WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 35 |

Этот подход, кроме геометрической наглядности, имеет следующее преимущество. Топологические запреты относятся к характеру многозначности функции. Они сохраняются не только для функций, представимых в квадратурах, но и для значительно более широкого класса функций. Этот более широкий класс получится, если к функциям, представимым в квадратурах, добавить все мероморфные функции и разрешить им участвовать во всех формулах. Из-за этого топологические результаты о непредставимости в квадратурах оказываются более сильными, чем алгебраические. Дело в том, что суперпозиция функций – не алгебраическая операция. В дифферен– циальной алгебре вместо суперпозиции функций рассматривается дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет. Но, например, -функция Эйлера не удовлетворяет никакому алгебраиче Глава. Одномерная топологическая теория Галуа скому дифференциальному уравнению. Поэтому безнадежно искать уравнение, которому удовлетворяет, скажем, функция (exp x).

Единственные известные результаты о непредставимости функций в квадратурах и, скажем, в -функциях Эйлера получены только нашим методом.

С другой стороны, этим методом невозможно доказать непредставимость в квадратурах какой-либо однозначной мероморфной функции.

Используя дифференциальную теорию Галуа (точнее, ее линейно-алгебраическую часть, имеющую дело с алгебраическими матричными группами и их дифференциальными инвариантами), можно показать, что единственные причины неразрешимости в квадратурах линейных дифференциальных уравнений типа Фукса топологические (ср. § главы ). Другими словами, если к разрешимости в квадратурах дифференциального уравнения типа Фукса не существует топологических препятствий, то оно решается в квадратурах.

Существуют следующие топологические препятствия к представимости функций в квадратурах, обобщенных квадратурах и в k-квадратурах.

Во-первых, функции, представимые в обобщенных квадратурах, и, в частности, функции, представимые в квадратурах и в k-квадратурах, могут иметь не более чем счетное число особых точек на комплексной плоскости (см. § ). (Хотя уже для простейших функций, представимых в квадратурах, множество особых точек может быть всюду плотным!) Во-вторых, группа монодромии функции, представимой в квадратурах, обязательно разрешима (см. п..). (Хотя уже для простейших функций, представимых в квадратурах, группа монодромии может содержать континуум элементов!) Аналогичные ограничения на расположение римановой поверхности существуют и для функций, представимых в обобщенных квадратурах и в k-квадратурах. Однако эти ограничения формулируются сложнее. В них группа монодромии фигурирует не как абстрактная группа, а как группа перестановок множества листов функции. Другими словами, в этих ограничениях фигурирует не только группа монодромии, но и монодромная пара функции, состоящая из ее группы монодромии и стационарной подгруппы некоторого ростка (см. п..).

§. О топологической неразрешимости В § обсуждается понятие топологической неразрешимости, принадлежащее В. И. Арнольду, и приводится его доказательство топологической неэлементарности эллиптических функций. В § приводится критерий представимости функций в радикалах, доказательство которого содержит идею топологической теории Галуа.

§ 1. Арнольд доказал топологическую неразрешимость ряда классических задач математики []–[]. Среди них задача о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах (см. § ).

Как показал еще Жордан, группа Галуа алгебраического уравнения над полем рациональных функций имеет топологическую интерпретацию. Рассмотрим неприводимое алгебраическое уравнение yn + r1 yn-1 +... + rn = 0 () над полем рациональных функций PS, ri PS. Группа Галуа уравнения () над полем рациональных функций изоморфна группе монодромии (многозначной) алгебраической функции y, определенной уравнением (). Из теории Галуа вытекает такое следствие.

С... Алгебраическая функция представима в радикалах, если и только если ее группа монодромии разрешима.

. Алгебраическая функция представима в k-радикалах, если и только если ее группа монодромии k-разрешима.

Приведем принадлежащее В. И. Арнольду определение.

О (А ). Отображение f : X Y называется топологически нехорошим (например, топологически неэлементарной функцией), если среди (лево-право) топологически эквивалентных ему нет хороших (например, элементарных).

