WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 35 |

§. Накрытия и римановы поверхности Т.. Функция y : MO 1 продолжается до мероморфной функции y : M P1. Разветвленное накрытие : M X, снабженное мероморфной функцией y : M P1, является римановой поверхностью уравнения T = 0. Других римановых поверхностей у уравнения T = 0 нет.

Нам понадобится следующая лемма.

Л. ( ). Всякий корень yуравнения yn + a1 yn-1 +... + an = 0 удовлетворяет неравенству | y0| < max 1, |ai |.

1-n Д. Если | y0|> 1 и y0 = -a1 -... - an y0, то | y0| < < max 1, |ai|.

Переходим к доказательству теоремы. Функции ai мероморфны на M. В проколотой окрестности каждой точки функция y удо влетворяет неравенству |y| < max 1, |ai| и, следовательно, имеет в каждой приклеенной точке либо полюс, либо устранимую особенность.

По построению тройка : MO X \ O является n-листным накрытием и для каждого x0 X \ O множество корней полинома Tx совпадает с образом множества -1(x0) при отображении y : MO P1.

Поэтому разветвленное накрытие : M X, снабженное мероморфной функцией y : M P1, является римановой поверхностью уравнения T = 0.

Пусть разветвленное накрытие 1 : M1 X и функция y1 : M P1 представляют собой другую риманову поверхность этого уравнения. Обозначим через O1 множество -1O. Существует естественное взаимно однозначное отображение h1 : MO M1 \ O1, коммутирующее с проекциями 1 h1 =, y1 h1 = y. Действительно, по определению римановой поверхности множества чисел {y -1(x)} и {y1 -1(x)} совпадают с множеством корней полинома T(x). Легко видеть, что отображение h1 непрерывно и что оно продолжается по непрерывности до аналитического гомеоморфизма h: M M1, коммутирующего с проекциями 1 h =, y1 h = y.

З. Иногда одно многообразие M, фигурирующее в определении римановой поверхности уравнения, называют римановой поверхностью уравнения. Это же многообразие называют римановой поверхностью функции y, удовлетворяющей уравнению.

Когда это не приводит к недоразумению, мы будем пользоваться этой многозначной терминологией.

Глава. Накрытия и теория Галуа Множество O критических значений разветвленного накрытия : M X, связанного с римановой поверхностью уравнения T = 0, может оказаться строго меньше, чем множество O, фигурирующее в его построении (включение O O выполняется всегда). Множе ство O называется множеством ветвления уравнения T = 0. Над точкой a X \ O уравнение Ta = 0 может иметь кратные корни, однако в поле ростков мероморфных функций в точке a X \ O уравнение T = 0 имеет лишь некратные корни и их число равно степени уравнения T = 0. Каждый из мероморфных ростков в точке a, удовлетворяющих уравнению T = 0, соответствует точке римановой поверхности уравнения, лежащей над точкой a.

§ 3. Пусть : M X – конечнолистное разветвленное накрытие. Тео– рия Галуа и теорема существования Римана позволяют описать связь поля K(M) мероморфных функций на M с полем K(X) мероморфных функций на X. Поле K(M) является алгебраическим расширением поля K(X), и каждое алгебраическое расширение поля K(X) получается таким способом. Этот параграф посвящен связи между конечнолистными разветвленными накрытиями над многообразием X и алгебраическими расширениями поля K(X).

В п.. определяется поле Pa(O), состоящее из мероморфных ростков в точке a X, которые мероморфно продолжаются до конечнозначных функций на X \ O, имеющих алгебраические особенности в точках множества O.

В п.. рассматривается действие группы 1(X \ O, a) на поле Pa(O) и к действию этой группы автоморфизмов применяются результаты теории Галуа. Описывается соответствие между подполями поля Pa(O), являющимися алгебраическими расширениями поля K(X), и подгруппами конечного индекса в фундаментальной группе 1(X \ O, a). Доказывается, что это соответствие является взаимно однозначным (в доказательстве кроме теории Галуа используется теорема существования Римана). Показывается, что риманова поверхность уравнения, ветвление которой находится над множеством O, связна, если и только если уравнение непри §. Накрытия и алгебраические расширения водимо. При этом поле мероморфных функций на римановой поверхности неприводимого уравнения совпадает с алгебраическим расширением поля K(X), полученным присоединением корня этого уравнения.

