WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 35 |

Для всякого связного, локально связного и локально односвязного топологического пространства X с отмеченной точкой a справедлива следующая теорема.

Т. ( ).. Для каждой подгруппы G в фундаментальной группе пространства (X, a) существует связное пространство (Y, b) и накрытие над (X, a) с накрывающим пространством (Y, b), для которого образ фундаментальной группы пространства (Y, b) совпадает с подгруппой G.

. Если для двух накрытий над (X, a) со связными накрывающими пространствами (Y1, b1) и (Y2, b2) образы фундаментальных групп этих пространств в фундаментальной группе пространства (X, a) совпадают, то два накрытия эквивалентны.

Д.. Рассмотрим пространство (X, a) кривых : [0, 1] X на X, начинающихся в точке (0) = a X, и его под пространство (X, a, a1), состоящее из кривых, заканчивающихся в точке a1. В пространствах (X, a), (X, a, a1) введем топологию равномерной сходимости и следующее соотношение эквивалентности. Скажем, что кривые 1 и 2 эквивалентны, если они заканчиваются в одной и той же точке a1 и если кривая 1 гомотопна кривой 2 в пространстве (X, a, a1) кривых с закрепленными концами. Обозначим через (X, a) и (X, a, a1) факторпространства пространств (X, a) и (X, a, a1) по этому соотношению эквивалентности. На пространстве (X, a) действует фундаментальная группа 1(X, a) при помощи умножений справа. Для фиксированной группы G 1(X, a) обозначим через G(X, a) пространство Глава. Накрытия и теория Галуа орбит действия группы G на (X, a). Точки в G(X, a) – это эле– менты пространства (X, a, a1), заданные с точностью до гомотопии с закрепленными концами и умножения справа на элементы подгруппы G. В этом пространстве есть отмеченная точка – – класс эквивалентности постоянной кривой (t) a. Отображение f : (G(X, a), )(X, a), сопоставляющее кривой ее конец, является накрытием, обладающим требуемым свойством. Не будем останавливаться на проверке этого факта. Отметим лишь, что условия на пространство X необходимы для справедливости теоремы: если X несвязно, то отображение f не имеет прообразов над компонентами связности пространства X, не содержащими точку a; если X не является локально связным и локально односвязным, то отображение f : (G(X, a), ) (X, a) может не являться локальным гомеоморфизмом.

. Покажем, что накрытие f : (Y, b) (X, a), для которого группа f1(Y, b) = G 1(X, a), левоэквивалентно накрытию, построенному по подгруппе G в первой части доказательства теоремы.

Сопоставим точке y Y любой элемент из пространства кривых (Y, b, y) на Y, начинающихся в точке b, заканчивающихся в точке y Y и определенных с точностью до гомотопии с закрепленными концами. Пусть 1, 2 – две кривые из пространства (Y, b, y) – и = (1)-1 2 – кривая, составленная из кривой 2 и из прой – денной в обратном порядке кривой 1. Кривая начинается и заканчивается в точке b, поэтому кривая f лежит в группе G.

Следовательно, образ f произвольной кривой из простран ства (Y, b, y) при проекции f является одной и той же точкой из пространства G(X, a) (т. е. кривой из пространства (X, a), определенной с точностью до гомотопии с закрепленными концами и умножения справа на элементы группы G). Итак, мы сопоставили точке y Y точку пространства G(X, a). Легко проверить, что это сопоставление задает левую эквивалентность накрытия f : (Y, b) (X, b) со стандартным накрытием, соответствующим подгруппе G = f1(Y, b).

.. Накрытия с отмеченными точками и подгруппы фундаментальной группы. Теорема. показывает, что накрытия с отмеченной точкой над пространством X с отмеченной точкой a с точностью до левой эквивалентности классифицируются подгруппами §. Накрытия G в фундаментальной группе 1(X, a). Обсудим соответствие между накрытиями с отмеченными точками и подгруппами фундаментальной группы.

Пусть f : (Y, b) (X, a) – накрытие, соответствующее подгруппе – -G 1(X, a), и F = f (a) – слой, лежащий над точкой a. Справед– лива следующая лемма.

Л.. Слой F находится во взаимно однозначном соответствии с правыми классами смежности группы 1(X, a) по подгруппе G. Если точке c слоя F соответствует правый класс смежности h, то накрытию f : (Y, c) (X, a) с отмеченной точкой c соответствует группа hGh-1.