С каждой многозначной аналитической функцией f комплексного переменного связаны ее риманова поверхность M и проекция f f : M S2 этой поверхности на сферу Римана S2.

f С.. Пусть проекции f и g римановых поверхностей M и Mg функций f и g на сферу Римана топологически эквиf валентны. Тогда функции f и g представимы или непредставимы в радикалах (k-радикалах) одновременно (т. е. топологический тип проекции римановой поверхности функции на сферу Римана отвечает за представимость функции в радикалах и в k-радикалах).

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа Д. Следствие. немедленно вытекает из следствия.. Действительно, алгебраичность функции связана с компактностью ее римановой поверхности, ее представимость в радикалах связана с разрешимостью ее группы монодромии, а ее представимость в k-радикалах связана с k-разрешимостью ее группы монодромии. Все эти свойства топологические.

Для алгебраических функций группа Галуа совпадает с группой монодромии. Это дает возможность отдельно доказывать относящиеся к теории Галуа результаты об алгебраических функциях, не вводя общих определений и не доказывая общих теорем. Классики широко пользовались этим приемом. Так, в книге [] в параграфе, посвященном группе монодромии, читаем: «Нижеследующие теоремы убедят в этом [в том, что группа монодромии есть группа Галуа, – А. Хованский] знающего теорию Галуа, а незнающий полу– чит в них понятие о теории Галуа, приспособленное к специальным полям».



В -х годах, занимаясь с одаренными школьниками в Колмогоровском интернате, Владимир Игоревич доказал, что достаточно общая алгебраическая функция степени не меньше 5 от одной переменной не представима в радикалах. Он нашел чисто топологическое доказательство, не апеллирующее к теории Галуа, непредставимости в радикалах алгебраических функций с неразрешимой группой монодромии (ср. § ). Арнольд прочел курс лекций о своем доказательстве в Колмогоровском интернате. Позднее этот курс был значительно переработан и опубликован В. Б. Алексеевым []. Согласно Арнольду, топологическое доказательство неразрешимости какой-либо задачи, как правило, влечет за собой новые следствия.

Например, из топологического доказательства непредставимости в радикалах алгебраической функции с неразрешимой группой монодромии легко вытекает непредставимость такой функции формулой, включающей в себя не только радикалы, но и любые целые функции; см. [].

В -е годы Арнольд получил также результаты о топологической неэлементарности эллиптических функций и интегралов (и других близких вещей), но ничего не опубликовал на эту тему. В декабре г. Владимир Игоревич написал мне письмо об этом. Следующая теорема, так же как и приведенное выше определение, заимствованы из этого письма.

§. О топологической неразрешимости Т. (А ). Если мероморфная функция g : U P1, определенная в комплексной области U, топологически эквивалентна эллиптической функции f : P1, то g – эллиптическая – функция (возможно, с другими, чем у функции f, периодами).

Д. Эллиптическая функция f инвариантна относительно группы сдвигов 2 (z z + k1 1 + k2 2, (k1, k2) 2).

Поэтому функция g инвариантна относительно группы гомеоморфизмов 2 области U. Каждый гомеоморфизм h этой группы на самом деле является биголоморфным отображением области U в себя. Действительно, по теореме об обратной функции из тождества g(z) g(h(z)) вытекает голоморфность отображения h в окрестности каждой точки, не принадлежащей прообразу при отображении h множества критических точек функции g. В точках этого прообраза отображение h голоморфно по теореме об устранимой особенности. По условию область U гомеоморфна. Следовательно, по теореме Римана область U либо совпадает с, либо биголоморфно эквивалентна внутренности единичного круга. Область U совпадает с, так как группа биголоморфных преобразований единичного круга не содержит подгруппы 2. Подгруппа 2 группы биголоморфных преобразований, действующая на без неподвижных точек, является группой сдвигов (z k11 +k22, (k1, k2) 2). Поэтому g – – эллиптическая функция.

Как известно, эллиптические функции неэлементарны. Из этого классического результата и доказанной выше теоремы вытекает топологическая неэлементарность эллиптических функций.

