WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 35 |

Л.. Пусть экспонента интеграла y1 является алгебраическим над полем K элементом. Тогда y1 – радикал над полем K.

– Д. Пусть Q( y) = an yn +... + a0 = 0 – неприводи– мое над K уравнение, которому удовлетворяет элемент y1. Можно считать, что n > 1, an = 0 и a0 = 1. Продифференцировав тожде ство Q( y1) = 0, получим уравнение (a + kaka) yk = 0, которому k удовлетворяет y1. Это уравнение имеет степень не выше n, но не содержит свободного члена. Все коэффициенты этого уравнения должны тождественно обратиться в нуль, так как в противном случае мы получим противоречие с неприводимостью полинома Q.

n Равенство a + nana = 0 означает, что частное an/ y1 = c является n константой. Действительно, из соотношения y1 = ay1 вытекает, что -n -n -n ( y1 ) + na( y1 ) = 0, т. е. что y1 и an удовлетворяют одному и тому же уравнению. Поэтому yn = an/c. Лемма доказана.

Допустим, что элемент y1 трансцендентен над K. Покажем, что в этом случае единственное независимое дифференциальное соотно шение над K, которому удовлетворяет y1, есть y1 = ay1. Действительно, используя это соотношение, каждый дифференциальный полином над K от y1 можно переписать как полином от y1 с коэффициентами из K. Но ни один такой нетривиальный полином не мо Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио жет обратиться в нуль, так как y1 трансцендентен над K. Поэтому группа Галуа уравнения y = ay состоит из линейных преобразований вида Ay1 = Cy1, где C = 0 – любое ненулевое комплексное чис – ло. Итак, группа Галуа неалгебраического расширения, являющегося присоединением экспоненты интеграла, совпадает с мультипликативной группой ненулевых комплексных чисел.

Экспонента интеграла над K является алгебраическим элементом y над K, если и только если y – радикал над K. Поэтому если – присоединение экспоненты интеграла является алгебраическим расширением, то его группа Галуа является конечной мультипликативной подгруппой в.

В терминологии Колчина [] алгебраическая группа называется квазикомпактной, если каждая ее неединичная подгруппа содержит элементы конечного порядка, отличные от единицы. Группа Галуа неалгебраического расширения, полученного присоединением экспоненты интеграла, очевидно, квазикомпактна.

У.. Пусть y – экспонента интеграла над K и эле– мент y трансцендентен над K. Тогда каждому неотрицательному целому числу n можно поставить в соответствие дифференциальное поле между полями K и K y. Именно, это дифференциальное поле Kn, состоящее из рациональных функций от элемента yn с коэффициентами из поля K. Для разных n поля Kn различны. Всякое промежуточное дифференциальное поле совпадает с некоторым полем Kn.

Д. Пусть F – дифференциальное поле, строго со– держащее поле K и лежащее в поле K y. Повторяя рассуждения из утверждения., получаем, что элемент y алгебраичен над F. Элемент y является экспонентой интеграла над F. Поэтому неприводимое над полем F алгебраическое уравнение, которому удовлетворяет y, имеет вид yn - a = 0, где a F (см. лемму.), следовательно, Kn F. Поле Kn должно совпадать с F. Действительно, в противном случае существует элемент b F, b Kn. Элемент b является некото/ рой рациональной функцией R от y, и соотношение R( y) не является следствием уравнения yn = a. Это противоречит неприводимости уравнения yn =a. Противоречие доказывает, что Kn = F. Поля Kn при разных n различны в силу трансцендентности элемента y над K.

Утверждение доказывает основную теорему теории Пикара– – Вессио для присоединения экспоненты интеграла. Действительно, §. Разрешимость дифференциальных уравнений каждая собственная алгебраическая подгруппа группы является группой корней n-й степени из единицы для некоторого n. Промежуточное между K и K y дифференциальное поле состоит в точности из элементов поля K y, которые остаются на месте при действии группы корней n-й степени из единицы на K y.

