WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 |

Критерий согласия Пирсона (2). Пирсон предложил критерий, по которому можно сравнивать ряды частот m (можно сравнивать эмпирический и теоретический или два эмпирических ряда). Этот критерий представляет собой сумму отношений квадратов разностей между частотами эмпирического и теоретического распределения к частотам теоретического распределения, т. е. в качестве меры отклонения берется выражение, (16) где – эмпирическая частота, – теоретическая частота (, где – теоретическая вероятность появления значения x в i-м интервале).

Далее производится оценка полученного значения, для чего вычисляется вероятность того что реальное превысит полученное. Эта оценка производится с помощью специальных формул или таблиц.

Схема применения критерия Пирсона ( ) следующая: определяется мера расхождения, определяется число степеней свободы r как число интервалов (k) минус число наложенных связей. Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при вычислении теоретических частот, то есть показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты (например, в предыдущей задаче для построения теоретической функции распределения использовались три параметра: сумма теоретических частот (60), а нормальный закон вычислен по среднему значению и среднему квадратичному отклонению). По r и с помощью таблиц определяется вероятность того, что величина имеющая распределение с числом степеней свободы r, превзойдет данное значение. Если эта вероятность весьма мала, гипотеза (теоретическая кривая) отбрасывается как неправдоподобная. Если же эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать не противоречащей полученным экспериментальным данным.

Задача 6. Оценить степень совпадения эмпирического распределения, полученного в задаче 4, с нормальным распределением, пользуясь критерием Пирсона. Расчет сведен в табл. 6.

Таблица 42 – 43 2 0,047–0,01=0,037 2,2 –0,2 0,04 0,43 – 44 9 0,155–0,047=0,108 6,5 –2,5 6,25 0,44 – 45 11 0,36–0,155=0,205 12,3 –1,3 1,69 0,45 – 46 15 0,62–0,36=0,26 15,6 –0,6 0,36 0,46 – 47 12 0,834–0,62=0,214 12,8 –0,8 0,64 0,47 – 48 8 0,948–0,834=0,144 6,85 1,15 1,32 0,48 – 49 3 0,989–0,948=0,041 2,46 0,54 0,29 0, n = 60 58,7 1,В нашем примере число вариантов (интервалов) равно. При вычислении учтены три условия (число наложенных связей между теоретическим и эмпирическим законами): сумма теоретических частот равна 60, а нормальный закон вычислен по среднему значению и среднему квадратичному отклонению. Поэтому число степеней свободы.

По [1, табл.4. С.576] для значение составляет для, для.

Таким образом, для можно утверждать, что с вероятностью больше 0,8 отклонения за счет случайных факторов могут превышать полученные в опыте, т. е. совпадение теоретического и эмпирического законов удовлетворительное.

4. ПОНЯТИЕ О ДОВЕРИТЕЛЬНОМ ИНТЕРВАЛЕ Определение параметров распределения при обработке конкретной выборки (задачи 1, 2) дает так называемую точечную оценку этих параметров.

Другая выборка из той же генеральной совокупности дает точечную оценку, отличающуюся от первой. Более того, это будет происходить и при изменении объема выборки. Возникает вопрос, насколько представительно точечная оценка характеризует постоянное генеральное значение параметра. Ответ на этот i p(x) цах) p(x) n Границы m – p(x) n интервала (на граниЧастота m (m – p(x) n) F(x ) – F(x ) = вопрос дает построение доверительного интервала, т. е. интервала, про который можно сказать с заранее выбранной вероятностью, что внутри него находится генеральное значение оцениваемого параметра.

Например, построение доверительного интервала для оценки математического ожидания по результатам расчета среднего значения (точечная оценка для нормально распределенной случайной величины) при достаточно большом числе опытов можно производить в соответствии с формулой, (17) где – значения верхней и нижней границ доверительного интервала, – среднее значение случайной величины (точечная оценка математического ожидания), – точечная оценка среднего квадратичного отклонения, – объем выборки, – коэффициент, зависящий от выбранного уровня надежности (вероятности), ( – уровень значимости).

Значение при выбранной вероятности p определяется из соотношения (18) где – интеграл вероятности (функция Лапласа), а – ее аргумент, соответствующий значению функции, равному.

Таким образом, с вероятностью, называемой доверительной вероятностью, можно утверждать, что интервал, задаваемый выражением (18), перекрывает неизвестное нам, но постоянное значение (рис. 5).

Рис. 5. Доверительный интервал для оценки математического ожидания Если выборка не велика ( ), формула (17) для оценки доверительного интервала математического ожидания начинает давать значительную погрешность. Более строго его оценку можно провести с помощью выражения (19) в котором коэффициент – есть критерий Стьюдента, значение которого определяется как значением доверительной вероятности, так и числом степеней свободы, непосредственно связанным с объектом выборки (числом опытов).

Задача 7. Определить, в каких пределах находится генеральное значение при доверительной вероятности, для условий задач 1 – 3: ;

.

