WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 35 |

Подчиненное накрытие является нормальным, если и только если оно соответствует нормальному делителю M группы наложения N. Группа наложения подчиненного нормального накрытия изоморфна факторгруппе N/M.

Приведем еще одно описание всех промежуточных накрытий для нормального накрытия f : M X с группой наложения N. Группа N является группой гомеоморфизмов пространства M, обладающей следующим свойством дискретности: около каждой точки пространства M существует окрестность, образы которой под действием различных элементов группы N не пересекаются. В качестве такой окрестности около точки z M достаточно взять компоненту связности прообраза при проекции f : M X связной и односвязной окрестности точки f (z) X.

Для каждой подгруппы G группы N рассмотрим факторпространство MG пространства M по действию группы G. Точка в MG – это – орбита действия группы G на пространстве M. Топология в MG индуцируется из топологии в пространстве M. Окрестность орбиты состоит из всех орбит, лежащих в инвариантном открытом множестве U пространства M, содержащем исходную орбиту и таком, что компонента связности множества U пересекает каждую орбиту не более чем по одной точке. Пространство MN можно отождествить с пространством X, для этого надо отождествить точку x X с прооб-разом f (x) M, являющимся орбитой действия группы преобразований наложения N на M. При таком отождествлении отображение факторизации fe,N : M MN превращается в исходное накрытие f : M X.

Пусть G1, G2 – две подгруппы в N, и пусть выполнено включение – G1 G2. Тогда определено отображение fG,G2 : MG MG, сопостав1 1 ляющее орбите группы G1 содержащую ее орбиту группы G2. Легко видеть, что Глава. Накрытия и теория Галуа ) отображение fG,G2 является накрытием, ) если G1 G2 G3, то fG,G3 = fG,G3 fG,G2, 1 2 ) отображение fG,N : MG MN при отождествлении MN с X переходит в накрытие, подчиненное исходному накрытию fe,N : M MN (так как fe,N = fG,N fe,G), ) если G – нормальный делитель в N, то накрытие fG,N : MG MN – нормально и его группа наложения равна N/G.

С промежуточным накрытием fG,N : MG MN можно связать либо fe,G fG,N тройку пространств M - MG - MN с отображениями fe,G и fG,N, fG,N либо пару пространств MG - MN с отображением fG,N. Эти две возможности соответствуют рассмотрению промежуточного накрытия как поднакрытия и как накрытия над MN.

.. Аналогия между теорией Галуа и классификацией накрытий. В этом пункте обсуждается формальная аналогия между накрытиями и теорией Галуа.

В основной теореме теории Галуа рассматриваются алгебраические расширения основного поля, промежуточные между основным полем и его заданным расширением Галуа (а не все расширения основного поля одновременно).

В теории накрытий можно рассматривать накрытия базы, промежуточные между базой и ее заданным нормальным накрытием (а не все накрытия базы одновременно).

Классификации промежуточных накрытий как поднакрытий в теории Галуа соответствует классификация промежуточных полей как подполей расширения P. Чтобы это увидеть, нужно в утверждении. слова «нормальное накрытие», «группа наложения», «поднакрытие», заменить соответственно на слова «расширение Галуа», «группа Галуа», «промежуточное поле».

В § мы рассмотрим конечнолистные разветвленные накрытия над связными одномерными комплексными многообразиями. Разветвленные накрытия (с отмеченными точками или без отмеченных точек) над многообразием X, ветвления которых лежат над заданным дискретным множеством O, классифицируются так же, как накрытия (с отмеченными точками или без отмеченных точек) над X \ O (см. п..). Конечнолистные разветвленные накрытия соответствуют алгебраическим расширениям поля мероморфных функций на X, для которых основная теорема теории Галуа и классификация §. Накрытия и римановы поверхности поднакрытий не просто формально аналогичны, но тесно связаны между собой.

Отметим, что классификация промежуточных накрытий как накрытий над базой тоже имеет формальную аналогию в теории Галуа. Она аналогична классификации алгебраических расширений основного поля, которое можно вложить в заданное расширение Галуа (в этой классификации не учитывается, как именно алгебраическое расширение вкладывается в заданное расширение Галуа).