В п.. показывается, что поле мероморфных функций на всяком связном разветвленном конечнолистном накрытии над X является алгебраическим расширением поля X, причем разным накрытиям соответствуют разные расширения.

.. Поле Pa(O) ростков в точке a алгебраических функций, ветвящихся над множеством O. Пусть X – связное комплексное – многообразие, O – дискретное подмножество в X и a – отмеченная – – точка в X, не принадлежащая множеству O.

Обозначим через Pa(O) совокупность ростков мероморфных функций в точке a, обладающих следующими свойствами. Росток a принадлежит Pa(O), если ) росток a мероморфно продолжается вдоль любой кривой, начинающейся в точке a и лежащей в X \ O;

) для ростка при a существует подгруппа G0 1(X, a) конечного индекса в группе 1(X \ O, a), такая что при продолжении ростка a вдоль кривой из подгруппы G0 получается исходный росток a;

) многозначная аналитическая функция на X \ O, получающаяся при продолжении ростка a, имеет в точках множества O алгебраические особые точки.

Поговорим подробнее о свойстве. Пусть : [0, 1] X – любая – кривая, идущая из точки a в особую точку o O, (0) = a, (1) = o, по области X \ O, т. е. (t) X \ O при t < 1. Свойство означает, что для значений параметра t, достаточно близких к единице, t0 < t < 1, ростки, полученные при мероморфном продолжении a вдоль кривой до точки t, будут аналитическими и что они в малой проколотой окрестности Vo точки o определят k-значную аналитическую функцию. Ограничение функции на малый проколотый коор динатный диск D|u|



Глава. Накрытия и теория Галуа Л.. Множество ростков Pa(O) является полем. На поле Pa(O) действует фундаментальная группа G области X \ O при помощи операции мероморфного продолжения. Полем инвариантов относительно этого действия является поле мероморфных функций на многообразии X.

Д. Пусть ростки 1,a и 2,a лежат в множестве Pa(O) и не меняются при продолжениях вдоль подгрупп G1, G2 конечного индекса в группе G = 1(X \ O, a). Тогда ростки 1,a ± 2,a, 1,a2,a и 1,a/2,a (росток 1,a/2,a определен, если 2,a не равен тождественно нулю) мероморфно продолжаются вдоль любой кривой, начинающейся в точке a и лежащей в области X \ O, и не меняются при продолжении вдоль подгруппы G1 G2 конечного индекса в группе G = 1(X \ O, a).

Многозначные функции, определенные этими ростками, имеют алгебраические особенности в точках множества O, так как ростки функций, представимых рядами Пюизо, образуют поле. (Разумеется, нельзя производить арифметические операции над многозначными функциями. Однако для фиксированной кривой, входящей в точку 0, можно производить арифметические операции над фиксированными ветвями функций, раскладывающихся в ряды Пюизо. В результате получится ветвь функции, представимой рядом Пюизо.) Итак, мы показали, что Pa(O) является полем. Мероморфное продолжение сохраняет арифметические операции. Поэтому фундаментальная группа G действует на Pa(O) автоморфизмами. Поле инвариантов состоит из ростков поля Pa(O), являющихся ростками мероморфных функций в области X \ O. В точках множества O эти однозначные функции имеют алгебраические особенности и являются, следовательно, мероморфными функциями на многообразии X. Лемма доказана.

.. Теория Галуа действия фундаментальной группы на поле Pa(O). В этом пункте мы применим теорию Галуа к действию фундаментальной группы 1(X \ O, a) на поле Pa(O).

Т... Каждый элемент a поля Pa(O) алгебраичен над полем K(X).

. Множество ростков в точке a, удовлетворяющих тому же неприводимому уравнению, что и росток a, совпадает с орбитой ростка a при действии группы G.

§. Накрытия и алгебраические расширения. Росток a лежит в поле, полученном присоединением к полю K(X) элемента fa поля Pa(O), если и только если при действии группы G стационарная группа ростка a содержит стационарную группу ростка fa.

