WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 35 |

Например, эллиптический интеграл x dt f (x) =, P(t) xгде P – кубический полином, представим в квадратурах. Но, как до– казал Лиувилль, если полином P не имеет кратных корней, то функция f не является элементарной.

§. Постановка задачи Обобщенные элементарные функции одной переменной.

Этот класс функций определяется в точности так же, как класс элементарных функций. Нужно лишь к списку допустимых операций добавить операцию решения алгебраических уравнений.

Функции одной переменной, представимые в обобщенных квадратурах. Этот класс функций определяется в точности так же, как класс функций, представимых в квадратурах. Нужно лишь к списку допустимых операций добавить операцию решения алгебраических уравнений.

Определим еще два класса функций, близких к лиувиллевским классам.

Функции одной переменной, представимые в k-радикалах.

Этот класс функций определяется в точности так же, как класс функций, представимых в радикалах. Нужно лишь к списку допустимых операций добавить операцию решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Функции одной переменной, представимые в k-квадратурах.

Этот класс функций определяется в точности так же, как класс функций, представимых в квадратурах. Нужно лишь к списку допустимых операций добавить операцию решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Гл а в а П О СТР О Е НИЕ Л И У В ИЛ Л Е В СКИХ К Л АССО В ФУ НКЦ ИЙ И ТЕ О Р ИЯ Л ИУ В ИЛ Л Я Первые доказательства неразрешимости некоторых уравнений в квадратурах и в элементарных функциях были получены в первой половине девятнадцатого века Ж. Лиувиллем (см. []–[], []).

Позднее П. Л. Чебышёв, Д. Д. Мордухай-Болтовский, А. Островский, Дж. Ритт, Дж. Давенпорт, М. Розенлихт, М. Зингер и многие другие развили результаты Лиувилля. Библиографию по этому вопросу можно найти в [].

Согласно теории Лиувилля «достаточно простые» уравнения либо имеют «достаточно простые» решения, либо вообще не решаются в явном виде. В некоторых случаях результаты доведены до алгоритмов, которые либо позволяют доказать неразрешимость уравнения в конечном виде, либо предъявляют его явное решение.

Теория Лиувилля даёт ответ, например, на следующие вопросы:

) при каких условиях неопределенный интеграл от элементарной функции является элементарной функцией ) при каких условиях представимы в обобщенных квадратурах все решения линейного дифференциального уравнения, коэффициенты которого — рациональные функции Чтобы продемонстрировать метод Лиувилля, мы приводим доказательство его теоремы об интегралах (см. § ) и рассматриваем несколько применений этой теоремы. Пусть = R(z, u) dz – -фор– ма, в которой R – рациональная функция двух переменных, z – – – комплексная переменная и u – функция от z. В § рассмотрен слу– чай, когда u – логарифм рациональной функции f переменной z, – u = ln f (z). Приведена процедура, позволяющая либо найти неопределенный интеграл формы, либо доказать, что он не является обобщенной элементарной функцией. В § описан аналогичный результат в случае, когда u – экспонента рациональной функции – f переменной z, u = exp f (z). Случай абелевой -формы, в котором u – алгебраическая функция переменной z, рассмотрен в – §. Описаны необходимые и достаточные условия элементарности абелева интеграла. Выполнимость этих условий трудно проверить.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля В этом смысле алгебраический случай сложнее, чем логарифмический и экспоненциальный. Параграфы – можно пропустить без ущерба для понимания остального материала книги. Чтобы избежать ссылок на эти параграфы, в третьей главе мы повторяем простые и короткие вычисления, связанные с присоединением к дифференциальному полю интеграла, экспоненты интеграла и корня алгебраического уравнения.

В § приводятся принадлежащие Лиувиллю значительно более простые определения лиувиллевских классов функций (например, класса элементарных функций). Объясняется, как именно удалось Лиувиллю алгебраизировать вопросы о разрешимости уравнений в элементарных функциях и в других лиувиллевских классах функций. В § приводится конструкция расширений Лиувилля функциональных дифференциальных полей.