§ 2. В этом параграфе рассматриваются конечнолистные разветвленные накрытия над одномерными комплексными многообразиями.

Описывается операция пополнения накрытий над одномерным комплексным многообразием X, из которого удалено дискретное множество O. Она одинаково применима как к накрытиям, так и к накрытиям с отмеченными точками. В результате из конечнолистного накрытия над X \ O получается разветвленное конечнолистное накрытие над X.

Локальный случай, в котором пополняются накрытия над открытым проколотым диском, рассматривается в п... В локальном случае операция пополнения накрытий помогает доказать разложимость в ряды Пюизо многозначных функций, имеющих алгебраическую особенность.

В п.. рассматривается глобальный случай. Сначала определяется вещественная операция заклеивания дырок. Затем показывается, что полученное в результате применения вещественной операции заклеивания дырок разветвленное накрытие обладает естественной структурой комплексного многообразия.

В п.. классифицируются конечнолистные разветвленные накрытия с фиксированным множеством ветвления. Классификация почти дословно повторяет аналогичную классификацию неразветвленных накрытий. Поэтому мы ограничиваемся лишь формулировками результатов. Мы доказываем, что множество орбит действия конечной группы на аналитическом многообразии имеет естественную структуру аналитического многообразия.



Глава. Накрытия и теория Галуа В п.. мы применяем операцию пополнения накрытий для определения римановой поверхности неприводимого алгебраического уравнения над полем K(X) мероморфных функций на многообразии X.

Параграф опирается на результаты §.

.. Заклеивание дырки и ряды Пюизо. Пусть Dr – откры– тый диск радиуса r с центром в точке 0 на комплексной прямой и D = Dr \ {0} – проколотый диск. Для каждого натурального k рас– r смотрим проколотый диск Dq, где q = r1/k, вместе с отображением f : Dq Dr, заданным формулой f (z) = zk.

Л.. Существует единственное связное k-листное накры тие : V Dr над проколотым диском Dr. Это накрытие нормаль но. Оно эквивалентно накрытию f : Dq Dr, где отображение f задано формулой x = f (z) = zk.

Д. Фундаментальная группа области D изоr морфна аддитивной группе целых чисел. В группе только подгруппа k имеет индекс k. Подгруппа k – нормальный делитель в – группе. Накрытие z zk проколотого диска Dq над проколотым диском D нормально и соответствует подгруппе k.

r Пусть : V Dr – связное k-листное накрытие над проколотым – диском Dr. Обозначим через V множество, состоящее из области V, к которой добавлена точка A. Доопределим отображение до отображения множества V на диск Dr, полагая (A) = 0. Введем на множестве V минимальную топологию, в которой ) отождествление множества V \ A с областью V является гомеоморфизмом; ) отображение : V Dr непрерывно.

Л.. Отображение : V Dr левоэквивалентно отображению f : Dq Dr, определенному формулой x = f (z) = zk. В частности, V гомеоморфно открытому диску Dq.

Д. Пусть h: D V – гомеоморфизм, устанав– r ливающий эквивалентность накрытия : V D и стандартного r накрытия f : Dq Dr. Доопределим h до отображения диска Dq в множество V, полагая h(0) = A. Нам надо проверить, что доопределенное отображение h является гомеоморфизмом. Проверим, например, что h – непрерывное отображение. По определению – топологии на V во всякой окрестности точки A есть окрестность V0 вида V0 = -1(U0), где U0 – окрестность точки 0 на комплексной – §. Накрытия и римановы поверхности прямой. Пусть W0 Dq – открытое множество, определенное форму– -лой W0 = f U0. Имеем h-1V0 = W0, что доказывает непрерывность отображения h в точке 0. Непрерывность отображения h-1 доказывается аналогично.

Воспользуемся обозначениями из предыдущей леммы.