Ниже приводится цитата из письма Владимира Игоревича.

«Эти соображения доказывали, мне помнится, топологическую неэлементарность как эллиптических функций, f, так и эллипти-ческих интегралов, f, да и многого другого. Причем все это Неэлементарность эллиптических функций вытекает из обобщения теории Пикара– принадлежащего Колчину []. Это обобщение применимо не только к –Вессио, линейным, но и к некоторым нелинейным дифференциальным уравнениям, например к уравнению на -функцию Вейерштрасса. Группа Галуа дифференциального поля эллиптических функций над полем констант, очевидно, содержит группу / 2, состоящую из факторгруппы группы сдвигов f (z) f (z + a) по подгруппе 2 периодов эллиптических функций. Несложно показать, что группа Галуа совпадает с этой группой. Непредставимость эллиптических функций в обобщенных квадратурах, согласно Колчину, вытекает из несуществования у группы / 2 нормальной башни подгрупп, каждая факторгруппа относительно которой является или конечной группой, или аддитивной, или мультипликативной группами комплексных чисел.

Глава. Одномерная топологическая теория Галуа обобщается и на кривые других родов (с другими накрытиями, или хотя бы с универсальными накрытиями). Не помню, доказал ли я аккуратно, но думаю, что у меня были соображения, почему аналогичные приведенной теореме многомерные высказывания должны быть неверны: помнится, что сохранение топологического типа в многомерном случае не гарантирует сохранение алгебраичности.

Само по себе это не препятствует топологической неэлементарности (нехорошести), но препятствует моему доказательству его, доказательству путем сведения к неэлементарности классического (алгебраического) объекта вроде эллиптической функции».

§ 2. В этом параграфе приводится вариант топологического доказательства Арнольда непредставимости функций в радикалах, основанный на заметке [] и содержащий в зародыше рассуждения одномерной топологической теории Галуа.

Класс функций от одной переменной, представимых в радикалах, можно задать при помощи следующих двух списков.

Список основных функций: комплексные константы y C, независимая переменная y = x и функции y = x1/n, где n > 1 – любое на– туральное число.

Список допустимых операций: арифметические операции и суперпозиции.

Класс функций, представимых в радикалах, – это множество всех – функций, которые получаются из основных функций при помощи допустимых операций. В этом параграфе обсуждается следующий К. Функция представима в радикалах, если и только если она является алгебраической функцией и имеет разрешимую группу монодромии.





Критерий легко выводится из теории Галуа. Дело в том, что группа монодромии алгебраической функции изоморфна группе Галуа расширения поля рациональных функций, полученного присоединением к этому полю всех ветвей алгебраической функции.

В этом параграфе приводится простое доказательство критерия, независимое от теории Галуа и от остального содержания книги (правда, в п.. мы используем без доказательства несложную ли §. Топология непредставимости в радикалах нейную алгебру из главы ). Пункт. посвящен (почти очевидной) проверке разрешимости групп монодромии основных функций, представимых в радикалах. В п.. формулируются нужные нам утверждения о разрешимых группах. В п.. доказана представимость в радикалах алгебраических функций с разрешимой группой монодромии.

З.. Класс функций, представимых в радикалах, определен в п.. введения немного по-другому. Легко видеть, что это определение эквивалентно определению, приведенному выше.

. Операции с многозначными функциями в настоящем параграфе, как и в остальной части книги (кроме главы ), понимаются в смысле п.. введения.

.. Группы монодромии основных функций. Легко вычислить группы монодромии основных функций, представимых в радикалах. Группы монодромии констант и независимой переменной тривиальны (т. е. состоят из одного единичного элемента), так как эти функции однозначны.

У.. Группа монодромии функции y = x1/n является циклической группой /n.

