WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 35 |

Д. Пусть b M – точка на многообразии M, про– ектирующаяся в точку a, (b) = a, и -1 – росток в точке a обратно– b,a го отображения, переводящего точку a в точку b. Обозначим через Kb(M) поле ростков в точке b мероморфных функций на многообразии M. Это поле изоморфно полю K(M). Отображение (-1) вклаb,a дывает поле Kb(M) в поле Pa(O).

§. Геометрия расширений Для каждой мероморфной функции g : M P1 росток gb -a лежит в поле Pa(O). Стационарная группа этого ростка относительно действия группы 1(X \ O, a) содержит стационарную подгруппу точки b относительно действия группы монодромии. Для ростка yb -1 стационарная группа равна стационарной группе точки b a при действии группы монодромии, так как функция y по определению принимает различные значения в точках слоя -1(a). Теперь утверждение вытекает из п. теоремы..

Т.. Неприводимые уравнения T1 = 0 и T2 =0 над полем K(X) задают изоморфные расширения этого поля, если и только если разветвленные накрытия 1 : M1 X и 2 : M2 X, фигурирующие в определении римановых поверхностей этих уравнений, задают эквивалентные разветвленные накрытия над многообразием X.

Д. Точки римановых поверхностей уравнений T1 =0 и T2 =0, лежащие над почти каждой точкой x многообразия X, однозначно задаются значениями корней y1 и y2 уравнений T1 = и T2 = 0 над точкой x. Если уравнения T1 = 0 и T2 = 0 определяют одинаковые расширения поля K(X), то y1 = Q1( y2) и y2 = Q2( y1), где Q1, Q2 – полиномы с коэффициентами из поля K(X). Эти поли– номы задают определенное почти над каждой точкой x обратимое отображение одной римановой поверхности в другую, которое коммутирует с проекциями этих поверхностей на X. По непрерывности оно продолжается до изоморфизма накрытий.

Если римановы поверхности уравнений имеют эквивалентные накрытия, то отображение h: M1 M2, устанавливающее эквивалентность, коммутирует с проекциями и поэтому аналитично.

Отображение h : K(M2) K(M1) устанавливает изоморфизм полей K(M1) и K(M2) и переводит подполе (K(X)) в подполе (K(X)), 2 так как 1 = 2 h.

§ 4. В этом параграфе мы подводим итоги. В п.. мы обсуждаем связь между нормальными разветвленными накрытиями над связным комплексным многообразием X и расширениями Галуа поля K(X).

В п.. эта связь применяется для описания расширений поля сходящихся рядов Лорана.

Глава. Накрытия и теория Галуа В п.. идет речь о компактных одномерных комплексных многообразиях. Теория Галуа помогает описать поле мероморфных функций на компактном многообразии, а геометрия разветвленных накрытий позволяет достаточно явно описать все алгебраические расширения поля рациональных функций от одного переменного.

Группа Галуа расширения поля рациональных функций совпадает с группой монодромии римановой поверхности алгебраической функции, задающей это расширение. Поэтому теория Галуа доставляет топологическое препятствие к представимости алгебраических функций в радикалах.

.. Расширения Галуа поля K(X). Согласно теореме. алгебраические расширения поля мероморфных функций на связном комплексном многообразии X имеют прозрачную геометрическую классификацию, совпадающую с классификацией связных конечнолистных разветвленных накрытий над многообразием X. При этом расширениям Галуа поля K(X) соответствуют нормальные разветвленные накрытия многообразия X. Опишем геометрически все промежуточные расширения для таких расширений Галуа.

Пусть X – связное аналитическое многообразие, : M X – – – связное нормальное разветвленное конечнолистное накрытие над X, O – конечное множество в X, содержащее все критические зна– чения отображения, и a X – любая точка, не лежащая в O. Мы – имеем поле мероморфных функций K(X) на многообразии X и его расширение Галуа – поле K(M) мероморфных функций на много– образии M.