Л.. На многообразии V существует единственная структура аналитического многообразия, для которого отображение : V Dr аналитично. Эта структура индуцируется из аналитической структуры на диске Dq при помощи гомеоморфизма h: Dq V.

Д. Гомеоморфизм h переводит отображение в аналитическое отображение f (z) = zk. Таким образом, аналитическая структура на V, индуцированная при помощи гомеоморфизма h, удовлетворяет условию леммы. Рассмотрим какую-либо другую аналитическую структуру на V. Отображение h: D V вне точки локально представимо в виде h(z) = -1zk и, следовательно, аналитично. Итак, отображение h: D V непрерывно и аналитично всюду, кроме, может быть, точки 0. По теореме об устранимой особенности оно аналитично и в точке 0, и, следовательно, аналитическая структура на V, в которой проекция аналитична, единственна.

Переход от вещественного многообразия V к вещественному многообразию V и переход от накрытия : V D к отображению r : V Dr будем называть вещественной операцией заклеивания дырки. Лемма. показывает, что при заклеивании дырки на многообразии V существует единственная структура комплексного аналитического многообразия, для которого отображение : V Dr аналитично. Переход от комплексного многообразия V к комплексному многообразию V и переход от аналитического накрытия : V D к аналитическому отображению : V Dr будем наr зывать операцией заклеивания дырки. Именно эта операция нам нужна для дальнейшего.

Операция заклеивания дырки тесно связана с определением алгебраической особой точки и с рядами Пюизо. Остановимся на этом подробнее.

Скажем, что аналитический росток a в точке a Dr определяет многозначную функцию в диске Dr с алгебраической особенностью в точке 0, если ) росток a продолжается вдоль кривой, начинающейся в точке a и лежащей в проколотом диске D; ) многозначная r Глава. Накрытия и теория Галуа функция в проколотом диске D, полученная продолжением ростr ка a по кривым, лежащим в D, имеет конечное число k значений;

r ) при приближении к точке 0 многозначная функция a растет не быстрее чем степенным образом, т. е. существуют положительные числа C, N, такие что любое из значений многозначной функции удовлетворяет неравенству |(x)| < C|x|-N.

Л.. Многозначная функция, имеющая алгебраическую особенность в проколотом диске Dr, представима в этом диске рядом Пюизо (x) = cmxm/k.

m>-mД. Если функция аналитически продолжается по всем путям, лежащим в проколотом диске D, и имеет k различr k ных значений, то росток gb = a zb, где bk = a, задает однознач ную функцию в проколотом диске Dq, где q = r1/k. По условию функция g растет не быстрее чем степенным образом при подходе к точ ке 0, поэтому в проколотом диске Dq она представима рядом Лорана g(z) = cmzm. Подставляя в ряд для функции g вместо z функm>-mцию x1/k, получим ряд Пюизо для функции.

.. Отображения аналитического типа и вещественная операция заклеивания дырок. В этом пункте определяется вещественная операция заклеивания дырок. Показывается, что полученное в результате применения вещественной операции заклеивания дырок разветвленное накрытие имеет естественную аналитическую структуру.





Пусть X – одномерное комплексное аналитическое многообра– зие, M – двумерное вещественное многообразие и : M X – не– – прерывное отображение. Скажем, что отображение в точке y M имеет особенность аналитического типа кратности k > 0, если существуют ) связная проколотая окрестность U X точки x = ( y), ) компонента связности области -1(U), являющаяся проколотой окрестностью V M точки y, такие что тройка : V U является k-листным накрытием. Особой точке y естественно приписать кратность k как прообразу точки x: посчитанное с учетом кратностей число прообразов отображения в окрестности особой точки аналитического типа кратности k постоянно и равно k.

§. Накрытия и римановы поверхности Отображение f : M X называется отображением аналитического типа, если в каждой точке оно имеет особенность аналитического типа. Очевидно, что комплексно-аналитическое отображение f : M X комплексного многообразия M в комплексное многообразие X является отображением аналитического типа (если его рассматривать как непрерывное отображение вещественного многообразия M в комплексное многообразие X). Для отображения аналитического типа точка y называется регулярной, если ее кратность равна единице, и особой, если ее кратность больше единицы.

