WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 35 |

– Существуют ли формулы, включающие радикалы (k-радикалы) и переменные a1,..., ak, которые при подстановке вместо переменных конкретных элементов a0,..., a0 поля K дают решения уравнения 1 k xk + a0xk-1 +... + a0 = 0 1 k Общее алгебраическое уравнение можно рассматривать как уравнение над полем K{a1,..., ak} рациональных функций от k независимых переменных a1,..., ak с коэффициентами в поле K (при таком рассмотрении коэффициенты уравнения () – элементы a1,..., ak – поля K{a1,..., ak}). Теперь можно задаться вопросом о разреши Глава. Разрешимость и теория Галуа мости уравнения () над полем K{a1,..., ak} в радикалах (или в k-радикалах).

Вычислим группу Галуа уравнения () над полем K{a1,..., ak}.

Рассмотрим еще один экземпляр K{x1,..., xk} поля рациональных функций от k переменных, наделенного группой автоморфизмов S(k), действующей перестановками переменных x1,..., xk. Поле инвариантов KS{x1,..., xk} состоит из симметрических рациональных функций. По теореме о симметрических функциях это поле изоморфно полю рациональных функций от переменных 1 = x1 +...

... + xk,..., n = x1... xk. Поэтому отображение F(a1) = -1,..., F(an) = (-1)nn продолжается до изоморфизма F : K{a1,..., ak} KS{x1,..., xk}. Отождествим поля K{a1,..., ak} и KS{x1,..., xk} с помощью изоморфизма F. Из сопоставления формул Виета и формул для отображения F видно, что при этом переменные x1,..., xk становятся корнями уравнения (), поле K{x1,..., xk} становится полем, полученным присоединением к K{a1,..., ak} всех корней уравнения (), группа автоморфизмов S(k) становится группой Галуа уравнения (). Итак, мы доказали следующее утверждение.

У.. Группа Галуа уравнения () над K{a1,..., ak} изоморфна группе перестановок S(k).

Т.. Общее алгебраическое уравнение степени k + 1 > не решается при помощи радикалов и решения вспомогательных алгебраических уравнений степени не выше k.

Д. Группа S(k + 1) имеет следующую нормальную башню подгрупп: e A(k + 1) S(k + 1), где A(k + 1) – знако– переменная группа. При k + 1 > 4 группа A(k + 1) – простая груп– па. Группа A(k + 1) не является подгруппой группы S(k), так как в A(k + 1) больше элементов, чем в S(k). Поэтому при k + 1>4 группа S(k + 1) не является k-разрешимой. Для завершения доказательства осталось сослаться на теорему..

В качестве следствия получаем такую теорему.

Т. (А ). Общее алгебраическое уравнение степени выше 4 не решается в радикалах.

З. Абель доказал свою теорему другим способом еще до возникновения теории Галуа. Его подход был развит Лиувиллем.

Метод Лиувилля позволяет, например, доказывать, что многие элементарные интегралы не берутся в элементарных функциях (см.

главу ).

Глава. Разрешимость и теория Галуа § 10. Можно ли решить заданное сложное алгебраическое уравнение, используя в качестве допустимых операций решения других, более простых, алгебраических уравнений Мы рассмотрели два точно поставленных вопроса такого рода: вопрос о разрешимости уравнений в радикалах (в котором более простые уравнения – это уравне– ния xn - a = 0) и вопрос о разрешимости уравнений в k-радикалах (в котором более простые уравнения – это уравнения xn - a = 0 и – любые алгебраические уравнения степени не выше k). В этом параграфе рассматривается общий вопрос о разрешимости сложных алгебраических уравнений при помощи более простых уравнений.

В п.. приводится постановка задачи о B-разрешимости уравнений и доказывается необходимое условие ее разрешимости. В п..

обсуждаются классы групп, связанные с задачей B-разрешимости уравнений.

.. Необходимое условие разрешимости. Пусть B – некото– рая совокупность алгебраических уравнений. Алгебраическое уравнение, определенное над полем K, автоматически определено и над любым б полем K1, K K1. Мы считаем, что совокупность ольшим алгебраических уравнений B вместе с каждым уравнением, определенным над полем K, содержит то же самое уравнение, рассматриваемое как уравнение, определенное над любым б полем ольшим K K1.