Согласно утверждению. из этой главы промежуточные разh1 fветвленные накрытия M - Y1 - X находятся во взаимно однознач ном соответствии с подгруппами группы N преобразования наложения нормального накрытия : M X. С каждым промежуточным h1 fнакрытием M - Y1 - X связано подполе h(K(Y1)) поля K(M) ме роморфных функций на многообразии M. Из основной теоремы теории Галуа видно, что каждое промежуточное поле между полями K(M) и K(X) имеет такой вид, т. е. является полем h(K(Y )) для h f некоторого промежуточного разветвленного накрытия M - Y - X.

При этом промежуточные расширения Галуа соответствуют проh f межуточным нормальным накрытиям M - Y - X, а группы Галуа промежуточных расширений Галуа равны группам преобразования §. Геометрия расширений наложения соответствующих промежуточных нормальных накрытий.

Вот немного другое описание того же расширения Галуа. На нормальном разветвленном накрытии M действует конечная группа N автоморфизмов наложения. С каждой подгруппой G группы N связано подполе KN(M) мероморфных функций на M, инвариантных относительно группы G.

У.. Поле K(M) является расширением Галуа поля KN (M) = (K(X)). Группа Галуа этого расширения Галуа равна N.

При соответствии Галуа подгруппе G N соответствует поле KG(M).

.. Алгебраические расширения поля ростков мероморфных функций. В этом пункте связь между нормальными накрытиями и расширениями Галуа применяется для описания алгебраических расширений поля сходящихся рядов Лорана.

Пусть L0 – поле ростков мероморфных функций в точке 0 1.

– Это поле можно отождествить с полем сходящихся рядов Лорана cmxm.

m>mТ.. Для каждого k существует единственное расширение степени k поля L0. Оно порождено элементом z = x1/k. Это расширение нормально, его группа Галуа равна /k.

Д. Пусть yk + ak-1 yk-1 +... + a0 = 0 – неприводи– мое уравнение над полем L0. Из неприводимости уравнения вытекает существование малого открытого диска Dr с центром в точке 0, такого что ) ряды Лорана коэффициентов ai, i = 1,..., k, сходятся в проколотом диске D; ) уравнение неприводимо над полем K(Dr) r мероморфных функций в диске Dr; ) дискриминант уравнения отличен от нуля во всех точках проколотого диска D.



r Пусть : M Dr – риманова поверхность полученного непри– водимого уравнения над диском Dr. По условию в диске Dr лишь точка 0 является критическим значением отображения. Фундаментальная группа проколотого диска D изоморфна аддитивной r группе целых чисел. Группа k является единственной подгруппой индекса k в группе. Эта подгруппа является нормальным делителем, и факторгруппа /k является циклической группой порядка k. Поэтому существует единственное расширение степени k.

Оно соответствует ростку k-листного накрытия f : ( 1, 0) ( 1, 0), Глава. Накрытия и теория Галуа где f (z) = zk, нормально, и его группа Галуа равна /k. Далее, функция z : Dq 1, где q = r1/k, разделяет все прообразы точки a Dr при отображении x = zk. Поэтому функция z = x1/k порождает поле K(Dq) над полем K(Dr). Теорема доказана.

Согласно теореме функция z и ее степени 1, z = x1/k,..., zk-1 = = x(k-1)/k образуют базис в расширении L степени k поля L0, рассматриваемого как векторное пространство над полем L0. Функции y L можно рассматривать как многозначные функции от x.

Разложение элемента y L по базису y = f0 + f1z +... + fk-1zk-1, f0,..., fk-1 L0, эквивалентно разложению y(x) = f0(x) + f1(x)x1/k + +... + fk-1(x)x(k-1)/k многозначной функции y(x) в ряд Пюизо.

Отметим, что элементы 1, z,..., zk-1 являются собственными векторами изоморфизма поля L над полем L0, порождающего группу Галуа и соответствующего обходу вокруг точки 0. Собственные числа этих векторов соответственно равны 1,,..., k-1, где – перво– образный корень из единицы степени k. Существование такого базиса доказывается в теории Галуа (см. утверждение. главы ).

З. Поле L0 во многом аналогично конечному полю /p, а обход вокруг точки нуль аналогичен изоморфизму Фробениуса. Действительно, у каждого из этих полей для каждого натурального k есть единственное алгебраическое расширение степени k. Каждое из этих расширений нормально, группа Галуа каждого из них есть циклическая группа из k элементов. Образующая группы Галуа расширения первого поля соответствует петле, обходящей точку нуль, а образующая группы Галуа расширения второго поля является изоморфизмом Фробениуса. Аналогичные свойства имеет любое конечное поле. Для поля Fq, содержащего q = pn элементов, роль петли, обходящей точку нуль, играет n-я степень автоморфизма Фробениуса.

