WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 35 |

i 1 i n Используя интерполяционные полиномы с кратными узлами интерполирования, можно написать явные формулы для решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет кратные корни (см. []).

.. Аналог формул Виета для дифференциальных операторов. Если известны все корни x1,..., xn полинома P степени n со старшим коэффициентом 1, то полином P можно восстановить:

по формулам Виета P(x) = xn + p1xn-1 +... + pn, где p1 = -1,..., pn = (-1)nn и 1 = x1 +... + xn,..., n = x1... xn. Функции 1,..., n не меняются при перестановке корней и называются основными симметрическими функциями.

Аналогично этому если известны n линейно независимых решений y1,..., yn линейного дифференциального уравнения n-го порядка L = 0, где L – оператор, у которого коэффициент при старшей – производной равен единице, то оператор L можно восстановить.

Действительно, прежде всего такой оператор не более чем один:

разность L1 - L2 двух операторов, обладающих этими свойствами, является оператором порядка меньше чем n, имеющим n линейно независимых решений, что возможно, лишь если L1 совпадает с L2.

Вронскиан W от n независимых решений y1,..., yn линейного дифференциального уравнения не равен нулю. Рассмотрим уравнение W( y, y1,..., yn) = 0, где W( y, y1,..., yn) – вронскиан от неизвест– ной функции y и функций y1,..., yn. Раскрывая вронскиан y y1... yn..................

W( y, y1,..., yn) = (n) (n) y(n) y1... yn по первому столбцу и деля его на W, получим уравнение y(n) + p1 y(n-1) +... + pn y = 0, () Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио в котором p1 = -1,..., pn = (-1)nn, где y1... yn y1... yn....................................

(n-2) (n-1) (n-2) (n-1) y1... yn y1... yn (n) (n) (n) (n) y1... yn y1... yn 1 =,..., n =. () W W Функции y1,..., yn и их линейные комбинации являются решениями уравнения (). Формулы ()–() вполне аналогичны формулам Виета.

Функции 1,..., n являются рациональными функциями от функций y1,..., yn и от их производных до порядка n. Эти функции зависят лишь от линейного пространства V, натянутого на функции y1,..., yn, но не зависят от выбора конкретного базиса y1,..., yn в пространстве V. Другими словами, функции 1,...n являются GL(V)-инвариантными функциями от y1,..., yn и от их производных. Функции 1,..., n будем называть основными дифференциальными инвариантами от y1,..., yn.

.. Аналог теоремы о симметричных функциях для дифференциальных операторов. Как известно из алгебры, всякая рациональная функция от переменных x1,..., xn, не меняющаяся при перестановках переменных, на самом деле является рациональной функцией основных симметрических функций 1,..., n переменных x1,..., xn. Другими словами, всякое рациональное выражение, симметрично зависящее от корней полинома степени n, рационально выражается через коэффициенты этого полинома.

Аналогичная теорема для линейных дифференциальных уравнений была открыта Пикаром.

Т.. Всякая рациональная функция R от линейно независимых функций y1,..., yn и их производных, которая является GL(V)-инвариантной (т. е. которая не изменится, если функции y1,..., yn заменить их линейными комбинациями z1 = a1,1 y1 +...

... + a1,n yn,..., zn = an,1 y1 +... + an,n yn, при условии, что матрица A = {ai, j} невырождена) на самом деле является рациональной функцией от основных дифференциальных инвариантов 1,..., n функций y1,..., yn и от производных этих инвариантов.

Д. Каждая функция y в пространстве V, натянутом на y1,..., yn, удовлетворяет тождеству y(n) - 1 y(n-1) +... + §. Группа Галуа дифференциального уравнения + (-1)nn y = 0. Дифференцируя это тождество, можно выразить любую производную функции y порядка не меньше n через функцию y, ее производные порядка меньше n, основные дифференциальные инварианты и их производные. Подставляя найденные выражения старших производных функций y1,..., yn в рациональ ную функцию R, мы получим рациональную функцию R от функций 1,..., n, их производных и от элементов фундаментальной матрицы Y, где y1... yn..................