Д. На пространстве (X, a, a) замкнутых кривых, начинающихся в точке a и определенных с точностью до гомотопии с закрепленными концами, действует группа G при помощи умножения справа. Согласно описанию накрытия, соответствующего группе G (см. п. доказательства теоремы.), прообразы точки a для этого накрытия – орбиты действия группы G на простран– стве (X, a, a), т. е. правые классы смежности группы 1(X, a) по подгруппе G.

Пусть h: [0, 1] X – кривая в пространстве X, начинающаяся в – точке h(0) = a, и h: [0, 1] Y, f h = h, – поднятие этой кривой на Y, – начинающееся в точке h(0) = b и заканчивающееся в точке h(1) = c.

Пусть G1 1(X, a) – подгруппа, состоящая из кривых, поднятия ко– торых на Y, начинающиеся в точке c, заканчиваются в той же точке c. Легко проверяются включения hGh-1 G1, h-1G1h G, которые показывают, что G1 = hGh-1.

Скажем, что накрытие f2 : (Y2, b2) (X, a) подчинено накрытию f1 : (Y1, b1) (X, a), если существует непрерывное отображение h:

(Y1, b1) (Y2, b2), согласованное с проекциями f1, f2, т. е. такое, что f1 = f2 h.

Л.. Накрытие, соответствующее подгруппе G2, подчинено накрытию, соответствующему подгруппе G1, если и только если выполняется включение G2 G1.

Д. Пусть 1(X, a) G2 G1, и пусть f2 : (Y2, b2) (X, a) – накрытие, соответствующее подгруппе G2 в 1(X, a).

– По лемме. группа G2 совпадает с фундаментальной группой 1(Y2, b2) пространства Y2. Пусть g : (Y1, b1) (Y2, b2) – накрытие, со– ответствующее подгруппе G1 в фундаментальной группе 1(Y2, b2)= Глава. Накрытия и теория Галуа = G2. Отображение f1 = f2 g : (Y1, b1) (X, a) задает накрытие над (X, a), соответствующее подгруппе G1 1(X, a). Такое накрытие единственно с точностью до левой эквивалентности и накрытие fподчинено ему, что доказывает лемму в одну сторону. В противоположную сторону она проверяется аналогично.



Рассмотрим накрытие f : Y X, для которого пространство Y связно, а X локально связно и локально односвязно. Пусть для некоторой точки a X накрытие обладает следующим свойством: для любого выбора прообразов b и c точки a накрытия с отмеченными точками f : (Y, b) (X, a) и f : (Y, c) (X, a) эквивалентны. Тогда ) накрытие обладает этим свойством для любой точки a X, ) накрытие f : Y X нормально. Обратно, если накрытие нормально, то для любой точки a X оно обладает этим свойством. Это утверждение непосредственно вытекает из определения нормального накрытия.

Л.. Накрытие является нормальным, если и только если оно соответствует некоторому нормальному делителю H в фундаментальной группе 1(X, a). Для этого нормального накрытия группа гомеоморфизмов наложения изоморфна факторгруппе 1(X, a)/H.

Д. Пусть накрытие f : (Y, b) (X, a), соответствующее подгруппе G 1(X, a), нормально. Тогда для любого прообраза c точки a это накрытие левоэквивалентно накрытию f : (Y, c) (X, a). Согласно лемме. это означает, что группа G совпадает с любой своей сопряженной подгруппой. Следовательно, группа G является нормальным делителем в фундаментальной группе. Аналогично проверяется, что если G – нормальный дели– тель в фундаментальной группе, то соответствующее этой группе накрытие нормально.

Гомеоморфизм наложения, переводящий точку b в точку c, единствен. Действительно, множество, на котором совпадают два таких гомеоморфизма, во-первых, открыто (так как f – локальный гомо– морфизм), во-вторых, замкнуто (так как гомоморфизмы непрерывны) и, в-третьих, непусто (так как содержит точку b). Так как пространство Y связно, это множество совпадает с Y.

