль кривых из группы [1(UB, )]m не меняет ростков функций y и z. Поэтому при продолжениях вдоль кривых из этой группы ростки функций y + z, y - z, y z и y : z возвращаются к своим прежним значениям. Значит, по следствию. группы монодромии этих ростков разрешимы и имеют длины не больше m.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Т.. Класс алгебраических функций с разрешимой группой монодромии замкнут относительно суперпозиций.

Прежде чем доказывать теорему., немного уточним ее. Рассмотрим алгебраические функции y и z. Пусть A1 и A2 – множества – ветвлений функций y и z, а M1 и M2 – группы монодромии этих – функций, являющиеся разрешимыми группами глубин l1 и l2. Обозначим через y-1(A2) полный прообраз множества A2 при многозначном соответствии, порожденном функцией y (т. е. x y-1(A2), если существует росток функции y, значение которого в точке x принадлежит множеству A2).

Т.. При сделанных выше предположениях суперпозиция z( y) алгебраических функций y и z имеет разрешимую группу монодромии глубины не больше l1 + l2. Множество ветвления функции z( y) является подмножеством множества B = A1 y-1(A2).

Д. Очевидно, что множество B = A1 y-1(A2) содержит все точки ветвления функции z( y). Пусть UB = \ B и – – точка в области UB. Положим UA = \ A2. Обозначим через G группу 1(UB, ) и через [G]l – ее l1-й коммутатор.

– По следствию. мероморфное продолжение вдоль кривых из группы [G]l не меняет ростков функций y. Это означает, что для каждого ростка yi функции y в точке определен гомоморфизм i :

G 1(UA, ), где = yi(), сопоставляющий кривой : [0, 1] UB, (0) = (1) =, из группы G = [1(UB, )]l кривую yi(): [0, 1] UA, yi((0)) = yi((1)) = yi() =, полученную мероморфным продолжением ростка yi вдоль кривой.

По определению мероморфное продолжение вдоль кривых из группы [1(UA, )]l не меняет ростка z. Следовательно, мероморф-ное продолжение вдоль кривых из группы i ([1(UA, )]l ) не меняет ростка z( yi). По п. утверждения. группа -1([1(UA, )]l ) содержит l2-й коммутатор группы [G]l. Поэтому мероморфное продолжение вдоль кривых из группы [1(UB, )]l +l2 не меняет ростка суперпозиции z( yi). Для завершения доказательства теоремы.

осталось воспользоваться следствием..

.. Алгебраическая функция с разрешимой группой монодромии представима в радикалах. Пусть y – n-значная алгебра– ическая функция одной переменной, A – множество ее точек ветв– ления, UA = \ A и UA – отмеченная точка. Пусть V – открытый – – §. Об одномерном варианте круг с центром в точке, не пересекающийся с множеством A. В круге V существуют n голоморфных ветвей y1,..., yn функции y.

Поэтому в этом круге мероморфны все функции из поля R y = = R y1,..., yn, полученного присоединением элементов y1,..., yn к полю R всех рациональных функций. Каждая функция z из поля R y мероморфно продолжается вдоль любой кривой из фундаментальной группы 1(UA, ), так как вдоль мероморфно продолжаются рациональные функции и все ветви функции y. Мероморфное продолжение вдоль кривой сохраняет арифметические операции. Поэтому мероморфное продолжение вдоль кривой задает автоморфизм поля R y. Автоморфизм тождествен, если и только если кривой соответствует тривиальное преобразование монодромии M функции y. Функция z R y, неподвижная относительно всех автоморфизмов, является рациональной функцией.

Действительно, z – однозначная алгебраическая функция, следова– тельно, z – рациональная функция.

– Мы доказали следующую теорему.

Т.. Группа монодромии M функции y действует на поле R y как группа автоморфизмов. Полем инвариантов относительно этого действия является поле рациональных функций R.

Соединяя теорему. с результатами из линейной алгебры, изложенными в § главы, получаем такое следствие.

