WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 35 |

Около любой точки o O можно взять малую проколотую окрестность U, не содержащую других точек множества O. Над проколотой окрестностью U возникает накрытие f : V U, где V = -= f (U). Многообразие V разбивается на компоненты связности Vi. Применим операцию заклеивания дырок. Над точкой o O приклеится конечное число точек, равное числу компонент связности многообразия V.

Л.. В результате применения операции заклеивания дырок к k-листному накрытию : M U, где U = X \ O, получается комплексное многообразие M, снабженное собственным аналитиче ским отображением : M X степени k.

Д. Нужно проверить собственность отображения. Прежде всего, это отображение аналитическое, поэтому образ каждого открытого множества при этом отображении открыт.

Далее, число прообразов любой точки x0 X при отображении, посчитанное с учетом кратностей, равно k. Поэтому отображение собственно.

.. Конечнолистные разветвленные накрытия с фиксированным множеством ветвления. В этом пункте классифицируются конечнолистные разветвленные накрытия с фиксированным множеством ветвления.

Пусть X – связное комплексное многообразие с выделенным дис– кретным подмножеством O и отмеченной точкой a O. Тройку, со/ стоящую из комплексных многообразий M и X и собственного аналитического отображения : (M, b) (X, a), все критические значения которого содержатся в множестве O, будем называть разветвленным накрытием над X с ветвлением, лежащим над O. Мы рассматриваем разветвленные накрытия с точностью до левой эквивалентности. Другими словами, две тройки 1 : M1 X и 2 : M2 X считаются одинаковыми, если существует гомеоморфизм h: M M2, согласованный с проекциями 1 и 2, т. е. 1 = h 2. Гомеоморфизм h, устанавливающий эквивалентность разветвленных Глава. Накрытия и теория Галуа накрытий, автоматически является аналитическим отображением из многообразия M1 в многообразие M2. Это доказывается так же, как утверждение..

Проколом ветвлений назовем операцию, сопоставляющую связному, разветвленному над O накрытию : M X неразветвленное накрытие : M \ O X \ O над X \ O, где O – прообраз множества – O при отображении. Непосредственно из определений вытекает следующая лемма.

Л.. Операция прокола ветвлений и операция заклейки дырок взаимно обратны друг другу. Они устанавливают изоморфизм категории разветвленных накрытий над X с ветвлением, лежащим над множеством O, и категории конечнолистных накрытий над X \ O.

Все определения и утверждения о накрытиях автоматически переносятся на разветвленные накрытия: достаточно применять лишь аргументы, использованные при доказательстве утверждения.. Поэтому мы ограничимся формулировками определений и утверждений о разветвленных накрытиях.

Начнем с определений, относящихся к разветвленным накрытиям.

Разветвленные накрытия f1 : M1 X, f2 : M2 X с ветвлением, лежащим над O, называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм h: M1 M2, такой что f1 = f2 h. (При этом гомеоморфизм h автоматически является аналитическим.) Преобразованием наложения разветвленного накрытия : M X с ветвлением, лежащим над O, называется гомеоморфизм пространства M в себя, коммутирующий с отображением проекции. (Преобразование наложения автоматически является аналитическим.) Разветвленное накрытие : M X со связным многообразием M и с ветвлением, лежащим над O, называется нормальным, если группа его преобразований наложения транзитивно действует на слоях отображения. Группа преобразований наложения автоматически является группой аналитических преобразований пространства M.

Разветвленное накрытие f2 : M2 X с ветвлением, лежащим над O, называется подчиненным нормальному разветвленному накрытию f1 : M1 X с ветвлением, лежащим над O, если существует разветвленное накрытие h: M1 M2 с ветвлением, лежащим над §. Накрытия и римановы поверхности -f2 (O), такое что f1 = f2 h. (При этом отображение h автоматически оказывается аналитическим.) Перейдем к определениям, относящимся к накрытиям с отмеченными точками.

Тройка : (M, b) (X, a), в которой : M X – разветвленное – накрытие с ветвлением, лежащим над O, и a X, b M – отмечен– ные точки, такие что a O и (b)= a, называется разветвленным на/ крытием с отмеченными точками с ветвлением, лежащим над O.