В § мы формулируем некоторые результаты теории Лиувилля, относящиеся к вопросу разрешимости линейных дифференциальных уравнений. Более полно на этот вопрос отвечает дифференциальная теория Галуа (см. главу ).

§ 1. Лиувилль алгебраизировал задачу о разрешимости в элементарных функциях и квадратурах. Главным препятствием на этом пути является абсолютно неалгебраическая операция суперпозиции.

Лиувилль обошел это препятствие следующим образом: с каждой функцией g из списка основных функций он связал операцию суперпозиции с этой функцией, переводящую функцию f, к которой применяется эта операция, в функцию g f. Лиувилль заметил, что все основные элементарные функции сводятся к логарифму и к экспоненте (см. лемму. ниже). Суперпозиции y = exp f и z = ln f можно рассматривать как решения уравнений y = f y и z = f / f.

Таким образом, внутри лиувиллевских классов функций вместо абсолютно неалгебраической операции суперпозиции достаточно рассматривать операции решения простых дифференциальных уравнений. После этого задача о разрешимости в лиувиллевских классах функций становится дифференциально-алгебраической и переносится на абстрактные дифференциальные поля.

§. Новые определения Приступим к реализации этой программы.

Продолжим список классических операций (начало списка в п.. введения):

. Операция взятия экспоненты, сопоставляющая функции f функцию exp f.

. Операция взятия логарифма, сопоставляющая функции f функцию ln f.



Приведем теперь новые определения трансцендентных лиувиллевских классов функций.

Элементарные функции одной переменной.

Список основных функций: все комплексные константы и независимая переменная x.

Список допустимых операций: взятие экспоненты, взятие логарифма, арифметические операции, дифференцирование.

Функции одной переменной, представимые в квадратурах.

Список основных функций: все комплексные константы.

Список допустимых операций: взятие экспоненты, арифметические операции, дифференцирование, интегрирование.

Обобщенные элементарные функции одной переменной и функции одной переменной, представимые в обобщенных квадратурах и k-квадратурах, определяются так же, как соответствующие необобщенные классы функций, нужно лишь к списку допустимых операций добавить, соответственно, операцию решения алгебраических уравнений или операцию решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Л.. Основные элементарные функции выражаются с помощью комплексных констант, арифметических операций и суперпозиций через экспоненту и логарифм.

Д. Для степенной функции x нужное выражение доставляет равенство x = exp( ln x).

Для тригонометрических функций нужные выражения вытекают из формулы Эйлера ea+bi = ea(cos b + i sin b). При вещественных 1 значениях x имеем sin x = (eix - e-ix) и cos x = (eix + e-ix). В силу 2i аналитичности эти же формулы справедливы и для комплексных значений x. Функции тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус. Покажем, что для вещественных значений x справед1 1 + ix ливо равенство arctg x = ln z, где z =. Очевидно, что |z| = 1, 2i 1 - ix Глава. Классы функций и теория Лиувилля arg z = 2 arg(1 + ix), tg(arg(1 + ix)) = x, что и доказывает нужное равенство. В силу аналитичности это же равенство справедливо и для комплексных значений x. Остальные обратные тригонометрические функции выражаются через арктангенс. Именно, x arcctg x = - arctg x, arcsin x = arctg, arccos x = - arcsin x.

2 1-xКвадратный корень, участвующий в выражении функции arcsin, вы ражается через экспоненту и логарифм: x1/2 = exp ln x. Лемма доказана.

Т.. Для каждого из трансцендентных лиувиллевских классов функций новое и старое определения (см. настоящий параграф и п.. введения) эквивалентны.

Д. В одну сторону теорема очевидна: ясно, что любая функция, принадлежащая некоторому лиувиллевскому классу, понимаемому в смысле нового определения, принадлежит тому же классу, понимаемому в смысле старого определения.