§ 5. Скажем, что алгебраическая группа G является разрешимой, k-разрешимой или почти разрешимой в категории алгебраических групп, если у нее существует нормальная башня алгебраических подгрупп G = G0... Gm = e со следующими свойствами:

а) для разрешимых групп: для каждого i = 1,..., m факторгруппа Gi-1/Gi коммутативна (т. е. группа G разрешима);

б) для k-разрешимых групп: для каждого i = 1,..., m либо глубина группы Gi в группе Gi-1 не превосходит k, либо группа Gi-1/Gi коммутативна;

в) для почти разрешимых групп: для каждого i = 1,..., m либо индекс группы Gi в Gi-1 конечен, либо группа Gi-1/Gi коммутативна.

Т. (П – –В ). Линейное дифференциальное уравнение над дифференциальным полем K решается в квадратурах, в k-квадратурах или обобщенных квадратурах, если и только если группа Галуа уравнения над полем K является соответственно разрешимой, k-разрешимой или почти разрешимой группой в категории алгебраических групп.

З. В классической теореме Пикара– –Вессио не обсуждается вопрос о разрешимости уравнений в k-квадратурах. Мы включили этот вопрос в теорему, потому что, во-первых, ответ на него аналогичен и, во-вторых, он переносится в топологическую теорию Галуа.

В этом параграфе мы докажем лишь необходимость условий на группу Галуа для разрешимости уравнения. Доказательство достаточности отложим до §. Итак, справедлива следующая теорема.

Т.. Если линейное дифференциальное уравнение решается в квадратурах, в k-квадратурах или в обобщенных квадратурах, то группа Галуа G этого уравнения является соответственно разрешимой, k-разрешимой или почти разрешимой группой в категории алгебраических групп.

Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио Д. Разрешимость уравнений в обобщенных квадратурах над полем K означает существование цепочки дифференциальных полей K = K0... KN, в которой первое поле совпадает с исходным полем K, последнее поле KN содержит все решения дифференциального уравнения и для каждого i =1,..., N поле Ki получается из поля Ki-1 либо присоединением интеграла, либо присоединением экспоненты интеграла, либо присоединением всех решений алгебраического уравнения. (В случае разрешимости в квадратурах последний из этих типов расширений запрещен. В случае разрешимости в k-квадратурах допускается лишь присоединение корней алгебраических уравнений степени не выше чем k.) Пусть G = G0... Gm = e – убывающая цепочка групп, в кото– рой группа Gi – группа Галуа исходного уравнения над полем Ki.



– Согласно основной теореме. факторгруппа Gi-1/Gi является факторгруппой группы Галуа расширения Пикара– –Вессио Ki поля Ki-1.

Если это расширение является присоединением интеграла или экспоненты интеграла, то группа Gi-1/Gi коммутативна как факторгруппа коммутативной группы (см. п..–.). Если расширение Ki поля Ki-1 получено присоединением всех корней алгебраического уравнения, то факторгруппа Gi-1/Gi конечна. Если это алгебраическое уравнение имеет степень не выше k, то между группами Gi Gi-1 можно вставить цепочку нормальных делителей Gi = Gi,... Gi,p = Gi-1, в которой глубина группы Gi, j в Gi, j-1 не превосходит k (см. § главы ). Доказательство теоремы закончено.

Только что доказанную теорему можно сформулировать следующим образом.

Если расширение Пикара– является расширением Лиувил–Вессио ля, k-расширением Лиувилля или обобщенным расширением Лиувилля, то его группа Галуа является соответственно разрешимой, k-разрешимой или почти разрешимой группой в категории алгебраических групп.

В такой переформулировке теорема становится применимой и к алгебраическим уравнениям над дифференциальными полями. Она дает более сильные результаты о неразрешимости алгебраических уравнений.

Т.. Если группа Галуа алгебраического уравнения над дифференциальным полем K неразрешима, то это алгебраическое уравнение не только не решается в радикалах, но и не решается в §. Необходимые условия разрешимости квадратурах. Если группа Галуа не является k-разрешимой, то алгебраическое уравнение не решается в k-квадратурах над K.

§ 6. Группа Галуа линейного дифференциального уравнения является алгебраической матричной группой. Такие группы обладают общими свойствами, которые помогают переформулировать условия разрешимости, k-разрешимости и почти разрешимости группы Галуа и доказать, что эти условия являются достаточными (см. § ) для разрешимости уравнения.