О. Алгебраическое уравнение над полем K называется разрешимым при помощи уравнений из совокупности B или, короче, B-разрешимым, если существует последовательность полей K = K0 K1... Kn, такая что все корни уравнения лежат в поле Kn и для каждого i = 0,..., n - 1 поле Ki+1 получается из поля Ki присоединением всех корней некоторого алгебраического уравнения из совокупности B, определенного над полем Ki.

Является ли заданное алгебраическое уравнение B-разрешимым Теория Галуа доставляет необходимое условие для B-разрешимости уравнений. В настоящем пункте мы обсудим это условие.

Сопоставим совокупности уравнений B множество G(B) групп Галуа этих уравнений.

Глава. Разрешимость и теория Галуа У.. Множество конечных групп G(B) с каждой группой содержит все ее подгруппы.

Д. Пусть некоторое уравнение, определенное над полем K, принадлежит совокупности уравнений B. Пусть P – – поле, полученное присоединением к полю K всех корней этого уравнения, G – группа Галуа поля P над полем K и G1 G – подгруппа – – группы G. Обозначим через K1 промежуточное поле, соответствующее подгруппе G1. Группа Галуа рассматриваемого уравнения над полем K1 совпадает с подгруппой G1. По условию совокупность уравнений B вместе со всяким уравнением, определенным над полем K, содержит то же самое уравнение над б полем K1.

ольшим Т. ( B- ).

Если алгебраическое уравнение над полем K является B-разрешимым, то у его группы Галуа G существует нормальная башня подгрупп G = G0 G1... Gn = e, в которой каждая факторгруппа Gi/Gi+1 является факторгруппой одной из групп G(B).



Д. Действительно, B-разрешимость уравнения над полем K означает существование цепочки расширений K = K K1... Kn, в которой поле Ki+1 получается из поля Ki присоединением всех решений некоторого уравнения из совокупности B, а последнее поле Kn содержит все корни исходного алгебраического уравнения. Пусть G = G0... Gn = e – цепочка групп Галуа исходно– го уравнения над этой цепочкой полей. Покажем, что полученная цепочка подгрупп Gi удовлетворяет требованиям теоремы. Действительно, согласно теореме. группа Gi+1 является нормальной подгруппой в группе Gi, причем факторгруппа Gi/Gi+1 является одновременно факторгруппой группы Галуа поля Ki+1 над полем Ki. Так как поле Ki+1 получается из поля Ki присоединением всех корней алгебраического уравнения из совокупности B, то группа Галуа поля Ki+1 над полем Ki принадлежит множеству G(B).

.. Классы конечных групп. Пусть M – некоторое множество – конечных групп.

О. Пополнением (M) множества групп M назовем минимальный класс конечных групп, содержащий все группы из M и обладающий следующими свойствами:

) класс (M) вместе с каждой группой содержит все ее подгруппы;

§. Неразрешимость сложных уравнений ) класс (M) вместе с каждой группой содержит все ее факторгруппы;

) если у группы G есть такой нормальный делитель H, что группы H и G/H принадлежат классу (M), то группа G принадлежит классу (M).

Доказанная выше теорема делает актуальной следующую задачу: для заданного множества M конечных групп описать его пополнение (M). Напомним теорему Жордана– –Гёльдера. Нормальная башня G = G0... Gn = e группы G называется неуплотняемой, если все факторгруппы Gi/Gi+1 относительно этой башни являются простыми группами. Теорема Жордана– –Гёльдера утверждает, что для всякой конечной группы G множество факторгрупп Gi/Gi+1 относительно любой неуплотняемой нормальной башни группы G не зависит от выбора неуплотняемой башни (и, следовательно, определено инвариантно).

У.. Группа G принадлежит классу (M), если и только если каждая факторгруппа Gi/Gi+1 относительно неуплотняемой нормальной башни группы G является факторгруппой подгруппы некоторой группы из множества M.

Д. Во-первых, по определению класса (M) каждая группа G, удовлетворяющая условиям утверждения, лежит в классе (M). Во-вторых, несложно проверить, что группы G, удовлетворяющие условиям утверждения, обладают свойствами – из определения пополнения множества групп M.

С... Пополнением множества всех конечных абелевых групп является класс всех конечных разрешимых групп.

. Пополнением множества групп, содержащего группу S(k) и все конечные абелевы группы, является класс всех конечных k-разрешимых групп.

З. Необходимые условия разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и в k-радикалах являются частными случаями теоремы..