Y = (n-1) (n-1) y1... yn Функция R не может меняться при линейных преобразованиях пространства V, натянутого на y1,..., yn. Любая невырожденная (n n)матрица может быть получена как образ фундаментальной матрицы Y при некотором линейном преобразовании пространства V.

Рациональная функция R должна быть постоянна на множестве невырожденных матриц, поэтому она постоянна на множестве всех матриц, не зависит от матрицы Y, а зависит лишь от дифференциальных инвариантов и их производных.

С.. Всякая рациональная функция от независимых решений y1,..., yn линейного дифференциального уравнения и от их производных, которая не меняется при выборе другого базиса z1,..., zn в пространстве решений, на самом деле является рациональной функцией от коэффициентов дифференциального уравнения и от их производных.

§ 2. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение y(n) + p1 y(n-1) +... + pn y = 0 () с коэффициентами в некотором функциональном дифференциальном поле K. (Напомним, что мы всегда предполагаем, что поле K содержит все комплексные константы.) Дифференциальным полиномом над K от функций u1,..., un называется полином с коэффициентами из K от функций u1,..., un и Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио от их производных. Дифференциальным соотношением над K между решениями y1,..., yn уравнения () называется дифференциальный полином над полем K от функций u1,..., un, который обращается в нуль при подстановке u1 = y1,..., un = yn.



О. Группой Галуа дифференциального уравнения () над дифференциальным полем K называется подгруппа G группы GL(V) всех линейных преобразований пространства решений V уравнения (), сохраняющих все дифференциальные соотношения над K между решениями уравнения (т. е. если A G и Q – любое – соотношение над K между некоторыми решениями y1,..., yn, то решения Ay1,..., Ayn должны быть связаны тем же соотношением Q).

У.. Группа Галуа линейного дифференциального уравнения является алгебраической подгруппой в GL(V).

Д. Для каждого дифференциального соотношения Q между решениями y1,..., yn множество линейных преобразований A, для которых соотношение Q выполняется для Ay1,..., Ayn, является, очевидно, алгебраическим. Пересечение любого числа алгебраических многообразий является алгебраическим многообразием.

О. Функциональное дифференциальное поле P называется расширением Пикара– функционального дифферен–Вессио циального поля K, если существует линейное дифференциальное уравнение () с коэффициентами в дифференциальном поле K, такое что P получается присоединением к K всех решений уравнения (). Группой Галуа расширения Пикара– над полем K –Вессио называется группа всех автоморфизмов дифференциального поля P, оставляющих на месте все элементы поля K.

Каждый элемент из группы Галуа дифференциального поля P над дифференциальным полем K задает линейное преобразование пространства решений и сохраняет все дифференциальные соотношения, определенные над полем K между решениями. Таким образом, группа Галуа дифференциального поля P над K имеет представление в группе Галуа G уравнения (), определяющее расширение Пикара– –Вессио P. Это представление, очевидно, является изоморфизмом групп, т. е. группа Галуа уравнения и группа Галуа заданного им расширения Пикара– –Вессио изоморфны. Используя этот изоморфизм, можно определить на группе Галуа расширения Пикара– – Вессио структуру алгебраической группы. Если два различных ли §. Основная теорема теории Пикара– –Вессио нейных дифференциальных уравнения над полем K задают одно и то же расширение Пикара– –Вессио, то группы Галуа этих уравнений изоморфны не только как абстрактные группы, но и как алгебраические группы. Поэтому структура алгебраической группы на группе Галуа расширения Пикара– –Вессио определена корректно.

§ 3. – – Пусть дифференциальное поле P является расширением Пикара– – Вессио дифференциального поля K и G – его группа Галуа. Теория – Пикара– –Вессио описывает все промежуточные дифференциальные поля, т. е. все дифференциальные поля, лежащие в поле P и содержащие поле K. Сопоставим каждой подгруппе группы Галуа G дифференциальное поле Fix(), состоящее из элементов поля P, остающихся неподвижными при действии подгруппы (ясно, что K Fix()). Сопоставим каждому промежуточному дифференциальному полю F, K F P, подгруппу Gr(F) G, являющуюся группой Галуа расширения Пикара– –Вессио P поля F (P является расширением Пикара– поля K, и поэтому оно автоматически –Вессио является расширением Пикара– –Вессио промежуточного дифференциального поля F, K F P). Отображения Fix и Gr устанавливают соответствие Галуа между подгруппами группы Галуа и промежуточными дифференциальными полями расширения Пикара– – Вессио. Приведем без доказательства следующую теорему.