Докажем теорему в другую сторону. Согласно лемме. основные элементарные функции лежат в классах элементарных и обобщенных элементарных функций, понимаемых в смысле нового определения. Из этой же леммы вытекает, что классы функций, представимых в квадратурах, обобщенных квадратурах и k-квадратурах, понимаемые в смысле нового определения, тоже содержат основные элементарные функции. Действительно, независимая переменная x принадлежит этим классам, так как она получается интегрированием константы, ибо x = 1. Вместо операции взятия логарифма, которой нет среди допустимых операций в этих классах, можно ис пользовать операцию интегрирования, так как (ln f ) = f / f.

Нам осталось показать, что лиувиллевские классы функций, понимаемые в смысле нового определения, замкнуты относительно суперпозиций. Дело здесь в следующем: операция взятия суперпозиции коммутирует со всеми операциями, фигурирующими в новых определениях классов функций, за исключением операций дифференцирования и интегрирования. Так, например, результат применения операции exp к суперпозиции g f совпадает с результатом применения операции взятия суперпозиции к функциям exp g и f, т. е. exp(g f ) = (exp g) f. Аналогично ln(g f ) = (ln g) f, (g1 ± g2) f =(g1 f )±(g2 f ), (g1g2) f =(g1 f )(g2 f ), (g1/g2) f = = (g1 f )/(g2 f ). Если функция y удовлетворяет уравнению yn + §. Расширения Лиувилля + g1 yn-1 +... + gn = 0, то функция ( y f ) удовлетворяет уравнению ( y f )n + (g1 f )( y f )n-1 +... + (gn f ) = 0.

Для операций дифференцирования и интегрирования имеем следующие простые коммутационные соотношения с операцией суперпозиции: (g) f = (g f )( f )-1 (если функция f – константа, – то функция (g) f тоже константа), и если y – неопределенный – интеграл функции g, то y f – неопределенный интеграл функции – (g f ) f (другими словами, интегрированию функции g при суперпозиции с функцией f соответствует интегрирование функции g f, домноженной на функцию f ).

Отсюда и вытекает замкнутость лиувиллевских классов, понимаемых в смысле нового определения, относительно суперпозиций.

Действительно, если функция g получается из констант (или из констант и независимой переменной) при помощи операций, которые мы обсуждали выше, то функция g f получается применением тех же или почти тех же операций, как в случае интегрирования и дифференцирования, из функции f. Теорема доказана.

З. Легко видеть, что операцию дифференцирования тоже можно исключить из списков допустимых операций лиувиллевских классов функций. Для доказательства достаточно воспользоваться явным вычислением производных экспоненты и логарифма и правилами дифференцирования формул, включающих суперпозиции и арифметические операции. Исключение операции дифференцирования не помогает в задаче о разрешимости уравнений в конечном виде (иногда исключение дифференцирования дает возможность более инвариантно сформулировать результат, см. вторую формулировку теоремы Лиувилля об абелевых интегралах из § ).

§ 2. Поле K называется дифференциальным полем, если задано аддитивное отображение a a, удовлетворяющее соотношению Лейбница (ab) = ab + ab. Элемент y дифференциального поля K называется константой, если y = 0. Все константы дифференциального поля образуют подполе, которое называется полем констант. Во всех интересующих нас случаях полем констант является поле комплекс Глава. Классы функций и теория Лиувилля ных чисел. Мы всегда в дальнейшем предполагаем, что дифференциальное поле имеет нулевую характеристику и алгебраически замкнутое поле констант. Элемент y дифференциального поля называется экспонентой элемента a, если y = a y; экспонентой интеграла элемента a, если y = ay; логарифмом элемента a, если y = a/a;





интегралом элемента a, если y = a.

Пусть дифференциальное поле K и множество M лежат в некотором дифференциальном поле F. Присоединением к дифференциальному полю K множества M называется минимальное дифференциальное поле KM, содержащее поле K и множество M.

Дифференциальное поле F, содержащее дифференциальное поле K и имеющее то же поле констант, называется элементарным расширением поля K, если существует такая цепочка дифференциальных полей K = F1... Fn = F, что при каждом i = 1,..., n - поле Fi+1 = Fixi получается присоединением к полю Fi элемента xi, причем xi – экспонента или логарифм некоторого элемента ai поля – Fi. Элемент a F называется элементарным над K, K F, если он содержится в каком-либо элементарном расширении поля K.