С.. Алгебраическая функция с разрешимой группой монодромии представима в радикалах.

Доказательство критерия представимости в радикалах закончено.

§ 3. Группа монодромии есть не только у алгебраических функций.

Она определена для основных элементарных функций и для многих, многих других функций, для которых группа Галуа не имеет смысла. Для доказательства непринадлежности таких функций тому или иному лиувиллевскому классу можно использовать группу монодромии вместо группы Галуа. Этот подход реализуется в топологической теории Галуа. Приведем пример, который показывает, какие трудности приходится преодолевать на этом пути.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Рассмотрим элементарную функцию f, определенную следующей формулой:

n f (z) = ln j ln(z - aj), j=где aj, j = 1,..., n, – различные точки на комплексной прямой и j, – j = 1,..., n, – комплексные константы. Обозначим через аддитив– ную группу комплексных чисел, порожденную константами 1,...



..., n. Ясно, что если n > 2, то почти для всякого набора констант 1,..., n группа всюду плотна на комплексной прямой.

У.. Если группа всюду плотна на комплексной прямой, то элементарная функция f имеет всюду плотное множество точек логарифмического ветвления.

Д. Пусть ga – один из ростков функции g, опре– n деленной формулой g(z)= j ln(z -aj) в точке a, a=aj, j =1,..., n.

j=После обхода точек a1,..., an к ростку ga прибавится число 2i, где – элемент группы. Обратно, всякий росток ga + 2i, где, – получается при аналитическом продолжении ростка ga вдоль некоторой кривой. Пусть U – малая окрестность точки a и G : U – – – аналитическая функция, росток которой в точке a есть ga. Образ V области U при отображении G : U открыт. Поэтому в области V найдется точка вида 2i, где. Функция G - 2i является одной из ветвей функции g над областью U, причем множество нулей этой ветви в области U непусто. Поэтому одна из ветвей функции f = ln g имеет в U точку логарифмического ветвления.

Несложно проверить, что в условиях утверждения группа монодромии функции f континуальна (это неудивительно: фундаментальная группа 1(S \ A), где A – счетное всюду плотное множество – на сфере Римана, очевидно, содержит континуум элементов).

Можно показать также, что образ фундаментальной группы дополнения к множеству A b, где b A – точка на комплексной пря/ – мой, в группе перестановок листов функции f является собственной подгруппой группы монодромии функции f. (То обстоятельство, что удаление одной лишней точки может изменить группу монодромии, несколько усложняет все доказательства.) Итак, уже простейшие элементарные функции могут иметь всюду плотное множество особых точек и континуальную группу мо §. Класс -функций нодромии. Тем не менее, множество особых точек элементарной функции одного переменного не более чем счетно, а ее группа монодромии разрешима. Если функция не удовлетворяет этим ограничениям, то она не может быть элементарной. Существуют аналогичные топологические препятствия к принадлежности функции одного комплексного переменного другим лиувиллевским классам функций.

Переходим к подробному описанию этого геометрического подхода к проблеме разрешимости.

§ 4. В этом параграфе определяется обширный класс функций одной комплексной переменной, нужный для построения топологической теории Галуа.

.. Запрещенные множества. Определим класс функций, внутри которого будут проводиться дальнейшие рассмотрения. Многозначная аналитическая функция одного комплексного переменного называется -функцией, если множество ее особых точек не более чем счетно. Уточним это определение.

Два регулярных ростка fa и gb, заданные в точках a и b сферы Римана S2, называются эквивалентными, если росток gb получается из ростка fa регулярным продолжением вдоль некоторой кривой.

Каждый росток gb, эквивалентный ростку fa, называется также регулярным ростком многозначной аналитической функции f, порожденной ростком fa.

Точка b S2 называется особой для ростка fa, если существует кривая : [0, 1] S2, (0) = a, (1) = b, вдоль которой росток не может быть регулярно продолжен, но для любого t, 0 t < 1, росток регулярно продолжается вдоль укороченной кривой : [0, t] S2.