Т. ( П – –В ).

Соответствие Галуа устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством алгебраических подгрупп группы Галуа и множеством промежуточных дифференциальных полей расширения Пикара– –Вессио. Точнее, справедливы следующие утверждения:

) композиция отображений Fix и Gr является тождественным отображением множества промежуточных полей в себя: если F – – дифференциальное поле и K F P, то Fix(Gr(F)) = F;

) композиция отображений Gr и Fix сопоставляет каждой под группе в группе Галуа G ее алгебраическое замыкание в группе G:

если – подгруппа группы Галуа, G, то Gr(Fix()) = ;

– ) промежуточное дифференциальное поле F, K F P, является расширением Пикара– поля K, если и только если группа –Вессио Gr(F) является нормальным делителем группы G. При этом группа Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио Галуа расширения Пикара– F поля K является факторгруп–Вессио пой группы G по нормальному делителю Gr(F).

Докажем полезное характеристическое свойство расширений Пикара– –Вессио, непосредственно вытекающее из основной теоремы.

С.. Дифференциальное поле P является расширением Пикара– дифференциального поля K, K P, если и только –Вессио если существует такая группа автоморфизмов дифференциального поля P, что ) она оставляет неподвижными все элементы поля K и только элементы поля K; ) существует лежащее в P конечномерное линейное пространство V над полем констант, инвариантное относительно группы, для которого поле P является наименьшим дифференциальным полем, содержащим V и K.

Д. Расширение Пикара– –Вессио обладает указанными свойствами. Это вытекает из п. основной теоремы, примененной к полю F = K. Обратно, пусть y1,..., yn – базис линейного – пространства V, о котором идет речь в п.. Коэффициенты линейного дифференциального уравнения n-го порядка, которому удовлетворяют функции y1,..., yn, инвариантны относительно всех линейных преобразований пространства V. Поэтому они инвариантны относительно группы и лежат в K. Следовательно, P получается из K присоединением всех решений указанного уравнения P и является расширением Пикара– –Вессио поля K.

Что произойдет с группой Галуа линейного дифференциального уравнения, если дифференциальное поле коэффициентов K расширить, заменив его б ольшим дифференциальным полем K1 Этот вопрос особенно интересен в том случае, когда поле K1 является расширением Пикара– –Вессио поля K. Обозначим через G1 группу Галуа расширения K1 дифференциального поля K. Результаты о неразрешимости линейных дифференциальных уравнений основаны на следующей теореме из теории Пикара– –Вессио, которую мы приводим без доказательства и которая формулируется вполне аналогично теореме. из главы.





Т. ( Г П – –В ). При замене дифференциального поля коэффициентов K его расширением Пикара– K1 группа Галуа G уравнения заменяется некоторым –Вессио своим алгебраическим нормальным делителем H. Факторгруппа §. Простейшие расширения Пикара– –Вессио G/H группы G относительно этого нормального делителя изоморфна некоторой алгебраической факторгруппе группы Галуа Gнового дифференциального поля K1 над старым дифференциальным полем K.

§ 4. – – В этом параграфе рассматриваются следующие простейшие расширения Пикара– –Вессио: алгебраическое расширение, присоединение интеграла и присоединение экспоненты интеграла.

.. Алгебраическое расширение. Рассмотрим алгебраическое уравнение Q(x) = xn + an-1xn-1 +... + a0 = 0 () над функциональным дифференциальным полем K и рассмотрим расширение Галуа P, получающееся присоединением к полю K всех решений уравнения ().

Л.. Поле P является дифференциальным полем. Каждый автоморфизм поля P над полем K, который сохраняет лишь арифметические операции в поле P, автоматически сохраняет и операцию дифференцирования.

