WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 35 |

Т. ( Г Г ). При расширении Галуа поля коэффициентов группа Галуа G исходного уравнения заменяется своим нормальным делителем G1. Факторгруппа G/G1 группы G по этому нормальному делителю изоморфна факторгруппе группы Галуа но вого поля коэффициентов K над старым полем коэффициентов K.

Глава. Разрешимость и теория Галуа Д. Действительно, группа G1 соответствует по лю P K, которое является расширением Галуа поля K. Поэтому группа G1 является нормальным делителем группы G, а ее факторгруппа G/G1 изоморфна группе Галуа поля K1 над полем K. Но группа Галуа поля K1 над полем K изоморфна факторгруппе /1.

Теорема доказана.

§ 8. Алгебраическое уравнение над полем K разрешимо в радикалах, если существует цепочка расширений K = K0 K1... Kn, в которой поле Kj+1 получается из поля Kj, j = 0, 1,..., n - 1, присоединением радикала, а поле Kn содержит все корни исходного алгебраического уравнения. Решается ли заданное алгебраическое уравнение в радикалах Теория Галуа была создана для ответа на этот вопрос.

В п.. рассматривается группа корней n-й степени из единицы, лежащих в заданном поле K. В п.. рассматривается группа Галуа уравнения xn = a. В п.. приводится критерий разрешимости алгебраического уравнения в радикалах (в терминах группы Галуа этого уравнения).

.. Корни из единицы. Пусть K – некоторое поле. Обозначим – через KE мультипликативную группу всех корней из единицы поля K (т. е. a KE, если и только если a K и для некоторого натурального n выполнено равенство an = 1).

У.. Если в группе KE существует подгруппа, содержащая l элементов, то уравнение xl = 1 имеет в поле K ровно l различных корней и рассматриваемая подгруппа образована всеми этими корнями.

Д. Каждый элемент x в группе порядка l удовлетворяет уравнению xl = 1. В поле есть не более чем l корней такого уравнения, а группа по условию имеет ровно l элементов.

Из утверждения. вытекает, в частности, что в группе KE есть не более одной циклической подгруппы любого заданного порядка l.

У.. Конечная абелева группа G, имеющая не более одной циклической подгруппы любого заданного порядка, является циклической группой. В частности, любая конечная подгруппа в группе KE является циклической группой.

§. Критерий разрешимости в радикалах Д. Из классификации конечных абелевых групп следует, что абелева группа, удовлетворяющая условию утверждения, с точностью до изоморфизма определяется числом m своих элеk1 kn ментов: если m = p1... pn – разложение числа m на простые множи– k1 kn тели, то G = ( /p1 )... ( /pn ). Поэтому (см. утверждение.) группы корней из единицы, содержащие заданное число элементов m, в различных полях изоморфны между собой. Но в поле комплексных чисел группа порядка m, состоящая из всех корней из единицы порядка m, очевидно, является циклической.

Циклическую группу из m элементов можно отождествить с аддитивной группой кольца вычетов по модулю m.

У.. Группа автоморфизмов группы /m изоморфна мультипликативной группе обратимых элементов кольца вычетов по модулю m. В частности, эта группа автоморфизмов коммутативна.

Д. Автоморфизм F группы /m однозначно определяется элементом F(1), который, очевидно, должен быть обратим в мультипликативной группе кольца вычетов. Этот автоморфизм совпадает с умножением на F(1).

Л.. Пусть расширение Галуа P поля K получается из поля K присоединением некоторых корней из единицы. Тогда группа Галуа поля P над полем K коммутативна.

Д. Все корни из единицы, лежащие в поле P, образуют циклическую группу по умножению. Преобразование из группы Галуа задает автоморфизм этой группы и целиком определяется этим автоморфизмом, т. е. группа Галуа вкладывается в группу автоморфизмов циклической группы. Теперь лемма. вытекает из утверждения..

.. Уравнение xn = a.

У.. Пусть поле K содержит все корни степени n из единицы. Тогда группа Галуа уравнения xn - a = 0 над полем K, где 0 = a K, является подгруппой циклической группы из n элементов.

