WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 35 |

Теорема Пикара– –Вессио не только доказывает критерий Лиувилля– –Мордухай-Болтовского (см. § главы ), но позволяет его обобщить на случай разрешимости в квадратурах и k-квадратурах.

Именно, справедливы следующие утверждения.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка решается в обобщенных квадратурах над дифференциальным полем K, если и только если, во-первых, у него существует решение y1, удовле творяющее уравнению y1 = ay1, где a – элемент, принадлежащий – некоторому алгебраическому расширению K1, и, во-вторых, если дифференциальное уравнение порядка n - 1 на функцию z = y - ay с коэффициентами из поля K1, полученное из исходного уравнения процедурой понижения порядка (см. п..), решается в обобщенных квадратурах. Аналогичные утверждения справедливы и для разрешимости линейного дифференциального уравнения в квадратурах и в k-квадратурах. Для разрешимости в квадратурах надо дополнительно требовать, чтобы алгебраическое расширение K1 получилось из K присоединением радикалов, а для разрешимости в k-квадратурах – чтобы расширение K1 получалось из K присоединением – радикалов и корней алгебраических уравнений степени не выше k.

Для доказательства этих утверждений достаточно посмотреть на конструкцию решений дифференциальных уравнений.

Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио Дифференциальная алгебра позволяет существенно уточнить этот критерий. Для линейных дифференциальных уравнений, коэффициентами которых являются рациональные функции с рациональными коэффициентами, удается получить конечный алгоритм, позволяющий определить, решается ли уравнение в обобщенных квадратурах, и, если решается, найти его решение [].

Алгоритм использует: ) оценку степени расширения K1 поля K, зависящую лишь от порядка уравнения и вытекающую из общих соображений теории групп (см. п.. главы ); ) теорию нормальных форм линейных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки; ) теорию исключения для дифференциальных уравнений и неравенств от нескольких функций (найденную Зайденбергом и обобщающую теорему Тарского– –Зайденберга на случай дифференциальных полей).

§ 8. Колчин дополнил теорему Пикара– –Вессио []. Он рассмотрел задачи о разрешимости линейных уравнений отдельно в интегралах и отдельно в экспонентах интегралов и варианты этих задач, в которых допускаются алгебраические расширения.

При определении расширений Лиувилля использовались три вида расширений: алгебраические расширения, присоединения интегралов и присоединения экспонент интегралов. Можно определить более частные виды разрешимости, используя в качестве «строительных кирпичиков» только некоторые из этих расширений (и используя лишь специальные алгебраические расширения).

Перечислим основные варианты:

) разрешимость в интегралах, ) разрешимость в интегралах и радикалах, ) разрешимость в интегралах и в алгебраических функциях, ) разрешимость в экспонентах интегралов, ) разрешимость в экспонентах интегралов и в алгебраических функциях.

Расшифруем третье из этих определений.

Рассмотрим произвольную цепочку дифференциальных полей K = K0... Kn, в которой каждое следующее поле Ki, i = 1,..., n, либо получается из предыдущего поля Ki-1 присоединением инте §. Другие виды разрешимости грала над Ki-1, либо является алгебраическим расширением поля Ki-1. Каждый элемент дифференциального поля Kn по определению представ в интегралах и алгебраических функциях над полем K.

им Уравнение решается над полем K в интегралах и в алгебраических функциях, если каждое его решение представлено в интегралах и в алгебраических функциях.

Аналогично расшифровываются и другие виды разрешимости –.

З.. Отдельно рассматривать разрешимость в радикалах и экспонентах интегралов не надо, так как каждый радикал является экспонентой интеграла.

. Выше мы рассматривали специальные алгебраические расширения, полученные присоединением корней алгебраических уравнений степени не выше k. Можно было бы, скажем, определить k-разрешимость в интегралах, комбинируя подобные алгебраические расширения с присоединениями интегралов. Мы этого не делаем, чтобы не загромождать текст и из-за отсутствия интересных примеров.