.. Алгебраические расширения поля рациональных функций. Рассмотрим теперь случай связных компактных комплексных многообразий. Применяя теорию Галуа, мы покажем, что поле мероморфных функций на таком многообразии является конечным расширением степени трансцендентности один поля комплексных чисел. С другой стороны, геометрия разветвленных накрытий над сферой Римана дает ясное описание всех конечных алгебраических расширений поля рациональных функций.

§. Геометрия расширений Сфера Римана P1 является простейшим из компактных комплексных многообразий. Будем считать, что на проективной прямой P1 фиксированы бесконечно удаленная точка, 1 {} = = P1, и координатная функция x : P1 P1, имеющая полюс первого порядка в точке. Каждая мероморфная функция на Pявляется рациональной функцией от x.

Скажем, что пара мероморфных функций f, g на многообразии M разделяет почти все точки многообразия M, если существует конечное множество A M, такое что вектор-функция ( f, g) определена на множестве M \ A и принимает в его точках разные значения.

Т.. Пусть M – связное компактное одномерное ком– плексное многообразие. Тогда ) любые две мероморфные функции f, g на M связаны некоторым полиномиальным соотношением (т. е. существует полином Q от двух переменных, для которого выполняется тождество Q( f, g) 0);

) если функции f, g разделяют почти все точки многообразия M, то каждая мероморфная функция на многообразии M является композицией рациональной функции R двух переменных с функциями f и g, = R( f, g).

Д.. Если функция f тождественно равна константе C, то в качестве полиномиального соотношения можно взять тождество f C. В противном случае отображение f : M P1 является разветвленным накрытием с некоторым множеством точек ветвления O. Осталось воспользоваться п. теоремы..

. Если функция f тождественно равна константе, то функция g принимает различные значения в точках множества M \ A. Следовательно, разветвленное накрытие g : M P1 является взаимно однозначным отображением многообразия M на сферу Римана P1. В этом случае каждая мероморфная функция на M является композицией рациональной функции R одной переменной с функцией g, = R(g).

Если функция f не равна тождественно константе, то она задает разветвленное накрытие f : M P1 над сферой Римана P1. Пусть O – объединение образа множества A при отображении f и множе– ства критических значений отображения f, a O – любая точка сфе/ – ры Римана, не лежащая в O, и F – слой разветвленного накрытия – f : M P1 над точкой a. По условию функция f должна разделять точки множества F. Осталось воспользоваться п. теоремы..

Глава. Накрытия и теория Галуа Пусть yn + a1 yn-1 +... + a0 = 0 () – неприводимое уравнение над полем рациональных функций. Ри– манова поверхность : M P1 этого уравнения называется также римановой поверхностью алгебраической функции, определенной этим уравнением, а группа монодромии разветвленного накрытия : M P1 называется также группой монодромии этой алгебраической функции. Согласно утверждению. группа Галуа уравнения () совпадает с группой монодромии.





Итак, группа Галуа неприводимого уравнения () над полем рациональных функций имеет топологический смысл: она равна группе монодромии римановой поверхности алгебраической функции, определенной уравнением (). Совпадение группы Галуа уравнения () и группы монодромии алгебраической функции, определенной этим уравнением, было известно Фробениусу, но, возможно, было открыто еще раньше.

Результаты теории Галуа доставляют топологическое препятствие к разрешимости уравнения () в радикалах и в k-радикалах.

Из теории Галуа вытекают следующие теоремы.

Т.. Алгебраическая функция y, определенная уравнением (), представима в радикалах над полем рациональных функций, если и только если ее группа монодромии разрешима.

Т.. Алгебраическая функция y, определенная уравнением (), представима в k-радикалах над полем рациональных функций, если и только если ее группа монодромии k-разрешима.