Отметим прежде всего, что всякая алгебраическая матричная группа является группой Ли. Действительно, множество особых точек всякого алгебраического многообразия имеет коразмерность не меньше 1. Но групповым преобразованием любая точка группы переводится в любую другую точку. Поэтому около каждой точки группа устроена одинаково, и, следовательно, множество ее особых точек пусто. Компонента связности единицы алгебраической группы является нормальным делителем конечного индекса в этой группе.

Действительно, компонента связности единицы является нормальным делителем во всякой группе Ли, и каждое алгебраическое многообразие имеет лишь конечное число компонент связности.

Для дальнейшего ключевую роль играет следующая знаменитая теорема Ли, которую мы приведем без доказательства.

Т. (Л ). Связная разрешимая матричная группа Ли в некотором базисе приводится к треугольному виду.

У.. Алгебраическая матричная группа является почти разрешимой группой в категории алгебраических групп, если и только если все матрицы ее компоненты связности единицы в некотором базисе одновременно приводятся к треугольному виду.

Д. Всякая группа, состоящая из треугольных матриц, разрешима. Это доказывает утверждение в одну сторону.

Пусть G = G0... Gn = e – нормальная башня алгебраических под– групп группы G, для которой каждая факторгруппа Gi/Gi-1 либо коммутативна, либо конечна. Рассмотрим компоненты связности единицы этих групп. Они образуют нормальную башню G0 = G0...

Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио... Gn = e алгебраических подгрупп компоненты связности единицы G0 группы G. При этом, если факторгруппа Gi-1/Gi коммутатив0 на, то факторгруппа Gi-1/Gi тоже коммутативна. Если факторгруп0 па Gi-1/Gi конечна, то группы Gi-1 и Gi совпадают. Утверждение доказано.

У.. Алгебраическая матричная группа G является разрешимой или k-разрешимой группой в категории алгебраических групп, если и только если все матрицы ее компоненты связности единицы G0 в некотором базисе приводятся к треугольному виду и конечная факторгруппа G/G0 соответственно разрешима или k-разрешима.

Д. Согласно утверждению. группа G0 является треугольной. Кроме того, группа G0 является нормальным делителем конечного индекса в группе G. Конечная факторгруппа G/Gявляется соответственно разрешимой или k-разрешимой группой. В обратную сторону утверждение очевидно.

В группах матриц есть замечательная топология Зарисского, сопоставляющая каждой группе GL(V) ее алгебраическое замыка ние. Эта операция позволяет обобщить утверждения. и. на произвольные матричные группы.

У... Матричная группа является почти разрешимой группой, если и только если у нее существует треугольный нормальный делитель H конечного индекса. Матричная группа является k-разрешимой или разрешимой, если и только если конечная факторгруппа G/H группы G по некоторому треугольному нормальному делителю H конечного индекса является соответственно k-разрешимой или разрешимой группой.





. Алгебраическая матричная группа G является почти разрешимой, k-разрешимой или разрешимой группой в категории алгебраических групп, если и только если она является соответственно почти разрешимой, k-разрешимой или разрешимой группой.

Д. Пусть G = G0... Gn = e – нормальная баш– ня группы G, тогда замыкание в топологии Зарисского групп из этой башни образует нормальную башню алгебраических групп = 0... n = e. При этом, если группа Gi-1/Gi коммутативна, конечна или если группа Gi имеет в Gi-1 глубину не больше k, то группа i-1/i будет соответственно коммутативной, конечной или группа i будет иметь в группе i-1 глубину не больше k. Это дока §. Достаточное условие разрешимости зывает все пункты утверждения в одну сторону. В другую сторону все утверждения очевидны.

§ 7. Группу автоморфизмов дифференциального поля F с дифференциальным полем неподвижных элементов K назовем допустимой группой автоморфизмов, если существует конечномерное пространство V над полем констант, инвариантное относительно группы и такое, что KV = F. Согласно теории Пикара– –Вессио (см. следствие.) дифференциальное поле F является расширением Пикара– –Вессио дифференциального поля K, если и только если существует допустимая группа автоморфизмов дифференциального поля F с дифференциальным полем неподвижных элементов K. В общем случае существование допустимой группы преобразований для расширения Пикара– –Вессио совсем не очевидно и является частью основной теоремы этой теории. Однако для обширного класса случаев существование допустимой группы автоморфизмов известно априори. Такой класс случаев доставляют расширения поля рациональных функций всеми решениями любого линейного дифференциального уравнения типа Фукса (см. § главы ). В этих случаях группа монодромии уравнения играет роль группы.