Разветвленное накрытие f2 : (M2, b2) (X, a) с ветвлением, лежащим над O, называется подчиненным разветвленному накрытию f1 : (M1, b1) (X, a) с ветвлением, лежащим над O, если существует разветвленное накрытие h: (M1, b1) (M2, b2) с ветвлением, лежа-щим над f2 (O), такое что f1 = f2 h. (При этом отображение h автоматически оказывается аналитическим.) В частности, такие накрытия называются эквивалентными, если отображение h – гомеомор– физм. (Гомеоморфизм h автоматически является бианалитическим соответствием между M1 и M2.) Операция прокола ветвлений сопоставляет разветвленному накрытию f : (Y, b) (X, a) с отмеченными точками и разветвленному накрытию : M X с ветвлениями, лежащими над O, накрытие -с отмеченными точками f : (Y \ f (O), b) (X \ O, a) и накрытие : M \ -1(O) X \ O. С этими накрытиями над X \ O связаны подгруппа конечного индекса в группе 1(X \ O, a) и, соответственно, класс сопряженных подгрупп конечного индекса в этой группе.

Будем говорить, что эта группа соответствует разветвленному накрытию f : (Y, b) (X, a) с отмеченными точками и что этот класс сопряженных подгрупп соответствует разветвленному накрытию : M X.

Рассмотрим всевозможные разветвленные накрытия над многообразием X с отмеченной точкой a со связным накрывающим многообразием, имеющие ветвление, лежащее над множеством O, a O. Перенося доказанные утверждения о накрытиях с отмеченной / точкой на разветвленные накрытия, получим, что ) такие накрытия классифицируются подгруппами конечного индекса в группе 1(X \ O, a);



) такое накрытие, соответствующее подгруппе G2, подчинено такому накрытию, соответствующему подгруппе G1, если и только если выполняется включение G2 G1;

Глава. Накрытия и теория Галуа ) такое накрытие нормально, если и только если соответствующая ему подгруппа фундаментальной группы 1(X \ O, a) является ее нормальным делителем H. Группа наложения нормального разветвленного накрытия изоморфна группе 1(X \ O, a)/H.

Рассмотрим всевозможные разветвленные накрытия над многообразием X со связным накрывающим многообразием, имеющие ветвление, лежащее над множеством O, a O. Перенося доказан/ ное утверждение о накрытиях на разветвленные накрытия, получим, что ) такие разветвленные накрытия классифицируются классами сопряженности подгрупп конечного индекса в группе 1(X \ O, a).

На разветвленные накрытия дословно переносится описание разветвленных накрытий, подчиненных данному нормальному разветвленному накрытию с группой наложения N. Сопоставим подчиненному разветвленному накрытию с отмеченной точкой подгруппу группы наложения N, равную образу при гомоморфизме факторизации (X, a) N подгруппы фундаментальной группы, соответствующей разветвленному накрытию. Для описанного соответствия справедлива следующая теорема.

Т.. Соответствие между разветвленными накрытиями с отмеченными точками, подчиненными заданному нормальному накрытию, и подгруппами группы наложения этого нормального накрытия взаимно однозначно.

Подчиненные разветвленные накрытия с отмеченными точками эквивалентны как разветвленные накрытия, если и только если соответствующие им подгруппы группы наложения сопряжены в группе наложения.

Подчиненное разветвленное накрытие является нормальным, если и только если оно соответствует некоторому нормальному делителю M группы наложения N. Группа наложения подчиненного нормального накрытия изоморфна факторгруппе N/M.

На разветвленные накрытия переносится понятие поднакрытия.

Пусть f : M X – нормальное разветвленное накрытие (мы пред– полагаем, как обычно, что комплексное многообразие M связно).

Промежуточным разветвленным накрытием между M и X называется комплексное многообразие Y вместе с отображением «на» hY : M Y и проекцией fY : Y X, такими что f = fY hY.

§. Накрытия и римановы поверхности hСкажем, что два промежуточных разветвленных накрытия M h1 f1 h2 f- Y1 - X и M - Y2 - X эквивалентны как разветвленные под накрытия накрытия f : M X, если существует аналитическое отображение h: Y1 Y2, делающее диаграмму коммутативной, т. е.