Связные разветвленные накрытия над сферой Римана P1, критические значения которых лежат в фиксированном конечном множестве O, допускают полное конечное описание. Связные k-листные разветвленные накрытия с отмеченной точкой : (M, b) ( P1 \ O, a) классифицируются подгруппами индекса k в фундаментальной группе 1( P1 \ O). Для каждой группы G справедлива следующая лемма.

Л.. Классификация подгрупп индекса k группы G эквивалентна классификации транзитивных действий группы G на множестве с отмеченной точкой, содержащем k точек.

Д. Действительно, с подгруппой G0 индекса k в группе G связано транзитивное действие группы G на множестве §. Геометрия расширений правых классов смежности группы G по подгруппе G0, состоящем из k элементов. В этом множестве отмечен правый класс смежности единичного элемента. Обратно, каждому транзитивному действию группы G на множестве из k точек, из которых одна точка отмечена, соответствует стационарная подгруппа G0 отмеченной точки, имеющая индекс k в группе G.

Фундаментальная группа 1( P1 \ O, a) свободная с конечным числом образующих. Она имеет конечное число различных транзитивных действий на множестве из k точек, которые можно перечислить. Вот их описание.

Занумеруем точки множества O. Пусть оно содержит m + 1 точку.

Фундаментальная группа 1( P1 \ O, a) является свободной группой, порожденной кривыми 1,..., m, где i – кривая, обходящая – i-ю точку множества O. Возьмем множество из k элементов, в котором одна точка отмечена. В группе S(k) перестановок этого множества произвольным образом выбираем m элементов 1,..., m.

Нас интересуют упорядоченные наборы 1,..., m, подчиненные одному-единственному условию: нужно, чтобы группа перестановок, порожденная этими элементами, была транзитивной. Есть конечное число наборов элементов 1,..., m. Их можно перебрать и выбрать все наборы, порождающие транзитивные группы. С каждым таким набором связано единственное разветвленное накрытие : (M, b) ( P1, a) с отмеченной точкой. Оно соответствует стационарной подгруппе отмеченного элемента при гомоморфизме F : 1( P1 \ O, a) S(k), переводящем образующую i в элемент i.

Итак, за конечное число операций можно перечислить все транзитивные действия F : 1( P1 \ O, a) S(k) фундаментальной группы 1( P1 \ O, a) на множестве из k элементов.

На конечном множестве гомоморфизмов F : 1( P1 \ O, a) S(k), образ которых транзитивен, действует конечная группа гомоморфизмов сопряжения группы S(k). Орбиты действия конечной группы на конечном множестве можно перечислить. Поэтому классы сопряженности подгрупп индекса k в фундаментальной группе тоже можно перечислить за конечное число операций.

Итак, мы получаем полное геометрическое описание всевозможных расширений Галуа поля рациональных функций одной переменной. Отметим, что в этом описании мы использовали теорему существования Римана. Теорема Римана не помогает описывать Глава. Накрытия и теория Галуа алгебраические расширения других полей, скажем, поля рациональных чисел. Вопрос об описании алгебраических расширений поля рациональных чисел еще открыт. Неизвестно, например, существует ли расширение поля рациональных чисел, у которого группа Галуа – заданная конечная группа.

– Гл а в а ОД НО М Е Р НА Я ТО П ОЛ О ГИЧ Е СКА Я ТЕ О Р И Я ГА Л УА Группа монодромии алгебраической функции совпадает с группой Галуа расширения поля рациональных функций, связанного с этой алгебраической функцией. Поэтому группа монодромии отвечает за представимость алгебраической функции в радикалах. Но группа монодромии есть не только у алгебраических функций. Она определена для логарифма, арктангенса и для многих, многих других функций, для которых группа Галуа не имеет смысла. Естественно попытаться для таких функций использовать группу монодромии вместо группы Галуа для доказательства непринадлежности функции тому или иному лиувиллевскому классу. Именно этот подход реализуется в одномерной топологической теории Галуа ([]–[], [], []).

В одномерном варианте топологической теории Галуа мы рассматриваем функции, представимые в квадратурах, как многозначные аналитические функции одного комплексного переменного.

Оказывается, что существуют топологические ограничения на характер расположения над комплексной плоскостью римановой поверхности функции, представимой в квадратурах. Если функция не удовлетворяет этим ограничениям, то ее нельзя выразить в квадратурах.

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.