Доказательство п. и получается применением теоремы. из главы, п. – применением теоремы. из главы.

– Пункт теоремы. можно переформулировать так.

У.. Мероморфный росток в точке a лежит в поле Pa(O), если и только если он удовлетворяет неприводимому уравнению T = 0, множество точек ветвления которого содержится в множестве O.

Пункт теоремы. эквивалентен следующему утверждению.

У.. Уравнение T = 0, множество точек ветвления которого содержится в множестве O, неприводимо, если и только если риманова поверхность этого уравнения связна.

Д. Пусть f : M X – риманова поверхность – уравнения, множество точек ветвления которого содержится в множестве O. Согласно п. теоремы уравнение неприводимо, если и -только если многообразие M \ f (O) связно. Действительно, связность накрывающего пространства эквивалентна тому, что слой -F = f (a) лежит в одной компоненте связности накрывающего пространства. Это, в свою очередь, эквивалентно транзитивности действия группы монодромии на слое F. Осталось заметить, что многообразие M связно, если и только если связно многообразие -M \ f (O), полученное выбрасыванием из M дискретного подмножества.

У.. Подполе поля Pa(O) является нормальным расширением поля K(X), если и только если оно получено присоединением к K(X) всех ростков в точке a многозначной функции на X, удовлетворяющих неприводимому алгебраическому уравнению T = над K(X), ветвление которого содержится в O. Группа Галуа этого нормального расширения изоморфна группе монодромии римановой поверхности уравнения T = 0.

Д. Нормальное расширение всегда получается присоединением всех корней неприводимого уравнения. В ситуации утверждения ветвление этого уравнения должно содержаться в O. Как группа Галуа нормального расширения, так и группа монодромии уравнения T = 0 изоморфны образу фундаментальной Глава. Накрытия и теория Галуа группы 1(X \ O, a) на орбите ее действия на поле Pa(O), состоящей из всех ростков в точке a, удовлетворяющих уравнению T = 0.

Рассмотрим риманову поверхность уравнения T = 0, которому удовлетворяет росток a Pa(O). Точки этой римановой поверхности, лежащие над точкой a, соответствуют корням уравнения T =0 в поле Pa(O). Росток a – один из этих корней. Итак, мы сопоставили – каждому ростку a поля Pa(O), во-первых, разветвленное накрытие : M X, множество критических точек которого содержится a a в O, и, во-вторых, отмеченную точку a M, лежащую над точкой a a (мы обозначаем символом a точку римановой поверхности, соответствующую ростку a). Пункт теоремы. можно переформулировать следующим образом.

У.. Росток a лежит в поле, полученном присоединением к полю K(X) элемента fa поля Pa(O), если и только если разветвленное накрытие : (M, a) (X, a) подчинено разa a ветвленному накрытию f : (M, fa) (X, a).





fa a Действительно, согласно классификации разветвленных накрытий с отмеченными точками накрытие, соответствующее ростку a, подчинено накрытию, соответствующему ростку fa, если и только если стационарная группа ростка a при действии фундаментальной группы 1(X \ O) содержит стационарную группу ростка fa.

С.. Поля, полученные присоединением к полю K(X) элементов a и fa поля Pa(O), совпадают, если и только если разветвленные накрытия с отмеченными точками : (M, a) a a (X, a) и f : (M, fa) (X, a) эквивалентны.

fa a Верно ли, что для любой подгруппы G, имеющей конечный индекс в фундаментальной группе 1(X \ O), существует росток fa Pa(O), стационарная группа которого равна G Ответ на этот вопрос положителен. Одной теории Галуа для доказательства этого факта недостаточно: чтобы алгебраические рассуждения было к чему применять, необходимо иметь много мероморфных функций на многообразии. Нам будет достаточно Теория Галуа позволяет получить следующий результат. Пусть для подгруппы G ответ на вопрос положителен, и пусть fa Pa(O) – росток, стационарная группа кото– рого равна G. Тогда для всякой группы, содержащей группу H, где H – наибольший – нормальный делитель, лежащий в группе G, ответ тоже положителен. Для доказательства нужно применить основную теорему теории Галуа для минимального расширения Галуа поля K(X ), содержащего росток fa.