Д. Группа корней n-й степени из единицы циклическая (см. утверждение.). Пусть – любая образующая этой – группы. Фиксируем любой корень x0 уравнения xn - a = 0. Занумеруем корни уравнения xn -a=0 вычетами i по модулю n, положив xi равным ix0. Пусть преобразование g из группы Галуа переводит ко Глава. Разрешимость и теория Галуа рень x0 в корень xi. Тогда g(xk) = g(kx0) = k+ix0 = xk+i (напомним, что по предположению K, поэтому g() = ), т. е. всякое преобразование группы Галуа задает циклическую перестановку корней.

Следовательно, группа Галуа вкладывается в циклическую группу из n элементов.

Л.. Группа Галуа G уравнения xn - a = 0 над полем K, где 0 = a K, обладает коммутативным нормальным делителем G1, факторгруппа G/G1 относительно которого коммутативна.

В частности, группа Галуа G разрешима.

Д. Пусть P – расширение поля K, полученное до– бавлением к этому полю всех корней уравнения xn = a. Отношение любых двух корней уравнения xn = a является корнем n-й степени из единицы. Отсюда видно, что поле P содержит все корни степени n из единицы. Обозначим через K1 расширение поля K, полученное добавлением к этому полю всех корней степени n из единицы. Мы имеем включения K K1 P. Обозначим через G1 группу Галуа уравнения xn =a над полем K1. Согласно утверждению. группа G1 коммутативна. Группа G1 является нормальным делителем группы G, так как поле K1 является расширением Галуа поля K. Факторгруппа G/G1 коммутативна, так как согласно лемме. группа Галуа поля K1 над полем K коммутативна.



.. Разрешимость в радикалах. Справедлив следующий критерий разрешимости алгебраических уравнений в радикалах.

Т. ( ). Алгебраическое уравнение над некоторым полем решается в радикалах, если и только если его группа Галуа разрешима.

Д. Пусть уравнение решается в радикалах. Разрешимость уравнения в радикалах над полем K означает существование цепочки расширений K = K0 K1... Kn, в которой поле Kj+1 получается из поля Kj, j = 0, 1,..., n - 1, присоединением радикала, а поле Kn содержит все корни исходного алгебраического уравнения. Обозначим через Gj группу Галуа нашего уравнения над полем Kj. Проследим, что происходит с группой Галуа уравнения при переходе от поля Ki к полю Ki+1. Согласно теореме. группа Gi+1 является нормальной подгруппой в группе Gi, причем факторгруппа Gi/Gi+1 является одновременно факторгруппой группы Галуа поля Ki+1 над полем Ki. Так как поле Ki+1 получается из поля Ki §. Критерий разрешимости в k-радикалах присоединением радикала, то согласно лемме. группа Галуа поля Ki+1 над полем Ki разрешима. (В случае, когда поле K содержит все корни из единицы, группа Галуа поля Ki+1 над полем Ki коммутативна.) Так как все корни алгебраического уравнения по условию лежат в поле Kn, то группа Галуа Gn алгебраического уравнения над полем Kn тривиальна.

Итак, если уравнение решается в радикалах, то у его группы Галуа G существует цепочка подгрупп G = G0 G1... Gn, в которой группа Gi+1 является нормальным делителем группы Gi с разрешимой факторгруппой Gi/Gi+1, а группа Gn тривиальна. (Если поле K содержит все корни из единицы, то факторгруппы Gi/Gi+1 коммутативны.) Таким образом, если уравнение решается в радикалах, то его группа Галуа разрешима.

Пусть группа Галуа G алгебраического уравнения над полем K разрешима. Обозначим через K поле, полученное из поля K присо единением всех корней из единицы. Группа Галуа G алгебраическо го уравнения над б полем K является подгруппой группы G.

ольшим Поэтому группа Галуа G разрешима. Обозначим через P поле, по лученное из поля K присоединением всех корней алгебраического уравнения. Разрешимая группа G действует на поле P с полем ин вариантов K. Согласно теореме. каждый элемент поля P выража ется в радикалах через элементы поля K. По определению поля K каждый элемент этого поля выражается через корни из единицы и элементы поля K. Теорема доказана.

§ 9. k- Скажем, что алгебраическое уравнение над полем K разрешимо в k-радикалах, если существует цепочка расширений K = K0 K1...

... Kn, в которой для каждого j, 0< j n, либо поле Kj+1 получается из поля Kj присоединением радикала, либо поле Kj+1 получается из поля Kj присоединением корня уравнения степени не выше k, а поле Kn содержит все корни исходного алгебраического уравнения.