Легко видеть, что у эквивалентных ростков множества особых точек совпадают.

Регулярный росток называется -ростком, если множество его особых точек не более чем счетно. Многозначная аналитическая функция называется -функцией, если каждый ее регулярный росток является -ростком.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Нам понадобится лемма, согласно которой малым шевелением кривую на плоскости можно снять со счетного множества точек.

Л. ( ).

Пусть A – не более чем счетное множество точек на плоскости, – : [0, 1] – кривая и – непрерывная положительная функция – – на интервале 0

/ «Научное» доказательство леммы заключается в следующем.

В функциональном пространстве кривых кривые, близкие к, |(t) - (t)| < (t), и не проходящие через одну из точек множества A, образуют открытое плотное множество. Пересечение счетного числа открытых плотных множеств в таких функциональных пространствах не пусто.

Приведем элементарное доказательство леммы (оно почти дословно переносится на более общий случай, когда множество A несчетно, но имеет нулевую длину по Хаусдорфу; ср. § ). Сначала построим бесконечнозвенную ломаную с вершинами, не при надлежащими A, такую что |(t) - (t)| < (t). Такую ломаную можно построить, так как дополнение к множеству A всюду плотно.

Покажем, как изменить каждое звено [p, q] ломаной, чтобы она не пересекала множества A. Возьмем отрезок [p, q]. Пусть m – пер– пендикуляр к его середине. Рассмотрим двузвенные ломаные [p, b], [b, q], где b m и точка b достаточно близка к отрезку. Они пересекаются только по концам p, q и их число континуально. Значит, среди них есть ломаная, не пересекающая множества A. Заменив таким образом каждое звено бесконечнозвенной ломаной, получим искомую кривую.

Кроме множества особых точек удобно рассматривать и другие множества, вне которых функция неограниченно продолжается. Не более чем счетное множество A называется запрещенным множеством для регулярного ростка fa, если росток fa регулярно продолжается вдоль кривой (t), (0) = a, пересекающей множество A лишь, может быть, в начальный момент.

Т. ( ). Не более чем счетное множество является запрещенным множеством ростка, если и только если оно содержит множество его особых точек.





В частности, росток обладает некоторым запрещенным множеством, если и только если он является ростком -функции.

§. Класс -функций Д. Предположим, что существует особая точка b ростка fa, не лежащая в некотором запрещенном множестве A этого ростка. По определению должна существовать кривая : [0, 1] S2, (0) = a, (1) = b, вдоль которой не существует регулярного продолжения ростка fa, но вдоль которой росток продолжается до любой точки t < 1. Не ограничивая общности, можно считать, что точки a, b и кривая (t) лежат в конечной части сферы Римана, т. е. (t) = при 0 t 1. Обозначим через R(t) радиус сходимо сти рядов f(t), получающихся при продолжении ростка fa вдоль кривой (t). Функция R(t) непрерывна на полуинтервале [0, 1).

Согласно лемме существует кривая (t), (0) = a, (1) = b, такая что |(t) - (t)|< R(t) и (t) A при t > 0. Росток fa по условию должен / продолжаться вдоль кривой до точки 1. Но отсюда легко следует, что росток fa продолжается вдоль кривой. Полученное противоречие доказывает, что множество особых точек ростка fa содержится во всяком запрещенном множестве этого ростка. Обратное утверждение (счетное множество, содержащее множество особенностей ростка, является запрещенным для ростка) очевидно.

.. Замкнутость класса -функций. Докажем замкнутость введенного класса функций относительно всех естественных операций.