такое, что h2 = h h1 и f1 = f2 h. Скажем, что два разветвленных поднакрытия эквивалентны как разветвленные накрытия над X, если существует аналитическое отображение h: Y1 Y2, такое что f1 = f2 h (не требуется, чтобы отображение h делало верхнюю часть диаграммы коммутативной).

Классификация промежуточных разветвленных накрытий как разветвленных поднакрытий эквивалентна классификации подчиненных накрытий с отмеченными точками.

Действительно, если в многообразии M отметить какую-либо точку b, лежащую над точкой a, то в промежуточном накрывающем многообразии Y возникает инвариантно определенная отмеченная точка hY (a).

Переформулируем утверждение..

У.. Промежуточные разветвленные накрытия для нормального разветвленного накрытия с группой наложения N:

) рассматриваемые как разветвленные поднакрытия, классифицируются подгруппами группы N;

) рассматриваемые как разветвленные накрытия над X, классифицируются классами сопряженных подгрупп группы N.

Подчиненное разветвленное накрытие является нормальным, если и только если оно соответствует нормальному делителю H группы наложения N.

Группа наложения подчиненного разветвленного нормального накрытия изоморфна факторгруппе N/H.

Приведем еще одно описание всех разветвленных накрытий, подчиненных заданному нормальному разветвленному накрытию.

Пусть : M X – нормальное конечнолистное разветвленное на– крытие, группа преобразований наложения которого равна N.

Группа преобразований наложения N является группой аналитических преобразований многообразия M, коммутирующих с проекцией. Она индуцирует транзитивную группу преобразований слоя отображения. Преобразования из группы N могут иметь изолированные неподвижные точки, лежащие над множеством критических точек отображения.

Глава. Накрытия и теория Галуа Л.. Множество MN орбит действия группы наложения N на разветвленном нормальном накрытии M находится во взаимно однозначном соответствии с многообразием X.

Д. На слое отображения : M X над каждой точкой x0 O преобразования наложения действуют, по опреде/ лению, транзитивно. Пусть o O – точка в множестве ветвления.

– Пусть U – малый проколотый координатный диск вокруг точки o, – не содержащий точек множества O. Прообраз -1(U) области U разбивается на компоненты связности Vi, являющиеся проколотыми окрестностями прообразов bi точки o. Группа преобразований наложения транзитивно действует на областях Vi. Действительно, каждая из этих областей пересекается со слоем -1(c), где c – любая – точка из области U, а группа N транзитивно действует на слое -1(c). Из транзитивности действия N на компонентах Vi вытекает транзитивность действия N на слое -1(o).

Т.. Множество орбит M/G аналитического многообразия под действием конечной группы G аналитических преобразований имеет структуру аналитического многообразия.





Д.. Стационарная группа Gx любой точки x M при действии группы G циклическая. Действительно, рассмотрим гомоморфизм группы Gx в группу линейных преобразований одномерного векторного пространства, сопоставляющий преобразованию его дифференциал в точке x0. Это отображение не может иметь ядра: если начальные члены ряда Тейлора преобразования f есть f (x0 + h) = x0 + h + chk +..., то начальные члены ряда Тейлора [l] [l] l-й итерации f преобразования f есть f = x0 + h + lchk +... Поэтому никакая итерация преобразования f не будет тождественным преобразованием, что противоречит конечности группы Gx. Конечная группа линейных преобразований пространства 1 – цикличе– ская группа, порожденная умножением на один из первообразных корней из единицы m степени m, где m – порядок группы Gx.

–. Стационарную группу Gx точки x0 можно линеаризовать, т. е.

можно ввести локальную координату u около точки x0, такую что преобразования группы Gx, записанные в этой системе координат, линейны. Пусть f – образующая группы Gx. Тогда выполняется – [m] равенство f Id, где Id – тождественное преобразование. Диф– ференциал функции f в точке x0 – это умножение на m, где m – – – один из первообразных корней из единицы степени m. Рассмот §. Накрытия и римановы поверхности рим любую функцию, дифференциал которой не равен нулю в точке x0. С отображением f связан линейный оператор f на пространстве функций. Напишем резольвенту Лагранжа R () m функции для действия оператора f : R () = -k( f )k().

m m m Функция u = R () является собственным вектором преобразоm вания f с собственным числом m. Дифференциалы в точке x0 у функций u и совпадают (это проверяется простым вычислением). Отображение f в координате u становится линейным, так как f u = mu.