Коэффициент найдем как аргумент функции Лапласа, значение которой равно. Из таблиц интеграла вероятности Оценка доверительных интервалов для дисперсий по их точечным оценкам проводится по той же схеме, например, по формуле (20) где и - значения функции Пирсона, зависящие от выбранного значения доверительной вероятности и числа степеней свободы.

При этом значения и определяются следующим образом. Если исходное число элементов равно n, доверительная вероятность, то значение находится по таблицам распределения Пирсона для аргументов и а для Задача 8. Построить доверительный интервал для дисперсии по данным точечной оценки при следующих условиях:,, доверительную вероятность принять равной 0,95.



,,.

По таблицам распределения Пирсона,,,.

5. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ До сих пор мы считали, что отклонения параметров элементов случайны и взаимно независимы. В ряде случаев это условие не выполняется. Особенно часто отклонения элементов оказываются связанными между собой в микросхемах, где, как правило, используются групповые способы изготовления и все однотипные элементы, расположенные на одной подложке, изготовляются в одном технологическом процессе. При этом отклонения режимов от нормальных оказываются одинаковыми для всех элементов и вызванные отклонениями режимов погрешности будут тесно связаны.

На практике чаще всего ограничиваются изучением изменения средних характеристик одной величины при изменении другой.

Имеем, например, две величины X и Y, связь между которыми мы изучаем (например, связь между двумя резисторами, выполненными на одной подложке и входящими в один каскад). Проведена серия (25) опытов, графическое отображение результатов которых показано на рис. 6.

Рис. 6. Графическое отображение результатов серии (25) опытов При каждом значении x можно найти ряд значений y и определить их среднее значение. Можно поступить и наоборот, т. е. каждому значению y сопоставить среднее значение x.

Две случайные величины называются корреляционно связанными, если каждому значению любой из этих величин соответствует определенное распределение вероятностей другой.

Численной характеристикой условного распределения величины Y при условии будет центр этого условного распределения или условное математическое ожидание величины Y при.

Условное математическое ожидание есть функция, которая называется регрессией Y на величину X (или функцией регрессии):

(21) Уравнение называется уравнением регрессии Y на X, а соответствующий график – линией регрессии. Линия регрессии Y на X показывает, как в среднем изменяется величина Y при изменении величины X. Аналогично определяется величина регрессии X на Y:

(22) Анализируя рис. 6, нетрудно убедиться, что кривые и не совпадают.

Вообще говоря, функция регрессии может быть самой разнообразной. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением самого простого случая, когда линия регрессии прямая. Это так называемая линейная корреляция, широко применяемая на практике, когда реальную линию регрессии можно аппроксимировать прямой.

Для анализа этого случая введем понятие момента для системы двух величин X и Y.

Начальным моментом порядка K, S системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения :

(23) Центральным моментом порядка K, S системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения K-й и S-й степени соответствующих центрированных величин:

, (24) где,.

Их непосредственный расчет для дискретных величин производится по формулам:

, (25), (26) где – вероятность того, что система (X, Y) примет значения, а суммирование ведется по всем возможным значениям случайных величин X и Y.

Порядок моментов определяется суммой. В частности, первые начальные моменты определят математическое ожидание величин X и Y:

(27) (28) Совокупность математических ожиданий и представляет собой характеристику положения системы. Геометрически это координаты средней точки на плоскости, вокруг которой рассеяны точки X и Y.

Вторые центральные моменты системы, как и ранее, определят дисперсии величин X и Y:

, (29). (30) Но особую роль как характеристика системы связанных величин играет второй смешанный центральный момент:

, (31) т.е. математическое ожидание произведения центрированных величин. Его называют корреляционным моментом X и Y и обозначают как. (32) Для дискретных случайных величин корреляционный момент выражается формулой. (33) Корреляционный момент характеризует как зависимость величин, так и их рассеивание.

Можно доказать, что для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. С другой стороны, если одна из зависимых случайных величин весьма мало отклоняется от своего среднего значения (почти не случайна), корреляционный момент тоже будет мал, какой бы тесной не была зависимость между величинами. Поэтому для характеристики связи между величинами в чистом виде переходят от корреляционного момента к безразмерной характеристике:

(34) где – средние квадратичные отклонения величин X и Y. Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин X и Y. Коэффициент корреляции для независимых случайных величин равен нулю. Обратное утверждение, что некоррелированные случайные величины являются независимыми, – несправедливо.

Коэффициент корреляции характеризует линейную зависимость между случайными величинами. Она проявляется в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (убывать) по линейному закону. Коэффициент корреляции может принимать значения в пределах. (35) Случай соответствует детерминированной линейной функциональной зависимости. При говорят о положительной корреляции, при – об отрицательной. Это значит, что при при возрастании одной случайной величины другая также возрастает, при – наоборот.

Задача 9. Провести корреляционный анализ зависимости параметров двух резисторов, выполненных на одной подложке и входящих в один каскад.





