WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 35 |

Пусть b0 + b1x +... + bmxm = 0 – алгебраическое уравнение над – полем K, bi K, корни x1,..., x0 которого попарно различны между m собой. Пусть P – поле, полученное присоединением к полю K всех – корней этого уравнения. Рассмотрим отображение : K[x1,..., xm] P, сопоставляющее каждому многочлену его значение в точке 0 (x1,..., xm) Pm.

Глава. Разрешимость и теория Галуа С.. Пусть y K[x1,..., xm] – такой многочлен, что – все n = m! многочленов, полученных из y всевозможными перестановками переменных, принимают различные значения в точке (x1,..., x0 ) Pm. Тогда значение многочлена y в этой точке порожm дает поле P над полем K.

Д. Действительно, алгебраические элементы 0 x1,..., xm порождают поле P над полем K. Поэтому каждый элемент поля P является значением некоторого многочлена из кольца K[x1,..., xm] в точке x1,..., x0. Но согласно следствию. каждый m многочлен F после умножения на Q( y) представляется в виде по линома T от y с коэффициентами из алгебры K. Подставим в соот0 ветствующее тождество F(x1,..., xm) = Q( y)T( y) точку (x1,..., xm).

0 По условию все n = m! корней полинома Q в точке (x1,..., xm) различны между собой. Поэтому функция Q( y) в этой точке отлична 0 от нуля, а значение симметрических полиномов в точке (x1,..., xm) принадлежат полю K (так как симметрические полиномы от корней уравнения выражаются через его коэффициенты).

0 Л.. Для любых попарно различных элементов x1,..., xm поля P K существует линейный многочлен y = 1x1 +... + mxm с коэффициентами 1,..., m из поля K, такой что все n = m! многочленов, полученных из многочлена y перестановками переменных, 0 принимают различные значения в точке (x1,..., xm) Pm.

Д. Рассмотрим n = m! точек, полученных из точки (x1,..., x0 ) всевозможными перестановками координат. Для m каждой пары точек линейные многочлены, принимающие равные значения в этих точках, образуют собственное подпространство в пространстве линейных многочленов с коэффициентами в поле K.

Подпространства, соответствующие всевозможным парам точек, не могут покрывать всего пространства (утверждение.). Любой линейный полином y, не лежащий в объединении описанных собственных подпространств, удовлетворяет условиям леммы.

О. Уравнение a0 + a1 x +... + amxm = 0 над полем K 0 называется уравнением Галуа, если его корни x1,..., xm обладают следующим свойством: для любой пары корней xi, x0 найдется j полином Pi, j(t) над полем K, такой что Pi, j(xi ) = x0.

j Т.. Пусть поле P получается из поля K при помощи присоединения всех корней алгебраического уравнения над полем K, не имеющего кратных корней. Тогда то же самое поле P можно §. Автоморфизмы, связанные с уравнением Галуа получить из поля K, присоединяя один корень некоторого (вообще говоря, другого) неприводимого уравнения Галуа над полем K.

0 Д. По условию все корни x1,..., xm уравнения попарно различны. Рассмотрим такой однородный линейный многочлен y с коэффициентами в поле K, что все n = m! линейных многочленов, полученных из многочлена y перестановкой переменных, 0 принимают в точке (x1,..., xm) различные значения. Рассмотрим уравнение степени n над полем K, корнями которого являются эти значения. Согласно доказанному выше следствию полученное уравнение является уравнением Галуа, а его корни порождают поле P.

Полученное уравнение Галуа может оказаться приводимым. Приравнивая к нулю любой из неприводимых сомножителей, получим искомое неприводимое уравнение Галуа.

§ 6., В этом параграфе строится группа автоморфизмов расширения, полученного из исходного поля присоединением всех корней некоторого уравнения Галуа. Показывается (теорема.), что поле инвариантов этой группы совпадает с полем коэффициентов.

Пусть Q = b0 + b1x +... + bnxn – неприводимый многочлен над – полем K. Тогда все поля, порожденные над полем K одним корнем уравнения Q, изоморфны между собой и допускают следующее абстрактное описание: каждое такое поле изоморфно фактору кольца K[x] по простому идеалу IQ, порожденному неприводимым многочленом Q. Обозначим это поле через K[x]/IQ.