Д. Действительно, функция x1/n не имеет точек ветвления в области = \ {0, }, фундаментальная группа которой изоморфна аддитивной группе целых чисел. В группе 1(, 1) в качестве образующей можно выбрать петлю (t) = exp(2it), 0 t 1. Функция y = x1/n имеет n ростков yk, 0 k < n, в точке, значения которых в этой точке задаются следующими формулами:

2ki yk(1) = exp. Продолжение ростка yk вдоль кривой в точке (t) n 2(k + t)i принимает значение exp. При обходе по кривой параn метр t возрастает от 0 до 1. Поэтому при обходе по этой кривой росток yk переходит в росток ym, где m = (k + 1) mod n.

С.. Группы монодромии основных функций, представимых в радикалах, разрешимы.

.. Разрешимые группы. Сформулируем нужные нам факты о разрешимых группах. Группу G будем называть разрешимой группой глубины l 0, если ) существует цепочка вложенных подгрупп G = G0... Gl = e, в которой группа Gl совпадает с единичным Глава. Одномерная топологическая теория Галуа элементом e и при i = 1,..., l группа Gi является нормальным делителем группы Gi-1, причем факторгруппа Gi-1/Gi коммутативна; ) не существует цепочки вложенных подгрупп меньшей длины с аналогичными свойствами. Группа называется разрешимой, если она является разрешимой глубины l при некотором l 0.

Положим [G]0 = G. Обозначим через [G]1 коммутатор группы G.

Для каждого натурального l по индукции определяется l-й коммутатор [G]l группы G как коммутатор группы [G]l-1. Легко проверить следующее утверждение.

У... Для любого натурального l группа [G]l является нормальным делителем в группе G. (Более того, любой автоморфизм группы G переводит группу [G]l в себя.). Группа G является разрешимой группой глубины l > 0, если и только если [G]l = e и [G]l-1 = e.

. Для любого гомоморфизма : G1 G2 группы G1 в группу G2 и любого натурального l справедливо включение [(G1)]l [G2]l.

. Для любых натуральных чисел l и m и любой группы G справедливо включение [G]l [G]l+m.

.. Замкнутость класса алгебраических функций с разрешимой группой монодромии. Легко показать, что класс алгебраических функций замкнут относительно суперпозиций и арифметических операций. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого хорошо известного факта. Докажем, что класс алгебраических функций, имеющих разрешимую группу монодромии, тоже замкнут относительно этих операций.

Пусть y – алгебраическая функция комплексной переменной, – A – множество ветвления функции y и UA = \ A – дополнение к – – множеству ветвления A в сфере Римана. Пусть 1(UA, ) – фунда– ментальная группа области UA с отмеченной точкой UA.

У... Если группа монодромии алгебраической функции y является разрешимой группой глубины не больше l, то любой росток функции y в точке не изменяется при продолжении вдоль l-го коммутатора [1(UA, )]l группы 1(UA, ).

. Если хотя бы один из ростков функции y в точке не изменяется при продолжении вдоль l-го коммутатора [1(UA, )]l группы 1(UA, ), то группа монодромии алгебраической функции y является разрешимой группой глубины не больше l.

§. Топология непредставимости в радикалах Д. Утверждение. автоматически вытекает из утверждения.. Ограничимся следующим замечанием. Группа [G]l – нормальный делитель фундаментальной группы G =1(UA, ) – (см. п. утверждения.). Поэтому если хотя бы один росток функции y не меняется при продолжении вдоль кривых из подгруппы [G]l, то продолжение вдоль кривых из этой подгруппы не меняет ни одного ростка функции y.

Пусть B – любое конечное множество, содержащее множество то– чек ветвления A функции y, UB = \ B – дополнение к множеству B – в сфере Римана и – точка в области UB.

– С... Если группа монодромии алгебраической функции y является разрешимой группой глубины не больше l, то любой росток функции y в точке не изменяется при продолжении вдоль l-го коммутатора [1(UB, )]l группы 1(UB, ).

. Если хотя бы один из ростков функции y в точке не изменяется при продолжении вдоль l-ого коммутатора [1(UB, )]l группы 1(UB, ), то группа монодромии алгебраической функции y является разрешимой группой глубины не больше l.

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.