Гл а в а РА ЗР Е Ш ИМ О СТЬ Л ИНЕ ЙНЫ Х Д ИФФЕ Р Е НЦ ИА Л ЬНЫ Х УРА В НЕ НИ Й В КВА Д РАТ У РА Х И ТЕ О Р ИЯ П И КА РА – В Е ССИО – Пикар обратил внимание на аналогию между линейными дифференциальными уравнениями и алгебраическими уравнениями и начал строить дифференциальный аналог теории Галуа. Венцом этой теории является теорема Пикара– –Вессио, в которой вопрос о разрешимости или неразрешимости линейного дифференциального уравнения связывается с вопросом о разрешимости или неразрешимости группы Галуа уравнения, являющейся алгебраической группой Ли.

В этой главе подробно рассказывается о простейших расширениях Пикара– –Вессио и об аналогии между линейными дифференциальными уравнениями и алгебраическими уравнениями. Формулируются основные теоремы теории Пикара– –Вессио. Обсуждается линейно-алгебраическая часть теории, нужная для построения явных решений дифференциальных уравнений типа Фукса (см. § главы ). Формулируется критерий Колчина, позволяющий дать явные критерии различных видов разрешимости для систем дифференциальных уравнений типа Фукса с достаточно малыми коэффициентами (см. § главы ).

§ 1. Напомним простейшие свойства линейных дифференциальных уравнений и их аналоги для алгебраических уравнений.

.. Деление с остатком и наибольший общий делитель дифференциальных операторов. Линейным дифференциальным оператором порядка n над дифференциальным полем K называется оператор L = anDn +... + a0, где ai K и an = 0, действующий на элементы y поля K по формуле L( y) = an y(n) +... + a0 y.

Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио Для операторов L1 и L2 над K их произведение L = L1 L2 = L1(L2) тоже является оператором над K. Произведение операторов, вообще говоря, некоммутативно, но в старшем члене эта некоммутативность не проявляется. Старший член произведения L = L1 L2 операторов L1 и L2 равен произведению старших членов операторов Lи L2.

Для операторов L и L2 порядков n и k над K существуют и единственны операторы L1 и R над K, такие что L = L1 L2 + R и порядок оператора R строго меньше чем k. Оператор R называется остатком от деления справа оператора L на оператор L2. Операторы L1 и R строятся по операторам L и L2 явно: алгоритм деления операторов с остатком основан на приведенной выше формуле для старшего члена произведения операторов и абсолютно аналогичен алгоритму деления с остатком полиномов от одной переменной.

Для любых двух операторов L1 и L2 над K можно явно найти их правый наибольший общий делитель N. Это такой оператор N над K наибольшего возможного порядка, который делит справа операторы L1 и L2, т. е. L1 = M1 N и L2 = M2 N, где M1 и M2 – некоторые – операторы над K. Нахождение операторов M1, M2 и N по операторам L1 и L2 абсолютно аналогично алгоритму Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух полиномов от одной переменной и основано на алгоритме деления операторов с остатком. Как и в коммутативном случае, наибольший общий делитель N представ в виде N = AL1 + BL2, где A, B – некоторые операторы над K.





им – Ясно, что y является решением уравнения N( y)=0, если и только если L1( y) = 0 и L2( y) = 0.

.. Понижение порядка линейного дифференциального уравнения как аналог теоремы Безу. Пусть L – линейный дифферен– yциальный оператор над K, y1 – ненулевой элемент поля K, p = – – – yего логарифмическая производная и L2 = D - p – оператор первого – порядка, аннулирующий y1. Остаток R от деления справа L на Lявляется оператором умножения на c0, где c0 = L( y1). Действиyтельно, нужное равенство получается при подстановке y = y1 в тождество L( y) L1 L2( y) + c0 y. Оператор L делится справа на оператор L2, если и только если элемент y1 удовлетворяет тождеству L( y1) 0.

§. Дифференциальные и алгебраические уравнения Используя ненулевое решение y1 уравнения n-го порядка L( y)=0, можно понизить порядок этого уравнения. Для этого надо представить оператор L в виде L = L1 L2, где L1 – оператор (n - 1)-го – порядка. Коэффициенты оператора L1 лежат в расширении дифференциального поля K логарифмической производной p элемента y1. Если известно любое решение u уравнения L1(u) = 0, то по нему можно построить некоторое решение y исходного уравнения L( y) = 0. Для этого достаточно решить уравнение L2( y) = y - py = u.