0 Пусть M – расширение поля K, содержащее все n корней x1,..., xn – уравнения Q(x) = 0. С каждым корнем xi свяжем поле Ki, являющееся расширением поля K при помощи корня xi. Все поля Ki, i = 1,..., n, изоморфны между собой и изоморфны полю K[x]/IQ.

Обозначим через i изоморфное отображение поля K[x]/IQ в поле Ki, оставляющее на месте элементы поля коэффициентов K и переводящее многочлен x в элемент xi.

Л.. Пусть уравнение Q = b0 + b1x +... + bnxn = 0 неприводимо над полем K. Тогда образы i(a) элемента a поля K[x]/IQ в поле M при всех изоморфизмах i, i = 1,..., n, совпадают между собой, если и только если элемент a лежит в поле коэффициентов K.

Глава. Разрешимость и теория Галуа Д. Если b=1(a)=...=n(a), то элемент b равен (1(a) +... + n(a))n-1 (в рассматриваемом случае n = 0 в поле K).

Поэтому элемент b является значением симметрического многочлена от корней x1,..., x0 уравнения Q(x) = 0, т. е. принадлежит полю n коэффициентов K.

Теперь все готово для доказательства основного утверждения этого параграфа.

Т.. Пусть поле P получено из поля K присоединением всех корней неприводимого алгебраического уравнения над полем K.

Тогда элемент b P неподвижен при всех автоморфизмах поля P, оставляющих неподвижными все элементы поля K, если и только если b K.

Д. Согласно теореме. можно считать, что поле P получено из K присоединением всех корней (или, что то же самое, одного корня) неприводимого уравнения Галуа. По определению уравнения Галуа все поля Ki, о которых идет речь в лемме., совпадают между собой и совпадают с полем P. Изоморфизм j-1 поля i Ki в поле Kj является автоморфизмом поля P, оставляющим неподвижными все элементы поля K. Согласно лемме элемент b P неподвижен при всех таких автоморфизмах, если и только если b K.



§ 7. В §,, и фактически уже были доказаны центральные теоремы теории Галуа. В этом параграфе подводятся итоги. Определяются расширения Галуа (п..), группы Галуа (п..), доказывается основная теорема теории Галуа (п..), обсуждаются свойства соответствия Галуа (п..) и поведение группы Галуа при увеличении поля коэффициентов.

.. Расширения Галуа. Приведем два эквивалентных определения.

О. Поле P, полученное из поля K присоединением всех корней некоторого алгебраического уравнения над полем K, называется расширением Галуа поля K.

О. Поле P является расширением Галуа своего подполя K, если существует конечная группа автоморфизмов G поля P, полем инвариантов которой является поле K.

§. Основная теорема теории Галуа У.. Определения и эквивалентны. Группа G из определения совпадает с группой всех автоморфизмов поля P над полем K. Следовательно, группа G определена однозначно.

Д. Если поле P является расширением Галуа поля K в смысле определения, то по теореме. поле P является расширением Галуа поля P в смысле определения. Пусть теперь поле P является расширением Галуа поля K в смысле определения.

Согласно следствию. существует элемент a P, который сдвигается с места любым нетривиальным элементом группы G. Рассмотрим орбиту O элемента a относительно действия группы G. Согласно теореме. существует алгебраическое уравнение над полем K, множество корней которого совпадает с O. Согласно теореме. любой из элементов орбиты, т. е. любой из корней этого алгебраического уравнения, порождает поле P над полем K. Тем самым поле P является расширением Галуа поля K в смысле определения.

Любой автоморфизм поля P над полем K переводит элемент a в некоторый элемент множества O, так как множество O является множеством решений уравнения с коэффициентами в поле K. Поэтому для найдется такой элемент g группы G, что (a) = g(a).

Автоморфизм совпадает с этим элементом g, так как элемент a порождает поле P над полем K. Значит, группа G совпадает с группой всех автоморфизмов поля P над полем K.

.. Группы Галуа. Перейдем к группам Галуа – центральному – объекту теории Галуа.

Группой Галуа расширения Галуа P поля K (или, короче, группой Галуа поля P над полем K) называется группа всех автоморфизмов поля P над полем K. Группой Галуа алгебраического уравнения над полем K называется группа Галуа расширения Галуа P поля K, полученного присоединением к этому полю всех корней данного алгебраического уравнения.