Решается ли заданное алгебраическое уравнение в k-радикалах В этом параграфе дается ответ на этот вопрос. В п.. обсуждаются свойства k-разрешимых групп. В п.. доказывается критерий разрешимости уравнений в k-радикалах.

Начнем со следующего простого утверждения.

Глава. Разрешимость и теория Галуа У.. Группа Галуа уравнения степени m k изоморфна подгруппе группы S(k).

Д. Любой элемент группы Галуа переставляет корни уравнения и вполне определяется возникшей перестановкой корней. Поэтому группа Галуа уравнения степени m изоморфна подгруппе группы S(m). При m k группа S(m) является подгруппой группы S(k).

.. Свойства k-разрешимых групп. В этом пункте мы покажем, что k-разрешимые группы (см. § ) имеют свойства, аналогичные свойствам разрешимых групп. Начнем с леммы., характеризующей подгруппы группы S(k).

Л.. Группа изоморфна подгруппе группы S(k), если и только если у нее есть набор из m подгрупп, m k, такой что ) пересечение подгрупп не содержит нормальных делителей группы, отличных от тривиального; ) сумма индексов всех подгрупп не превосходит k.

Д. Пусть G является подгруппой группы S(k).

Рассмотрим представление группы G как некоторой подгруппы перестановок множества M, содержащего k элементов. Пусть под действием группы G множество M распадается на m орбит. Выберем в каждой орбите по точке xi. Набор стационарных подгрупп Gi точек xi удовлетворяет условиям леммы.

Обратно, пусть группа G обладает набором подгрупп, удовлетворяющим условиям леммы. Обозначим через P объединение множеств Pi правых классов смежности группы G по подгруппе Gi, 1 i n. Группа G обладает естественным действием на множестве P. Возникающее представление группы G в группе S(P) точное, так как ядро этого представления лежит в пересечении подгрупп Gi.

Группа S(P) вкладывается в группу S(k), так как число точек в множестве P равно сумме индексов подгрупп Gi.

С.. Факторгруппа подгруппы симметрической группы S(k) изоморфна подгруппе симметрической группы S(k).

Д. Пусть группа G изоморфна подгруппе группы S(k), и Gi – набор ее подгрупп, удовлетворяющих условию лем– мы. Пусть – произвольный гомоморфизм группы G. Тогда сово– купность подгрупп (Gi) в группе (G) тоже удовлетворяет условиям леммы.

§. Критерий разрешимости в k-радикалах Скажем, что нормальный делитель H в группе G имеет глубину, не превосходящую k, если в группе G существует такая подгруппа Gиндекса, не превосходящего k, что H является пересечением всех подгрупп, сопряженных с G0.

Будем говорить, что группа имеет глубину, не превосходящую k, если ее единичный нормальный делитель имеет глубину не больше k.





Нормальной башней группы G называется вложенная цепочка подгрупп G = G0... Gn = e, в которой каждая следующая группа является нормальным делителем в предыдущей группе.

С.. Если группа G является подгруппой группы S(k), то у группы G существует вложенная цепочка подгрупп G = G G1... Gn = e, в которой группа Gn тривиальна, а для каждого i = 0, 1,..., n - 1 группа Gi+1 является нормальным делителем группы Gi глубины, не превосходящей k.

Д. Пусть Gi – совокупность подгрупп в группе – G, удовлетворяющих условиям леммы. Обозначим через Fi нормальный делитель группы G, равный пересечению всех подгрупп, сопряженных группе Gi. Цепочка подгрупп 0 = F0, 1 = F0 F1,..., m = F0 F1... Fm удовлетворяет требованиям следствия.

Л.. Группа G является k-разрешимой группой, если и только если у нее существует нормальная башня подгрупп G = GG1...Gn =e, в которой для каждого i, 0

Д.. Пусть у группы G есть нормальная башня G = G0 G1... Gn = e, удовлетворяющая условиям леммы. Если для некоторого i нормальный делитель Gi в группе Gi-1 имеет глубину не больше k, то у группы Gi-1/Gi есть цепочка подгрупп Gi-1/Gi = 0... m = e, в которой индекс каждой следующей подгруппы в предыдущей не превосходит k. Для каждого такого номера i между группами Gi-1 и Gi вставим цепочку подгрупп Gi-1 = -1(0)... -1(m) = Gi где – гомоморфизм фактори– зации. Мы получим цепочку подгрупп группы G, удовлетворяющую определению k-разрешимой группы.