О. Скажем, что матричная группа G является специальной треугольной группой, если существует базис, в котором все матрицы группы G одновременно приводятся к треугольному виду и все собственные числа каждой матрицы из группы G равны единице.

О. Скажем, что матричная группа диагональна, если существует базис, в котором все матрицы группы диагональны.

Т. (К ).

Линейное дифференциальное уравнение над дифференциальным полем K решается в интегралах, в интегралах и радикалах, в интегралах и алгебраических функциях, если и только если группа Галуа уравнения над K соответственно является специальной треугольной группой, разрешима и содержит специальный треугольный нормальный делитель конечного индекса, содержит специальный треугольный нормальный делитель конечного индекса.

Т. (К ). Линейное дифференциальное уравнение над дифференциальным полем K решается в экспонентах интегралов и в экспонентах интегралов и алгебраических функциях, если и только если его группа Галуа над K соответственно разрешима и содержит Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио диагональный нормальный делитель конечного индекса, содержит диагональный нормальный делитель конечного индекса.

Несколько слов о доказательстве этих теорем. Группа Галуа присоединения интеграла антикомпактна (см. п..). Группа Галуа присоединения экспоненты интеграла квазикомпактна (см. п..).

Колчин развил теорию антикомпактных и квазикомпактных алгебраических матричных групп. Вот одно несложное утверждение из этой теории.



У. [].. Алгебраическая матричная группа квазикомпактна, если и только если каждая матрица группы приводится к диагональному виду.

. Алгебраическая матричная группа антикомпактна, если и только если все собственные числа каждой матрицы группы равны единице.

Теория квазикомпактных и антикомпактных групп вместе с основной теоремой теории Пикара– –Вессио позволили Колчину доказать его теоремы о разрешимости в интегралах и о разрешимости в экспонентах интегралов.

Разумеется, теоремы Колчина, так же как и теорема Пикара– – Вессио, справедливы не только для линейных дифференциальных уравнений, но и для расширений Пикара– –Вессио (каждое такое расширение порождено решениями линейного дифференциального уравнения). Сформулируем критерий для различных видов представимости всех элементов расширения Пикара– с треугольной –Вессио группой Галуа. Этот критерий легко вытекает из теорем Колчина и теоремы Пикара– –Вессио. Мы применим этот критерий в п..

главы при обсуждении различных видов разрешимости систем уравнений типа Фукса с малыми коэффициентами.

Р Г (ср. []). Пусть расширение Пикара– –Вессио F дифференциального поля K имеет треугольную группу Галуа. Тогда каждый элемент поля F ) представ в квадратурах над полем K;

им ) представ в интегралах и алгебраических функциях или в иним тегралах и радикалах над полем K, если и только если собственные числа всех матриц группы Галуа – корни из единицы;

– Эти виды разрешимости различаются, если не требовать треугольности группы Галуа.

§. Другие виды разрешимости ) представ в интегралах над полем K, если и только если все им собственные числа всех матриц группы Галуа равны единице;

) представ в экспонентах интегралов и в алгебраических им функциях или в экспонентах интегралов над полем K, если и только если группа Галуа диагональна;

) представ в алгебраических функциях или в радикалах над им полем K, если и только если группа Галуа диагональна, а все собственные числа всех матриц группы Галуа – корни из единицы;

– ) лежит в поле K, если и только если группа Галуа тривиальна.

Гл а в а Н А КР Ы ТИ Я И ТЕ О Р ИЯ ГА Л УА Эта глава посвящена геометрии накрытий и ее связи с теорией Галуа. Существует удивительная аналогия между классификацией накрытий над связным, локально связным и локально односвязным топологическим пространством и основной теоремой теории Галуа.

Мы формулируем результаты классификации накрытий таким образом, чтобы эта аналогия бросалась в глаза.

Есть целый ряд близких задач о классификации накрытий. Кроме обычной классификации, есть классификация накрытий с отмеченными точками. Можно фиксировать нормальное накрытие и классифицировать накрытия (и накрытия с отмеченными точками), подчиненные этому нормальному накрытию. Для наших целей необходимо рассматривать разветвленные накрытия над римановыми поверхностями и решать аналогичные классификационные задачи для разветвленных накрытий и т. д.