Обобщенное элементарное расширение, расширение Лиувилля, обобщенное расширение Лиувилля и k-расширение Лиувилля поля K определяются аналогично. При построении обобщенных элементарных расширений допускаются присоединения экспонент, логарифмов и алгебраические расширения. При построении расширений Лиувилля допускаются присоединения интегралов и экспонент интегралов. В обобщенных расширениях Лиувилля и k-расширениях Лиувилля кроме этого допускаются, соответственно, алгебраические расширения и присоединения решений алгебраических уравнений степени не выше k. Элемент a F называется обобщенно-элементарным над K, K F (представимым в квадратурах, в обобщенных квадратурах, в k-квадратурах над K), если a содержится в каком-либо обобщенном элементарном расширении (расширении Лиувилля, обобщенном расширении Лиувилля, k-расширении Лиувилля) поля K.

З. Уравнение для экспоненты интеграла проще, чем уравнение для экспоненты. Поэтому при определении расширений Лиувилля и т. д. используются присоединения экспонент интегралов. Вместо этого можно было бы отдельно присоединять экспоненты и отдельно интегралы.

§. Расширения Лиувилля Перейдем к функциональным дифференциальным полям. Именно с такими полями мы будем иметь дело в книге (хотя некоторые результаты без труда переносятся на абстрактные дифференциальные поля).

Всякое подполе K поля всех мероморфных функций в связной области U на сфере Римана, содержащее все комплексные константы и замкнутое относительно дифференцирования (т. е. если f K, то f K), доставляет пример функционального дифференциального поля. Дадим теперь общее определение. Пусть V, – пара, состоя– щая из связной римановой поверхности V и мероморфного векторного поля на ней. Производная Ли L вдоль векторного поля действует на поле F всех мероморфных функций на поверхности V и задает дифференцирование f = L f в этом поле. Функциональное дифференциальное поле – это любое дифференциальное подполе по– ля F, содержащее все комплексные константы.

Иногда удобнее использовать другое определение дифференцирования поля функций, в котором вместо мероморфного векторно го поля фигурирует мероморфная -форма. Производную f функ ции f можно определить следующей формулой: f = d f / (частное двух мероморфных -форм является корректно определенной мероморфной функцией). Описанное дифференцирование – это произ– водная Ли L вдоль векторного поля, связанного с формой следующим соотношением: значение формы на поле тождественно равно единице.

Для расширения функциональных полей полезна следующая конструкция. Пусть K – некоторое подполе поля мероморфных функ– ций на связной римановой поверхности V, снабженной мероморфной формой, инвариантное относительно дифференцирования f = d f / (т. е. если f K, то f K). Рассмотрим любую связную риманову поверхность W вместе с аналитическим отображением : W V. Фиксируем на W форму =. Дифференциальное поле F всех мероморфных функций на W с дифференцированием = d/ содержит дифференциальное подполе K, состоящее из функций вида f, где f K. Дифференциальное поле K изоморфно дифференциальному полю K, и оно лежит внутри дифференциального поля F. Если удачно подобрать поверхность W, то расширение поля K, изоморфного полю K, можно произвести внутри поля F.

Глава. Классы функций и теория Лиувилля Пусть требуется расширить поле K, скажем, интегралом y некоторой функции f K. Это можно сделать следующим образом. Над римановой поверхностью V можно рассмотреть риманову поверхность W неопределенного интеграла y формы f. По самому определению римановой поверхности W существует естественная проекция : W V, и функция y является однозначной мероморфной функцией на поверхности W. Дифференциальное поле F мероморф ных функций на W с операцией дифференцирования f = d f / содержит как элемент y, так и поле K, изоморфное полю K. Поэтому расширение K y определено и является подполем дифференциального поля F. Именно эту конструкцию расширения мы имеем в виду, когда говорим о расширениях функциональных дифференциальных полей. Эта же конструкция позволяет присоединить к функциональному дифференциальному полю K логарифм, экспоненту, интеграл или экспоненту интеграла от любой функции f из поля K.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.