Описанная процедура называется понижением порядка дифференциального уравнения.

З. Оператор, аннулирующий y1, определен с точностью до умножения на произвольную функцию, и от выбора этой функции зависит процедура понижения порядка. Легче делить на - оператор L2 = D y1, являющийся композицией умножения на эле-мент y1 и дифференцирования. Для этого достаточно вычислить оператор L3 = L y1, являющийся композицией умножения на элемент y1 и оператора L. Оператор L3 делится справа на D, т. е. L3 = = L1 D, так как L3(1) L y1(1) 0. Видно, что L = L1 L2. Исходное уравнение L( y) = 0 сводится к уравнению L1(u) =0 меньшего порядка. Обычно именно такую процедуру понижения порядка приводят в учебниках по дифференциальным уравнениям. Отметим, что ко эффициенты оператора L1 лежат в расширении дифференциального поля K самим элементом y1, а не его логарифмической производ ной p, что иногда делает оператор L1 менее удобным, чем оператор L1.

В алгебре есть следующие аналоги приведенных фактов: ) остаток от деления полинома P от переменной x на x - a равен значению полинома P в точке a (теорема Безу); ) если известно одно решение x1 уравнения P(x) = 0, то его степень можно понизить, остальные корни полинома P удовлетворяют уравнению меньшей степени Q(x) = 0, где Q = P : (x - x1). Кроме аналогии здесь имеется и отличие: решения дифференциального уравнения, полученного процедурой понижения порядка, вообще говоря, не являются решениями исходного уравнения.

З. Экспоненты являются собственными функциями дифференциальных операторов P(D) с постоянными коэффициентами. Этот факт эквивалентен теореме Безу. Действительно, если P = Q(x - a)+ P(a), то P(D)= Q(D)(D -a)+ P(a). Поэтому решение Глава. Разрешимость и теория Пикара– –Вессио y1 дифференциального уравнения (D - a) y = 0 является собственным вектором оператора P(D) с собственным числом P(a).

.. Общее линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и резольвенты Лагранжа. Покажем, что решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами аналогично решению алгебраического уравнения в радикалах (см. § главы ).

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор L(D) = Dn - an-1Dn-1 -... - a0E с постоянными комплексными коэффициентами an-1,..., a0. Пусть характеристический полином T(t) = tn - an-1tn-1 -... - a0 этого оператора имеет ровно n различных комплексных корней 1,..., n. Тогда линейное дифференциальное уравнение L( y) = 0 решается явно при помощи обобщенных резольвент Лагранжа. Резольвенты Лагранжа используются здесь точно так же, как при решении алгебраических уравнений в радикалах.

Обсудим это подробнее.

Рассмотрим векторное пространство V решений уравнения L(D) y = y(n) - an-1 y(n-1) -... - a0 y = 0. () Ясно, что оператор дифференцирования D переводит пространство V в себя. Оператор D : V V удовлетворяет уравнению T(D) = 0.

Обозначим через Ti(D) обобщенную резольвенту Лагранжа оператора D : V V, соответствующую корню i (см. п.. главы ).

Т.. Всякое решение y уравнения () является суммой своих обобщенных резольвент Лагранжа: y = y( ) +... + y( ). Обоб1 n щенная резольвента Лагранжа y = P( )(D) y удовлетворяет дифi i ференциальному уравнению y = i y.

i i Д. Теорема. немедленно следует из утверждения. главы.

Итак, обобщенные резольвенты Лагранжа позволяют сводить общее уравнение (), для которого характеристическое уравнение имеет простые корни, к уравнениям y = i y.

i i У. Пусть Q(x) = b0 + b1 x +... + bk xk – по– лином над полем и u0,..., uk – последовательность комплексных – чисел. Комплексное число (b0u0 + b1u1 +... + bkuk) M удобно обозначать символом Qu0,..., uk.

§. Дифференциальные и алгебраические уравнения Используя это обозначение, можно написать формулу для решения y уравнения (), имеющего следующие начальные данные:

n-y(t0) = y0,..., y(n-1)(t0) = y0.

С.. Решение сформулированной выше задачи Коши задается следующей формулой:

(n-1) y(t) = P( ) y0,..., y0 exp i(t - t0).

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.