Д. Изменив, если нужно, алгебраическое уравнение (), можно считать, что оно неприводимо над полем K и что каждый корень xi уравнения () порождает поле P над полем K.

Q Q Дифференцируя тождество Q(xi) = 0, получим (xi)xi + (xi) = 0, x t n- Q Q где = axi. Полином не может обращаться в нуль в точi t t i=ке xi, так как уравнение Q = 0 неприводимо. Получаем алгебраиче Q Q ское выражение производной xi = - (xi) (xi) корня xi, которое x t одинаково для всех корней xi полинома Q. Отсюда и вытекают оба утверждения леммы.

Группа Галуа расширения Галуа P над полем K оставляет неподвижными лишь элементы поля K. Линейное пространство V над полем констант, натянутое на корни x1,..., xn уравнения (), инвариантно относительно действия группы. Согласно следствию.

дифференциальное поле P является расширением Пикара– –Вессио.

Группа Галуа расширения Пикара– –Вессио P поля K совпадает с Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио группой Галуа алгебраического уравнения (). Основная теорема теории Пикара– –Вессио P диффе–Вессио для расширения Пикара– ренциального поля K совпадает с основной теоремой теории Галуа расширения Галуа P поля K.

.. Присоединение интеграла. Пусть y1 – интеграл над функ– циональным дифференциальным полем K и y1 = a, a K, a = 0.

Однородное дифференциальное уравнение ay - a y = 0 имеет своими независимыми решениями y1 и единицу. Расширение дифференциального поля K, полученное из K присоединением элемента y1, является поэтому расширением Пикара– –Вессио (напомним, что мы всегда предполагаем, что поле K содержит все комплексные постоянные).

Л.. Интеграл y1 либо принадлежит полю K, либо трансцендентен над K.

Д. Допустим, что интеграл y1 алгебраичен над полем K. Пусть Q( y) = an yn +... + a0 = 0 – неприводимое над K урав– нение, которому удовлетворяет y1. Можно считать, что n > 1 и что an = 1. Продифференцировав тождество Q( y) = 0, получим уравнение меньшей степени nayn-1 +... + a = 0, которому удовлетворяет y1. Это противоречит неприводимости полинома Q.

Пусть элемент y1 трансцендентен над K. Покажем, что единственное независимое дифференциальное соотношение над K, ко торому удовлетворяет y1, есть y1 = a. Действительно, используя это соотношение, каждый дифференциальный полином над K от y1 можно переписать как полином от y1 с коэффициентами из K.

Но ни один такой нетривиальный полином не может обратиться в нуль, так как элемент y1 трансцендентен над K. Поэтому группа Галуа уравнения ay -a y =0 состоит из линейных преобразований вида Ay1 = y1 + C, A(1) = 1, где C – любое комплексное число. Итак, – группа Галуа нетривиального интегрального расширения изоморфна аддитивной группе комплексных чисел.

В терминологии Колчина [] алгебраическая группа называется антикомпактной, если она не содержит элементов конечного порядка, отличных от единицы. Группа Галуа нетривиального интегрального расширения, очевидно, антикомпактна.

У.. Не существует дифференциальных полей между полем K и K y, где y – интеграл над K, не лежащий в K.

– §. Простейшие расширения Пикара– –Вессио Д. Действительно, пусть F – такое дифференци– альное поле, что K F K y. Пусть b F и b K. Тогда элемент / b представ в виде нетривиальной рациональной функции от y с им коэффициентами из K. Существование такой функции означает, что элемент y алгебраичен над F. Но элемент y является интегралом над F, так как y = a K. Интеграл алгебраичен над дифференциальным полем, если и только если он лежит в этом поле (см. лемму.), т. е. F = K y.

Утверждение доказывает основную теорему теории Пикара– –Вессио для присоединения интеграла. Действительно, группа Галуа C поля K y над полем K не имеет алгебраических подгрупп, а пара дифференциальных полей K K y не содержит промежуточных дифференциальных полей.

.. Присоединение экспоненты интеграла. Пусть y1 – экспо– нента интеграла над функциональным дифференциальным полем K, т. е. y1 = ay1, где a K. Расширение поля K элементом y1 является по определению расширением Пикара– –Вессио.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.