Фундаментальная группа 1(X, a) действует правыми умножениями на пространстве (X, a). Для всякого нормального делителя H это действие индуцирует действие на классах эквивалентности §. Накрытия H(X, a) (класс эквивалентности (X, a)H при умножении на элемент g 1(X, a) переходит в класс эквивалентности (X, a)Hg = = (X, a)gH). Действие фундаментальной группы на H(X, a) согласовано с проекцией f : H(X, a) (X, a), сопоставляющей каждой кривой ее конец. Поэтому группа 1(X, a) действует на пространстве Y нормального накрытия f : (Y, b) (X, a) гомоморфизмами наложения. Для накрытия, соответствующего нормальному делителю H, ядром этого действия является группа H, т. е. на пространстве такого накрытия эффективно действует факторгруппа 1(X, a)/H. Действием факторгруппы можно перевести точку b в любой прообраз c точки a. Поэтому не существует никаких других гомоморфизмов наложения h: Y Y, кроме гомоморфизмов действия факторгруппы 1(X, a)/H. Лемма доказана.

-На слое F = f (a) накрытия f : (Y, b) (X, a) действует фундаментальная группа 1(X, a). Определим это действие. Пусть – за– мкнутая кривая в пространстве X с началом и концом в точке a.

Для каждой точки c F обозначим через c поднятие кривой на Y, такое что c(0) = c. Отображение S : F F, переводящее точку c в точку c(1) F, является элементом группы S(F) взаимно одно значных отображений множества F в себя. Отображение S зависит лишь от гомотопического класса кривой, т. е. от элемента фундаментальной группы 1(X, a), представленного кривой. Гомоморфизм S : 1(X, a) S(F) называется гомоморфизмом монодромии, а образ фундаментальной группы в группе S(F) называется группой монодромии накрытия f : (Y, b) (X, a).

Пусть f : (Y, b) (X, a) – накрытие, соответствующее подгруппе – -G 1(X, a), F = f (a) – слой этого накрытия над точкой a и S(F) – – – группа перестановок слоя F. Справедлива следующая лемма.

Л.. Группа монодромии накрытия является транзитивной подгруппой в группе SF и равна фактору группы 1(X, a) по наименьшему нормальному делителю H, содержащему группу G, т. е.

H = hGh-1.

h1(X,a) Д. Группа монодромии транзитивна. Для доказательства надо для всякой точки c F предъявить кривую, такую что S(b)= c. Возьмем произвольную кривую на связном простран стве Y, соединяющую точку b с точкой c. В качестве кривой достаточно взять образ кривой при проекции f.

Глава. Накрытия и теория Галуа Непосредственно из определений видно, что при действии фундаментальной группы на слое F стационарной группой точки b F является группа G 1(X, a). Пусть h 1(X, a) – элемент в фунда– ментальной группе, переводящий точку b в точку c F. Тогда стационарная группа точки c равна hGh-1. Ядро гомоморфизма монодромии H является пересечением стационарных групп всех точек слоя, т. е. H = hGh-1. Пересечение всех групп hGh-1 является h1(X,a) наименьшим нормальным делителем, содержащим группу G.

.. Другие классификации накрытий. В этом пункте мы обсуждаем обычную классификацию накрытий (не имеющих отмеченных точек). Затем мы классифицируем накрытия и накрытия с отмеченными точками, подчиненные заданному нормальному накрытию. В конце пункта приводится описание промежуточных накрытий, непосредственно связывающее такие накрытия с подгруппами группы наложения, действующей на нормальном накрытии.

Два накрытия f1 : Y1 X и f2 : Y2 X называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм h: Y1 Y2, коммутирующий с проекциями f1 и f2, т. е. такой, что f1 = f2 h. Классифицируем накрытия со связным накрывающим пространством над связным, локально связным и локально односвязным пространством. Эта классификация сводится к аналогичной классификации для накрытий с отмеченными точками.





Л.. Накрытия с отмеченными точками эквивалентны как накрытия (а не как накрытия с отмеченными точками!), если и только если подгруппы, соответствующие этим накрытиям, сопряжены в фундаментальной группе многообразия X.

Д. Пусть f1 : (Y1, b1) (X, a) и f2 : (Y2, b2) (X, a) эквивалентны как накрытия. Гомеоморфизм h должен пе-1 -реводить слой f1 (a) в слой f2 (a). Поэтому накрытие f1 : (Y1, b1) (X, a) эквивалентно как накрытие с отмеченной точкой накрытию f2 : (Y2, h(b1)) (X, a), где f2(h(b1)) = f2(b2). Это означает, что группы, соответствующие исходным накрытиям с отмеченными точками, сопряжены.

Итак, накрытия f : Y X, где пространство Y связно, а X локально связно и односвязно, классифицируются подгруппами фундаментальной группы 1(X), определенными с точностью до сопряжения §. Накрытия в группе 1(X) (группа 1(X), в отличие от группы 1(X, a), тоже определена с точностью до сопряжения).