§. Накрытия и алгебраические расширения сформулированного ниже факта, который мы будем называть теоремой существования Римана и применять без доказательства.

(Доказательство использует функциональный анализ и совсем не алгебраично. Отметим, что есть двумерные компактные комплексные аналитические многообразия, единственными мероморфными функциями на которых являются константы.) Т Р. Для всякого конечного подмножества любого одномерного аналитического многообразия существует функция, мероморфная на многообразии, аналитичная в окрестности подмножества и принимающая в разных точках подмножества разные значения.

Т.. Для любой подгруппы G конечного индекса в фундаментальной группе 1(X \ O) существует росток fa Pa(O), стационарная группа которого равна G.

Д. Пусть 1(M, b) (X, a) – конечнолистное – разветвленное накрытие над X, критические значения которого лежат в O и которое соответствует подгруппе G 1(X \ O). Обо-значим через F = f (a) слой накрытия над точкой a. По теореме существования Римана на многообразии M существует мероморфная функция, принимающая различные значения в точках множества F. Пусть -1 – росток отображения, обратный к проекции – b,a и переводящий точку a в точку b. Росток функции f -1 по b,a построению лежит в поле Pa(O), и его стационарная группа при действии фундаментальной группы 1(X \ O) равна группе G.

Итак, мы показали, что классификация алгебраических расширений поля K(X) мероморфных функций на многообразии X, содержащихся в поле Pa(O), эквивалентна классификации разветвленных конечнолистных накрытий : (M, b) (X, a), критические значения которых лежат в множестве O. И те, и другие объекты классифицируются подгруппами конечного индекса в фундаментальной группе 1(X \ O, a). В частности, справедлива следующая теорема.

Т.. Соответствие между подгруппами конечного индекса в фундаментальной группе и алгебраическими расширениями поля Ka(M), лежащими в поле Pa(O), взаимно однозначно. Если подгруппа G1 лежит в подгруппе G2, то поле, соответствующее группе G2, лежит в поле, соответствующем подгруппе G1. Подполе в Pa(O) является расширением Галуа поля Ka(X), если ему соответствует некоторый нормальный делитель H фундаментальной Глава. Накрытия и теория Галуа группы. Группа Галуа этого расширения изоморфна факторгруппе 1(X \ O, a)/H.

.. Поле функций на разветвленном накрытии. Здесь мы показываем, что неприводимые алгебраические уравнения над полем K(X) задают изоморфные расширения этого поля, если и только если римановы поверхности этих уравнений задают эквивалентные разветвленные накрытия над многообразием X.

Из утверждения. вытекает такое следствие.

С.. Алгебраическое уравнение над полем K(X) неприводимо, если и только если его риманова поверхность связна.

Пусть : (M, b) (X, a) – конечнолистное накрытие с отмечен– ными точками, многообразие M связно и точка a не принадлежит множеству критических значений отображения. Применим результаты о поле Pa(O) и его подполях для описания поля мероморфных функций на M. Здесь полезна следующая конструкция.

Обозначим через -1 росток в точке a обратного отображения b,a к проекции, переводящего точку a в точку b. Пусть Kb(M) – поле – ростков в точке b мероморфных функций на многообразии M. Это поле изоморфно полю K(M). Отображение (-1) вкладывает поле b,a Kb(M) в поле Pa(O). Выбирая различные прообразы b точки a, мы получим различные вложения поля K(M) в поле Pa(O).

Пусть уравнение T = 0 неприводимо над полем K(X). Тогда его риманова поверхность M связна и мероморфные функции на ней образуют поле K(M). Поле K(M) содержит подполе (K(X)), изоморфное полю мероморфных функций на многообразии M. Пусть y : M P1 – мероморфная функция, фигурирующая в определении – римановой поверхности. Справедливо следующее утверждение.

У.. Поле K(M) мероморфных функций на поверхности M порождено функцией y над своим подполем (K(X)).

Функция y удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению T = 0 над подполем (K(X)).

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.