Пусть поле P получается из поля K присоединением всех корней уравнения a0 + a1x +... + anxn = 0 () над полем K.

Каждый элемент из группы Галуа поля P над полем K переставляет корни уравнения (). Действительно, применяя автоморфизм Глава. Разрешимость и теория Галуа к равенству (), получаем (a0 + a1x +... + anxn) = a0 + a1(x) +... + an((x))n = 0.

Таким образом, группа Галуа поля P над полем K имеет представление в группе перестановок корней уравнения (). Это представление точное: если автоморфизм оставляет неподвижными все корни уравнения (), то он сохраняет на месте все элементы поля P и, следовательно, является тривиальным.

О. Соотношением между корнями уравнения (), определенным над полем K, называется любой полином Q, принадлежащий кольцу K[x1,..., xn], который обращается в нуль в точке 0 0 0 (x1,..., xn), где x1,..., xn – набор корней уравнения ().

– У.. Всякий автоморфизм из группы Галуа сохраняет все соотношения над полем K между корнями уравнения ().

Обратно, всякая перестановка корней, сохраняющая все соотношения между корнями, определенные над полем K, продолжается до автоморфизма из группы Галуа. (Таким образом, группу Галуа поля P над полем K можно отождествить с группой всех перестановок корней уравнения (), сохраняющих все соотношения между корнями, определенные над полем K.) Д. Если перестановка S(n) соответствует элементу группы Галуа, то полином Q, полученный из соотношения Q перестановкой переменных x1,..., xn, тоже обращается в нуль в 0 точке x1,..., xn. Обратно, пусть перестановка сохраняет все соотношения между корнями, определенные над полем K. Продолжим перестановку до автоморфизма поля P над полем K. Всякий элемент поля P является значением некоторого полинома Q1, принадлежащего кольцу K[x1,..., xn], в точке (x1,..., x0). Значение автоn морфизма на этом элементе естественно определить как значение полинома Q1, полученного из полинома Q1 перестановкой пере0 менных, в точке (x1,..., xn). Нужно проверить, что это определение корректно. Пусть Q2 – другой полином из кольца K[x1,..., xn], – значение которого в точке (x1,..., x0) совпадает со значением в этой n точке полинома Q1. Но тогда полином Q1 -Q2 является соотношением над полем K между корнями. Поэтому полином Q1 - Q2 тоже 0 должен обратиться в нуль в точке (x1,..., xn), но это и означает, что автоморфизм определен корректно.

§. Основная теорема теории Галуа.. Основная теорема. Пусть поле P является расширением Галуа поля K. Теория Галуа описывает все промежуточные поля, т. е.

все поля, лежащие в поле P и содержащие поле K. Сопоставим каждой подгруппе L группы Галуа поля P над полем K подполе PL всех элементов, остающихся неподвижными при действии подгруппы L.

Это соответствие называется соответствием Галуа.

Т. ( Г ). Соответствие Галуа расширения Галуа является взаимно однозначным соответствием между множеством подгрупп группы Галуа и множеством промежуточных полей.





Д. Во-первых, согласно теореме. различные подгруппы группы Галуа имеют различные поля инвариантов. Вовторых, если поле P является расширением Галуа поля K, то оно является расширением Галуа и всякого промежуточного поля. Это очевидно, если воспользоваться определением расширения Галуа из п... Из определения расширения Галуа (там же) видно, что промежуточное поле является неподвижным полем для некоторой группы автоморфизмов поля P над полем K. Теорема доказана.

.. Свойства соответствия Галуа. Обсудим простейшие свойства соответствия Галуа.

У.. Промежуточное поле является расширением Галуа поля коэффициентов, если и только если при соответствии Галуа этому полю сопоставляется нормальный делитель группы Галуа. Группа Галуа промежуточного расширения Галуа над полем коэффициентов изоморфна факторгруппе группы Галуа исходного расширения по нормальному делителю, соответствующему промежуточному расширению Галуа.

Д. Пусть H – нормальный делитель группы Га– луа G и LH – промежуточное поле, соответствующее подгруппе H.

– Поле LH переходит в себя при действии автоморфизмов из группы G, так как множество неподвижных точек действия нормального делителя инвариантно относительно действия группы (утверждение.). Группа автоморфизмов поля LH, индуцированная действием группы G, изоморфна факторгруппе G/H. Поле инвариантов относительно действия на поле LH индуцированной группы автоморфизмов совпадает с полем K. Итак, если H – нормальный делитель – группы G, то LH – расширение Галуа поля K с группой Галуа G/H.