В § рассматриваются накрытия над топологическими пространствами. Мы подробно обсуждаем классификацию накрытий с отмеченными точками над связным, локально связным и локально односвязным топологическим пространством. Остальные классификационные задачи легко сводятся к этой классификации.

В § рассматриваются конечнолистные разветвленные накрытия над римановыми поверхностями. Разветвленные накрытия сначала определяются как собственные отображения вещественных многообразий в риманову поверхность, имеющие особенности, характерные для комплексных аналитических отображений. Затем показывается, что разветвленные накрытия имеют естественную аналитическую структуру. Обсуждается операция пополнения накрытий над римановой поверхностью X, из которой удалено дискретное множество O. Эта операция одинаково применима как к накрытиям, так и к накрытиям с отмеченными точками. В результате ее применения из конечнолистного накрытия над X \ O получается разветвленное конечнолистное накрытие над X.

Классификация конечнолистных разветвленных накрытий с фиксированным множеством ветвления почти дословно повторяет ана Глава. Накрытия и теория Галуа логичную классификацию неразветвленных накрытий. Поэтому мы ограничиваемся лишь формулировками результатов.

Для сравнения основной теоремы теории Галуа и классификации разветвленных накрытий полезен следующий факт. Множество орбит действия конечной группы на одномерном комплексном аналитическом многообразии имеет естественную структуру комплексного аналитического многообразия. В доказательстве используется резольвента Лагранжа (в теории Галуа резольвенты Лагранжа используются для доказательства разрешимости в радикалах уравнений с разрешимой группой Галуа).

В п.. операция пополнения накрытий применяется для определения римановой поверхности неприводимого алгебраического уравнения над полем K(X) мероморфных функций на многообразии X.

Параграф основан на теории Галуа и теореме существования Римана (которую мы принимаем без доказательства) и посвящен связи между конечнолистными разветвленными накрытиями над многообразием X и алгебраическими расширениями поля K(X).

Показывается, что поле K(M) мероморфных функций на M является алгебраическим расширением поля K(X) мероморфных функций на X и что каждое алгебраическое расширение поля K(X) получается таким способом.

Ключевую роль играет следующая конструкция. Фиксируем дискретное подмножество O в многообразии X и точку a X \ O. Рассмотрим поле Pa(O), состоящее из мероморфных ростков в точке a X, которые мероморфно продолжаются до конечнозначных функций на X \ O, имеющих алгебраические особенности в точках множества O. Операция мероморфного продолжения ростка вдоль замкнутой кривой задает действие фундаментальной группы 1(X \ O, a) на поле Pa(O). К действию этой группы автоморфизмов поля Pa(O) применяются результаты теории Галуа. Описывается соответствие между подполями поля Pa(O), являющимися алгебраическими расширениями поля K(X), и подгруппами конечного индекса в фундаментальной группе 1(X \ O, a). Доказывается, что это соответствие является взаимно однозначным. В доказательстве кроме теории Галуа используется теорема существования Римана.





Нормальные разветвленные накрытия над связным комплексным многообразием X связаны с расширениями Галуа поля K(X).

§. Накрытия Основная теорема теории Галуа для таких расширений имеет прозрачную геометрическую интерпретацию.

Локальный вариант связи между разветвленными накрытиями и алгебраическими расширениями позволяет описать алгебраические расширения поля сходящихся рядов Лорана. Расширения этого поля аналогичны алгебраическим расширениям конечного поля /p (при этой аналогии замкнутой вещественной кривой на плоскости, обходящей вокруг точки 0, соответствует автоморфизм Фробениуса).

В конце главы рассматриваются компактные одномерные комплексные многообразия. С одной стороны, соображения теории Галуа показывают, что поле мероморфных функций на компактном многообразии является конечнопорожденным расширением поля комплексных чисел степени трансцендентности один (в доказательстве используется теорема существования Римана). С другой стороны, разветвленные накрытия позволяют достаточно явно описать все алгебраические расширения поля рациональных функций от одного переменного. Группа Галуа такого расширения имеет геометрический смысл: она совпадает с группой монодромии римановой поверхности алгебраической функции, определенной этим уравнением. Поэтому теория Галуа доставляет топологическое препятствие к представимости алгебраических функций в радикалах.