. Теперь просто ввести аналитическую структуру в пространстве орбит. Рассмотрим какую-либо орбиту. Пусть стационарные группы точек орбиты тривиальны. Тогда малая окрестность точки орбиты каждую орбиту пересекает не более чем один раз. Локальная координата около этой точки параметризует соседние орбиты.

Если у точки орбиты есть нетривиальная стационарная группа, то около точки можно выбрать локальную координату u так, чтобы в этой системе координат стационарная группа действовала линейно, умножая u на степени корня m. Соседние орбиты параметризуются функцией t = um. Теорема доказана.

С каждой подгруппой G группы N свяжем аналитическое многообразие MG, являющееся пространством орбит действия группы G.

Отождествим пространство MN с пространством X. При этом отождествлении отображение факторизации fe,N : M MN превращается в исходное разветвленное накрытие f : M X.

Пусть G1, G2 – две подгруппы в N, и пусть выполнено включение – G1 G2. Тогда определено отображение fG,G2 : MG MG, сопостав1 1 ляющее орбите группы G1 содержащую ее орбиту группы G2. Легко видеть, что ) отображение fG,G2 является разветвленным накрытием;

) если G1 G2 G3, то fG,G3 = fG,G3 fG,G2;

1 2 ) отображение fG,N : MG MN при отождествлении MN с X переходит в разветвленное накрытие, подчиненное исходному разветвленному накрытию fe,N : M MN (так как fe,N = fG,N fe,G);

) если G – нормальный делитель в N, то разветвленное накры– тие fG,N : MG MN нормально и его группа наложения равна N/G.

С промежуточным разветвленным накрытием fG,N : MG MN fe,G fG,N можно связать либо тройку пространств M - MG - MN с отобра Глава. Накрытия и теория Галуа fG,N жениями fe,G и fG,N, либо пару пространств MG - MN с отображением fG,N. Эти две возможности соответствуют рассмотрению промежуточного накрытия как разветвленного поднакрытия и как разветвленного накрытия над MN.

.. Риманова поверхность алгебраического уравнения над полем мероморфных функций. Наша цель – геометрическое опи– сание алгебраических расширений поля K(X) мероморфных функций на связном одномерном комплексном многообразии X. В этом пункте мы построим риманову поверхность алгебраического уравнения над полем K(X).

Пусть T = yn + a1 yn-1 +... + an – полином от переменной y над – полем K(X) мероморфных функций на X. Мы будем предполагать, что при разложении полинома T на неприводимые множители каждый множитель встречается с единичной кратностью. В этом случае дискриминант D полинома T является ненулевым элементом поля K(X). Обозначим через O дискретное подмножество в X, содержащее все полюсы коэффициентов ai и все нули дискриминанта D. Для всякой точки x0 X \ O полином Tx = yn + a1(x0) yn-1 +... + an(x0) имеет в точности n различных корней. Римановой поверхностью уравнения T = 0 называются n-листное разветвленное накрытие : M X и мероморфная функция y : M P1, такие что для каждой точки x0 X \ O множество корней полинома Tx = 0 совпадает с множеством значений функции y на прообразе -1(x0) точки xпри проекции. Покажем, что риманова поверхность уравнения существует и единственна (с точностью до аналитического гомеоморфизма, коммутирующего с проекциями в X и функциями y).

В декартовом произведении (X \ O) 1 определены проекция на первый сомножитель и функция y, являющаяся проекцией на второй сомножитель. Рассмотрим в декартовом произведении гиперповерхность MO, заданную уравнением T((a), y(a)) = 0. Частная производная T по y в любой точке гиперповерхности MO не равна нулю, так как полином T(a) имеет некратные корни. По теореме о неявной функции гиперповерхность MO неособа и ее проекция на X \ O является локальным гомеоморфизмом. На многообразии MO определены проекция : MO X \ O и функция y : MO 1. Применяя к накрытию : MO X \ O операцию заклеивания дырок, получим n-листное разветвленное накрытие : M X.

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.