– Глава. Разрешимость и теория Галуа Пусть K1 – промежуточное расширение Галуа поля K. Поле K1 по– лучается из поля K присоединением всех корней некоторого алгебраического уравнения над полем K. Любой автоморфизм g из группы Галуа G лишь переставляет между собой корни этого уравнения и поэтому переводит поле K1 в себя. Пусть поле K1 соответствует подгруппе H, K1 = LH. Элемент g группы G переводит поле LH в поле LgHg-1. Итак, если промежуточное расширение Галуа K1 соответствует подгруппе H, то для всякого элемента g G справедливо равенство H = gHg-1. Другими словами, группа H является нормальным делителем группы Галуа G.

У.. Наименьшее алгебраическое расширение поля K, содержащее два заданных расширения Галуа поля K, является расширением Галуа поля K.

Д. Наименьшее поле P, содержащее оба расширения Галуа, можно построить следующим образом. Пусть первое поле получается добавлением к полю K всех корней полинома Q1, а второе поле – всех корней полинома Q2. Поле P получается при– соединением к полю K всех корней полинома Q = Q1Q2 и, следовательно, является расширением Галуа поля K.

У.. Пересечение двух расширений Галуа является расширением Галуа. Группа Галуа пересечения является факторгруппой группы Галуа каждого из исходных расширений Галуа.

Д. Пусть P – наименьшее поле, содержащее оба – расширения Галуа. Как мы доказали, P – расширение Галуа поля K.

– Группа Галуа поля P над полем K переводит в себя как первое, так и второе расширение поля K. Следовательно, пересечение двух расширений Галуа также будет переводиться в себя действиями группы G. Поэтому согласно утверждению. пересечение двух расширений Галуа будет расширением Галуа. Из того же утверждения вытекает, что группа Галуа пересечения является факторгруппой группы Галуа каждого из исходных расширений Галуа.

.. Изменение поля коэффициентов. Пусть a0 + a1x +... + anxn = 0 () – алгебраическое уравнение над полем K и P – расширение Галуа – – поля K, полученное присоединением к полю K всех корней уравне ния (). Рассмотрим большее поле K K и его расширение Галуа P, §. Основная теорема теории Галуа полученное присоединением к полю K всех корней уравнения ().

Как связана группа Галуа поля P над K с группой Галуа G поля P над K Или, другими словами, что происходит с группой Галуа уравнения () при увеличении основного поля (т. е. при переходе от поля K к полю K) При увеличении поля коэффициентов группа Галуа уравнения, вообще говоря, уменьшается, т. е. заменяется некоторой подгруппой Галуа уравнения над исходным полем. Действительно, над б полем может быть больше соотношений между корнями ольшим уравнения (). Приведем более точное утверждение.

Обозначим через K1 пересечение полей P и K. Поле K1 содержит поле K и лежит в поле P, т. е. K K1 P. Согласно основной теореме теории Галуа полю K1 соответствует некоторая подгруппа G1 группы Галуа G.

Т.. Группа Галуа G поля P над полем K изоморфна подгруппе G1 в группе Галуа G поля P над полем K.

Д. Группа Галуа G оставляет элементы поля K неподвижными (так как K K) и переставляет корни уравнения (). Поэтому поле P переводится автоморфизмами группы G в себя. Неподвижными элементами относительно индуцированной группы автоморфизмов поля P являются в точности те элементы поля P, которые содержатся в поле K, т. е. элементы поля K1 = P K.

Поэтому индуцированная группа автоморфизмов поля P совпадает с подгруппой G1 группы Галуа G поля P над полем K. Осталось показать, что описанный выше гомоморфизм группы G в группу G1 не имеет ядра. Действительно, ядро этого гомоморфизма оставляет неподвижными все корни уравнения (), т. е. содержит лишь тривиальный элемент группы G. Теорема доказана.

Пусть теперь в условиях предыдущей теоремы поле K само является расширением Галуа поля K с группой Галуа. Согласно утверждению. поле K1 в этом случае также является расширением Галуа поля K. Обозначим через 1 группу Галуа расширения K1 поля K.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 35 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.