Если группа разрешима, то элементы поля F представляются в квадратурах через элементы поля K. Конструкция такого представления по существу относится к линейной алгебре и не использует основных теорем Пикара– –Вессио. Допустимая группа автоморфизмов изоморфна индуцированной группе линейных преобразований пространства V, и ее можно рассматривать как матричную группу.

Т. (Л ). Если все преобразования допустимой группы приводятся в некотором базисе к треугольному виду, то дифференциальное поле F является расширением Лиувилля дифференциального поля K.

Д. Пусть e1,..., en – базис пространства V, в ко– тором каждое преобразование µ имеет вид µ(ei) = ai, jej. Расj i ei смотрим векторное пространство V, натянутое на векторы i =, e Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио где i = 2,..., n. Пространство V инвариантно относительно группы, причем каждое преобразование µ группы в базисе i имеет треугольный вид. Действительно, ai,1 ai, j ej ai, j ei µ(i) = µ = + = j.

e1 a1,1 a1,1 e1 a1,2 j i 2 j i Пространство V имеет меньшую размерность, чем пространство V, поэтому можно считать, что дифференциальное поле KV есть расширение Лиувилля дифференциального поля K. Для всякого µ e a1,1e e e 1 1 1 имеем µ = =, следовательно, элемент = a лежит в e1 a1,1e1 e1 eдифференциальном поле инвариантов K. Дифференциальное поле F получается из дифференциального поля K присоединением эксei поненты интеграла e1 от элемента a и интегралов от элементов ei, где i = 2,..., n.

У.. Если группа допустимых автоморфизмов поля F с полем неподвижных элементов K почти разрешима, то существует инвариантное относительно группы поле K0, такое что: ) поле F является расширением Лиувилля поля K0; ) индуцированная группа автоморфизмов поля K0 конечна, при этом каждый элемент поля K0 является алгебраическим над полем K; ) если группа разрешима, то каждый элемент поля K0 представ в им радикалах над полем K.

Д. Пусть V – инвариантное относительно груп– пы пространство, такое что KV = F.

Из утверждения. вытекает, что группа обладает нормальным делителем 0 конечного индекса, приводящимся в некотором базисе пространства V к треугольному виду. Пусть K0 – дифференциаль– ное поле инвариантов группы. Согласно лемме. дифференциальное поле F есть расширение Лиувилля дифференциального поля K0.

Очевидно (см. утверждение. главы ), что поле K0 инвариантно относительно действия группы и индуцированная группа авто морфизмов этого поля 0 является конечной факторгруппой группы. Поэтому каждый элемент поля K0 алгебраичен над K (см. теорему. главы ). Если исходная группа разрешима, то ее конеч ная факторгруппа 0 тоже разрешима. В этом случае любой элемент поля K0 выражается в радикалах через элемент поля K (см. теорему. главы ).

§. Достаточное условие разрешимости Доказательство следующего утверждения опирается на теорию Галуа.

У.. Если в условиях утверждения. группа k-разрешима, то каждый элемент поля K0 выражается через элементы поля K при помощи радикалов и решения алгебраических уравнений степени не выше k.

Д. Так как группа 0 конечна, то расширение Kполя K является расширением Галуа поля K. Если группа 0 k-разрешима, то ее конечная факторгруппа тоже k-разрешима. Утверждение. теперь вытекает из теоремы. главы.

Закончим доказательство теоремы Пикара– –Вессио (см. § ).

Согласно основной теореме. для всякого линейного дифференциального уравнения над дифференциальным полем K его группа Галуа оставляет неподвижными лишь элементы поля K. Поэтому применимы только что доказанные утверждения. и., что и доказывает достаточность условий на группу Галуа в теореме Пикара– –Вессио.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.