Множество регулярных точек отображения аналитического типа открыто. Отображение около регулярной точки является локальным гомеоморфизмом. Множество OM особых точек отображения аналитического типа является дискретным подмножеством в M.

У.. Пусть M – двумерное многообразие и f : M – X – его отображение аналитического типа в одномерное ана– литическое многообразие X. Тогда в M существует единственная структура аналитического многообразия, для которой отображение f аналитично.

Д. В точках открытого множества M \ OM отображение f является локальным гомеоморфизмом. Этот локальный гомеоморфизм с аналитическим многообразием X превращает M \OM в аналитическое многообразие. Около точек множества OM аналитическую структуру можно ввести так же, как в приклеенных точках при операции заклеивания дырки. Докажем, что других аналитических структур, для которых f аналитично, нет. Пусть M1 и M2 – две – копии многообразия M с разными аналитическими структурами.

Пусть O1 и O2 – выделенные дискретные подмножества в копиях M– и M2 и h: M1 M2 – гомеоморфизм отождествления этих копий.

– Из условия видно, что гомеоморфизм h является аналитическим отображением всюду, кроме дискретного множества O1 M1. По теореме об устранимых особенностях h – биголоморфное отобра– жение. Значит, две аналитические структуры на M совпадают.

Вернемся к операции заклеивания дырок. Пусть M – веществен– ное двумерное многообразие и f : M X – отображение аналитиче– ского типа многообразия M в комплексное многообразие X.

Около точки a X фиксируем локальную координату u, u(a) = 0, задающую обратимое отображение малой окрестности точки a X в малую окрестность нуля на комплексной прямой. Пусть U – про– Глава. Накрытия и теория Галуа образ малого проколотого диска D с центром в точке 0 при отобраr жении u. Пусть среди компонент связности прообраза -1(U) есть компонента V, ограничение отображения на которую является k-листным накрытием, где k – положительное число. В этом случае – применима вещественная операция заклеивания дырки. Она состоит в следующем. Из многообразия M вырезается окрестность V.

Накрытие : V U заменяется на отображение : V U при помощи описанной выше вещественной операции заклеивания дырки. Многообразие V лежит в многообразии V и отличается от V одной точкой. Вещественная операция заклеивания дырки состоит в приклеивании к многообразию M вместо вырезанной окрестности V окрестности V вместе с определенным на ней отображением : V X.

Вещественная операция заклеивания дырок заключается в применении вещественной операции заклеивания дырки сразу ко всем дыркам одновременно. Она определена корректно: если V – ком– понента связности прообраза -1(U) проколотой окрестности U точки o X и отображение : V U – конечнолистное накрытие, – то операция заклеивания всех дырок добавляет к замыканию области V ровно одну точку, лежащую над точкой o. Топология около этой новой точки определяется так же, как и при операции заклеивания одной дырки.

Операция заклеивания дырок – это комплексификация вещест– венной операции заклеивания дырок. Операция заклеивания дырок применима к комплексному аналитическому многообразию M, снабженному аналитическим отображением f : M X. Для этого тройку f : M X надо рассматривать как отображение аналитического типа из вещественного многообразия M в X. К полученной тройке надо применить вещественную операцию заклеивания ды рок. В результате получается вещественное многообразие M вместе с отображением аналитического типа : M X. Многообразие M имеет единственную структуру комплексного многообразия, в которой отображение аналитического типа является аналитическим.

Именно это комплексное многообразие M вместе с аналитическим отображением является результатом применения операции заклеивания дырок к исходной тройке f : M X. В дальнейшем нам будет нужна именно операция заклеивания дырок, а не ее вещественный вариант.

§. Накрытия и римановы поверхности Пусть X и M – одномерные комплексные многообразия, O – дис– – кретное подмножество в X и : M U, где U = X \ O, – аналитиче– ское отображение, являющееся конечнолистным накрытием. Пусть многообразие X связно (накрывающее многообразие M может быть несвязным).

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.