. Пусть группа G k-разрешима и G = G0 G1... Gn = e – цепоч– ка подгрупп, удовлетворяющая условиям, перечисленным в определении k-разрешимой группы. Мы будем последовательно умень Глава. Разрешимость и теория Галуа шать подгруппы в цепочке. Пусть i – первый номер, для которого – группа Gi не является нормальным делителем в группе Gi-1, а является подгруппой индекса i в этой группе. В этом случае у группы Gi-1 есть нормальный делитель H, лежащий в подгруппе Gi и такой, что группа Gi-1/H изоморфна подгруппе группы S(k). Действительно, в качестве H достаточно взять пересечение всех подгрупп в группе Gi-1, сопряженных с группой Gi. Изменим цепочку подгрупп G = G0 G1... Gn = e следующим образом: подгруппы с номерами, меньшими чем i, оставим без изменения. Каждую подгруппу Gj, i j, заменим на группу Gj H. Применим ту же процедуру к полученной цепочке подгрупп, и т. д. В результате мы получим нормальную башню подгрупп, удовлетворяющую условиям леммы.

Т... Подгруппа и факторгруппа k-разрешимой группы являются k-разрешимыми группами.

. Если группа имеет k-разрешимый нормальный делитель, факторгруппа по которому k-разрешима, то группа тоже k-разрешима.

Д. Единственное неочевидное утверждение теоремы – это утверждение о факторгруппе. Оно легко вытекает из – леммы..

.. Разрешимость в k-радикалах. Справедлив следующий критерий разрешимости уравнений в k-радикалах.

Т. ( k- ). Алгебраическое уравнение над некоторым полем решается в k-радикалах, если и только если его группа Галуа k-разрешима.

Д.. Пусть уравнение решается в k-радикалах.

Нам надо показать, что группа Галуа уравнения k-разрешима. Это доказывается в точности так же, как разрешимость группы Галуа уравнения, решаемого в радикалах.

Пусть K = K0 K1... Kn – цепочка полей, связанная с решени– ем уравнения в k-радикалах, и G0... Gn – цепочка групп Галуа – уравнения над этими полями. Поле Kn по условию содержит все корни уравнения, поэтому группа Gn тривиальна и, следовательно, является k-разрешимой. Предположим, что группа Gi+1 k-разрешима.

Надо доказать, что группа Gi тоже k-разрешима.

Если поле Ki+1 получается из поля Ki присоединением радикала, то группа Галуа поля Ki+1 над полем Ki разрешима и, следовательно, k-разрешима.

§. Критерий разрешимости в k-радикалах Если поле Ki+1 получается из поля Ki присоединением всех корней уравнения степени не выше k, то группа Галуа поля Ki+1 над полем Ki – подгруппа группы S(k) (см. утверждение.), и, следо– вательно, она k-разрешима.

Согласно теореме. группа Gi+1 является нормальной подгруппой в группе Gi, причем факторгруппа Gi/Gi+1 является одновременно факторгруппой группы Галуа поля Ki+1 над полем Ki. Группа Gi+1 k-разрешима по предположению. Группа Галуа поля Ki+1 над полем Ki, как мы только что показали, k-разрешима. Воспользовавшись теоремой., получаем, что группа Gi k-разрешима.

. Пусть группа Галуа G алгебраического уравнения над полем K k-разрешима. Обозначим через K поле, полученное из поля K присо единением всех корней из единицы. Группа Галуа G алгебраическо го уравнения над б полем K является подгруппой группы G.

ольшим Поэтому группа Галуа G k-разрешима. Обозначим через P поле, по лученное из поля K присоединением всех корней алгебраического уравнения. Группа G действует на поле P с полем инвариантов K.

Согласно теореме. каждый элемент поля P выражается через эле менты поля K при помощи радикалов, арифметических операций и решения алгебраических уравнений степени не выше k. По опреде лению поля K каждый элемент этого поля выражается через корни из единицы и элементы поля K. Теорема доказана.

.. Неразрешимость общего уравнения степени k + 1 > в k-радикалах. Пусть K – некоторое поле. Общее алгебраическое – уравнение степени k с коэффициентами из поля K – это уравнение – xk + a1xk-1 +... + ak = 0, () коэффициенты которого – достаточно общие элементы из поля K.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.