Данные измерений представлены графически в виде поля корреляции (рис. 7).

Из рис. 7 видно, что с возрастанием x в среднем растет и y.

Рис. 7. Поле корреляции Это же распределение можно представить таблицей корреляции (таблица 7) в которой указаны частоты пар значений. На пересечении каждого столбца и строки дана частота, указывающая, сколько раз при данных значениях x встречались указанные значения y.

Таблица R 50–80 80–110 110–140 140–170 170–200 200–230 my, частота 65 95 x0=125 155 185 25–5 35–4 12 45– 8 5 4 y0=R2 55– 1 5 7 2 65– 1 1 mx 9 21 10 11 3 1 N=частость В табл. 7 приведены также средние значения интервалов и координаты центра распределения (с точностью до середины интервала),.

Определим коэффициент корреляции, полагая, что линия регрессии – прямая. Вычислим корреляционный момент:

.

Результаты расчета приведены в табл. 8.

Таблица i 50–80 80–110 110–140 140–170 170–200 200–65 95 x0=125 155 185 25–- - - - 35–- - - 45–- 0 0 0 - y0=j 55–- 65–- - - - Для перехода к коэффициенту корреляции необходимо знать x и y:

,, или,.

Коэффициент корреляции.

6. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ И УСТРОЙСТВ.

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ Одним из главных показателей надежности (безотказности) объекта является вероятность безотказной работы вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не наступит. Обозначим текущее время t, наработку до отказа T, вероятность безотказной работы p(t), термин «вероятность» P. При этих обозначениях сделанное определение можно записать так :

. (36) Вероятность отказа, т.е. противоположного к вероятности безотказной работы события, обозначим q(t). Тогда. (37) Как видно, функция q(t) в терминах теории вероятностей характеризует вероятность того, что наработка до отказа не превышает текущего времени t и является интегральной функцией распределения времени работы элемента. В соответствии с общими свойствами интегральной функции распределения она является неубывающей, причем q(0) = 0; q() = 1, и p(0) = 1; p() = 0.

Соответствующая (37) дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) f(t) связана с (37) обычными соотношениями:

или. (38) Поскольку исходные данные для определения показателей надежности элементов обычно определяются на основе статистических испытаний, остановимся на статистическом смысле введенных понятий, для чего рассмотрим эксперимент.

Предположим, что ставятся на наработку (т. е. одновременно включаются) N одинаковых элементов. Будем присваивать текущий номер отказавшему элементу по мере выхода каждого из них из строя, т.е. T1 момент выхода из строя (наработка до отказа) первого элемента, T2 второго и т.д. Пусть k количество элементов, сохранивших работоспособность к данному моменту времени.

Можно построить график зависимости отношения от времени. Фрагмент такого графика представлен на рис. 8. При отказе первого элемента в момент времени T1 количество сохранивших работоспособность элементов уменьшается на единицу: ;, т. е. значение отношения скачком уменьшается на и т. д. вплоть до выхода всех элементов из строя.

Рис. 8. Зависимость k/N от времени В момент времени все элементы исправны и.

Если увеличивать число взятых для испытания элементов, величина ступенек и временной интервал между ними будут уменьшаться, так что в пределе график превратится в плавно падающую кривую. В теории вероятностей доказывается, что,, т. е. это и будет функция, характеризующая вероятность безотказной работы элементов. Достаточно точное экспериментальное определение функции p(t) требует значительного числа элементов и продолжительных испытаний.

Другим важным показателем надежности элементов является средняя наработка до отказа. Ею называют математическое ожидание наработки объекта до первого отказа. По определению, математическое ожидание времени работы можно записать так:

, где плотность распределения времени работы. С учетом того, что интегральной функцией распределения времени работы является, и, используя (37), можно записать:

.

Тогда, обозначив среднюю наработку до отказа, получим:

Таким образом,. (39) Одним из показателей надежности, широко используемых для проведения практических расчетов, является интенсивность отказов, которая имеет общепринятое обозначение. Интенсивность отказов это условная плотность вероятности отказа в любой момент времени t при условии, что до этого момента отказ не возникал. Можно показать, что. (40) Интегрируя выражение (40), получим.

Потенцирование приведенного выше выражения позволяет выразить в явной форме вероятность безотказной работы через интенсивность отказов, а именно:

. (41) Исходными данными для проведения практических расчетов тех или иных характеристик надежности являются параметры, полученные по результатам статистических испытаний на надежность, проводимых обычно для массивных элементов электронной аппаратуры. Результаты этих испытаний обобщаются в параметрах законов распределения, используемых для описания выявленных статистических закономерностей. Чаще всего по результатам испытаний описывают интенсивность отказов (t) или плотность распределения времени работы f(t), который называют иногда частотой отказов.

Экспоненциальный закон надежности естественным образом вытекает из (41). Типичная экспериментальная зависимость интенсивности отказов от времени (t) для многих массовых радиодеталей приведена на рис. 9.

Pages:     | 1 || 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.