§ 1. Этот параграф посвящен накрытиям над связным, локально связным и локально односвязным топологическим пространством. Есть целый ряд близких задач о классификации накрытий. В п.. мы подробно обсуждаем классификацию накрытий с отмеченными точками. Остальные классификационные задачи (см. п..) легко сводятся к этой классификации. В п.. обсуждается соответствие между подгруппами фундаментальной группы и накрытиями с отмеченными точками. В п.. описывается удивительная формальная аналогия между классификацией накрытий и теорией Галуа.

.. Классификация накрытий с отмеченными точками. Непрерывные отображения f1 и f2 топологических пространств Y1 и Глава. Накрытия и теория Галуа Y2 в топологическое пространство X называются левоэквивалентными, если существует гомеоморфизм h: Y1 Y2, коммутирующий с отображениями f1 и f2, т. е. такой, что f1 = f2 h. Топологическое пространство Y вместе с проекцией f : Y X называется накрытием со слоем D над топологическим пространством X, где D – дискретное множество, если у каждой точки c X существует – окрестность U, такая что отображение проекции произведения U D на первый сомножитель левоэквивалентно отображению -f : YU U, где YU = f (U). Для накрытий справедлива теорема о накрывающей гомотопии (см. []), которую мы не будем доказывать. Эта теорема нам будет нужна в случаях, когда комплекс Wk является точкой или отрезком [0, 1].

Т. ( ). Пусть f : Y X – – накрытие, Wk – k-мерный клеточный комплекс и F : Wk X, F :

– Wk Y – его отображения в X и Y, такие что F = F. Тогда – для всякой гомотопии Ft : Wk [0, 1] X отображения F, F0 = F, существует, и притом единственное, ее поднятие до гомотопии Ft : Wk [0, 1] Y отображения F, F0 = F, (Ft) = Ftb.

Рассмотрим накрытие f : Y X. Гомеоморфизм h: Y Y называется преобразованием наложения этого накрытия, если выполняется равенство f = f h. Преобразования наложения образуют группу.

Накрытие называется нормальным, если его группа преобразова-ний наложения транзитивно действует на каждом слое f (a), a X, накрытия и выполняются следующие топологические условия на пространства X и Y : пространство Y связно, пространство X локально связно и локально односвязно.

Тройка f : (Y, b) (X, a), состоящая из пространств с отмеченными точками (X, a), (Y, b) и отображения f, называется накрытием с отмеченными точками, если f : Y X – накрытие и f (b) = a. На– крытия с отмеченными точками называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм между накрывающими пространствами, коммутирующий с проекциями и переводящий отмеченную точку в отмеченную. Обычно из обозначений видно, идет ли речь о накрытиях или о накрытиях с отмеченными точками. В таких случаях мы для краткости иногда будем говорить о накрытиях, опуская слова «с отмеченными точками».

Для накрытия с отмеченными точками f : (Y, b) (X, a) определен гомоморфизм f : 1(Y, b) 1(X, a) фундаментальной группы §. Накрытия 1(Y, b) пространства Y с отмеченной точкой b в фундаментальную группу 1(X, a) пространства X с отмеченной точкой a.

Л.. Для накрытия с отмеченными точками индуцированный гомоморфизм фундаментальных групп не имеет ядра.

Д. Пусть замкнутая кривая : [0, 1] X, (0) = = (1) = a, в пространстве X является образом f замкнутой кри вой : [0, 1] Y, (0) = (1) = b, в пространстве Y. Пусть кривая гомотопна тождественной кривой в пространстве кривых с закрепленными концами на X. Тогда кривая гомотопна тождественной кривой в пространстве кривых с закрепленными концами на Y. Для доказательства достаточно поднять гомотопию с закрепленными концами на Y.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.