При классификации накрытий и накрытий с отмеченными точками можно ограничиваться накрытиями, подчиненными данному нормальному накрытию. Определение соотношения подчиненности на накрытиях с отмеченными точками было дано выше. Можно определить аналогичное соотношение и для накрытий, по крайней мере, в случае, когда одно из накрытий нормально.

Скажем, что накрытие f : Y X подчинено нормальному накрытию g : M X, если существует отображение h: M Y, коммутирующее с проекциями g и f, т. е. такое, что g = f h. Ясно, что накрытие подчинено нормальному накрытию, если и только если некоторая (или, что то же самое, любая) группа из класса сопряженных подгрупп в фундаментальной группе пространства X содержит нормальный делитель этой группы, соответствующий нормальному накрытию.

Фиксируем в пространстве X отмеченную точку a. Пусть накрытие g : (M, b) (X, a) соответствует нормальному делителю H группы 1(X, a) и N = 1(X, a)/H – группа наложения этого нормально– го накрытия. Рассмотрим всевозможные накрытия и накрытия с отмеченными точками, подчиненные этому нормальному накрытию.

На такие накрытия переносятся все классификационные теоремы.

При этом роль фундаментальной группы 1(X, a) играет группа наложения N нормального накрытия.

Сопоставим подчиненному накрытию с отмеченной точкой подгруппу группы наложения N, равную образу при гомоморфизме факторизации (X, a) N подгруппы фундаментальной группы, соответствующей накрытию с отмеченной точной. Для описанного соответствия справедлива следующая теорема.

Т.. Соответствие между накрытиями с отмеченными точками, подчиненными заданному нормальному накрытию, и подгруппами группы наложения этого нормального накрытия взаимно однозначно.

Подчиненные накрытия с отмеченными точками эквивалентны как накрытия, если и только если соответствующие им подгруппы группы наложения сопряжены в группе наложения.

Подчиненное накрытие является нормальным, если и только если оно соответствует некоторому нормальному делителю M груп Глава. Накрытия и теория Галуа пы наложения N. Группа наложения подчиненного нормального накрытия изоморфна факторгруппе N/M.

Д. Для доказательства достаточно воспользоваться уже доказанными «абсолютными» классификационными результатами и следующими свойствами факторизации групп.

Гомоморфизм факторизации устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми подгруппами исходной группы, содержащими ядро гомоморфизма, и всеми подгруппами факторгруппы. Это соответствие: ) сохраняет частичный порядок по включению в множестве подгрупп, ) переводит класс сопряженных подгрупп исходной группы в класс сопряженных подгрупп факторгруппы, ) устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми нормальными делителями исходной группы, содержащими ядро гомоморфизма, и всеми нормальными делителями факторгруппы. При соответствии нормальных делителей из п.

фактор исходной группы по нормальному делителю и фактор ее факторгруппы по соответствующему нормальному делителю изоморфны.

Пусть f : M X – нормальное накрытие (как обычно, мы предпо– лагаем, что M связно, а X локально связно и локально односвязно).

Промежуточным накрытием между M и X назовем пространство Y вместе с отображением «на» hY : M Y и проекцией fY : Y X, такими что f = fY h.

Введем два различных понятия эквивалентности промежуточных h1 fнакрытий. Скажем, что два промежуточных накрытия M - Y1 - X h2 fи M - Y2 - X эквивалентны как поднакрытия накрытия f : M X, если существует гомеоморфизм h: Y1 Y2, делающий диаграмму коммутативной, т. е. такой, что h2 = h h1 и f1 = f2 h. Скажем, что два поднакрытия эквивалентны как накрытия над X, если существует гомеоморфизм h: Y1 Y2, такой что f1 = f2 h (не требуется, чтобы гомеоморфизм h делал верхнюю часть диаграммы коммутативной).

Классификация промежуточных накрытий как поднакрытий эквивалентна классификации подчиненных накрытий с отмеченными точками. Действительно, если в пространстве M отметить какуюлибо точку b, лежащую над точкой a, то в промежуточном накрывающем пространстве Y возникает инвариантно определенная отмеченная точка hY (a).

§. Накрытия Следующее утверждение является переформулировкой теоремы..

У.. Промежуточные накрытия для нормального накрытия с группой наложения N:

) рассматриваемые как поднакрытия, классифицируются подгруппами группы N;

) рассматриваемые как накрытия над X, классифицируются классами сопряженных подгрупп группы N.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.