Т. ( - ). Класс всех -функций замкнут относительно следующих операций:

) дифференцирования, т. е. если f, то f ;

) интегрирования, т. е. если f и g = f, то g ;

) суперпозиции, т. е. если g, f, то g f ;

) мероморфных операций, т. е. если F(x1,..., xn) – мероморфная – функция n переменных, fi, i = 1,..., n, и f = F( f1,..., fn), то f ;

) решения алгебраических уравнений, т. е. если fi, i = 1,..., n, n n-и f + f1 f +... + fn = 0, то f ;

) решения линейных дифференциальных уравнений, т. е. если (n) (n-1) fi, i = 1,..., n, и f + f1 f +... + fn = 0, то f.

Д.,. Пусть fa, a =, – росток -функции с – множеством особых точек A. Если росток fa регулярно продолжается вдоль некоторой кривой, лежащей в конечной части сферы Римана, то интеграл и производная этого ростка регулярно продолжаются вдоль кривой. Поэтому в качестве запрещенного Глава. Одномерная топологическая теория Галуа множества для интеграла и производной ростка fa достаточно взять множество A {}.

. Пусть fa и gb – ростки -функций с множествами особых точек – -A и B и fa(a) = b. Обозначим через f (B) полный прообраз множества B при многозначном соответствии, порожденном ростком -fa. Иными словами, x f (B), если и только если существует росток x, эквивалентный ростку fa и такой, что (x) B. Множество -f (B) не более чем счетно. В качестве запрещенного множества -ростка gb fa достаточно взять множество A f (B).

. Пусть fia – ростки -функций, Ai – множества их особых точек – – и F – мероморфная функция n переменных. Мы предполагаем, что – ростки fia и функция F таковы, что росток fa = F( f1a,..., fna) является вполне определенным мероморфным ростком. Заменив, если надо, точку a близкой точкой, можно считать, что росток fa регулярен. Ес ли кривая (t) не пересекает множество A= Ai при t >0, то росток fa мероморфно продолжается вдоль этой кривой. Пусть B – проек– ция на сферу Римана множества полюсов функции f, порожденной ростком fa. В качестве запрещенного множества ростка достаточно взять множество A B.

. Пусть fia – ростки -функций, Ai – множества их особых точек – – и fa – регулярный росток, удовлетворяющий равенству – n n-fa + f1a · fa +... + fna = 0.

Если кривая (t) не пересекает множества A = Ai при t > 0, то существует продолжение ростка fa вдоль этой кривой, содержащее, вообще говоря, мероморфные и алгебраические элементы. Пусть B – проекция множества полюсов функции f и точек разветвления – ее римановой поверхности на сферу Римана S2. В качестве запрещенного множества для ростка fa достаточно взять множество A B.

. Если коэффициенты уравнения (n) (n-1) fa + f1a · fa +... + fna = регулярно продолжаются вдоль некоторой кривой, лежащей в конечной части сферы Римана, то любое решение fa этого уравнения также регулярно продолжается вдоль кривой. Поэтому в качестве запрещенного множества ростка fa достаточно взять множество A = Ai {}, где Ai – множества особых точек ростков fia.

– З. Арифметические операции и потенцирование являются примерами мероморфных операций, поэтому класс -функ §. Группа монодромии ций замкнут относительно арифметических операций и потенцирования.

С.. Если многозначную функцию f можно получить из однозначных -функций с помощью интегрирования, дифференцирования, мероморфных операций, суперпозиций, решения алгебраических уравнений и линейных дифференциальных уравнений, то функция f имеет не более чем счетное число особых точек. В частности, функцию, имеющую несчетное число особых точек, нельзя представить в обобщенных квадратурах.

§ 5. В этом параграфе обсуждаются различные понятия, связанные с группой монодромии.

.. Группа монодромии с запрещенным множеством. Группа монодромии -функции f с запрещенным множеством A – это – группа всех перестановок листов функции f, которые происходят при обходе точек множества A. Дадим теперь точное определение.

Пусть Fa – множество всех ростков -функции f в точке a, не ле– жащей в некотором запрещенном множестве A. Возьмем замкнутую кривую в S2 \ A с началом в точке a. Продолжение каждого ростка из множества Fa вдоль кривой приводит к ростку из множества Fa.

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.