WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
501(07) № 4756 Р851 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ В Г. ТАГАНРОГЕ РУКОВОДСТВО К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО КУРСУ ОСНОВЫ НАДЕЖНОСТИ И ТОЧНОСТИ ЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ ФЭП Таганрог 2011 Кафедра конструирования электронных средств УДК 621. 382. 019. 3 (076.5) Составители: Е.Б. Механцев, С.Н. Нелина, И.В. Куликова.

В руководстве излагаются основные положения теории надежности, основанные на статистическом подходе. Рассмотрены параметры, характеризующие надежность электронных компонентов. Изложен расчет надежности систем без резерва.

Табл. 16. Ил. 19. Библиогр.: 6 назв.

Рецензент Н.А. Какурина, канд. техн. наук, доц. каф. Физики ТТИ ЮФУ 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................... 4 1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.................................... 4 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.................................................................................................. 8 3. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (ФУНКЦИЯ ГАУССА).................................................................................................................. 9 4. ПОНЯТИЕ О ДОВЕРИТЕЛЬНОМ ИНТЕРВАЛЕ........................................... 13 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ.................................... 15 6. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ И УСТРОЙСТВ.

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ.................................................................................................................................. 19 7. ВЛИЯНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ И ДЕТАЛЕЙ КОНСТРУКЦИИ (СХЕМЫ) НА ОТКЛОНЕНИЕ ВЫХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ УСТРОЙСТВА........................................................................... 8. РАСЧЕТ ДОПУСКА С УЧЕТОМ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ....... БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................................... ВВЕДЕНИЕ Задачи любой науки состоят в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. Статистика – раздел знаний, в котором излагаются вопросы сбора, измерения, обработки и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных. Возможный результат каждого из измерений есть случайная величина. Методы математической статистики используются при планировании организации производства, анализе технологических процессов, для контроля качества продукции и многих других целей. Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности случайных явлений. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки и техники: в теории наджности, теории ошибок, теории управления, теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках.

Для того чтобы можно было использовать результаты статистических исследований данных, полученных при протекании реальных процессов в дальнейшей исследовательской работе, необходимо описать их каким-либо математическим законом, выбор которого необходимо, так или иначе, обосновать. Теория вероятностей и служит для обоснования математической статистики. По сути своей статистические результаты исследования стремятся в своем пределе к выбранным теоретическим положениям при условии верного выбора.

Одним из методов исследования надежности и точности электронных средств является статистический подход в теории надежности, поэтому далее в работе будут рассмотрены основные понятия математической статистики и теории вероятности, а также их взаимосвязь.

1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Случайная величина – это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, но заранее неизвестно какое. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Случайные величины, принимающие значения, которые можно заранее (до проведения опыта) перечислить, называются дискретными. Например, число очков на гранях игрального кубика. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый числовой промежуток, называются непрерывными. Например, интервал времени от начала работы устройства до его выхода из строя.

Пусть дана случайная величина, – некоторое событие, тогда отношение (1) называют частостью события или эмпирической (основанной на измерениях) вероятностью попадания значений в данный интервал, mi – число появлений события (частота), n – общее число опытов (значений переменной).

Если известно некоторое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, то говорят, что задан закон распределения этой случайной величины.

Если известны вероятности появления каждого значения дискретной случайной величины, то соответствие между возможными значениями и их вероятностями называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины. Для дискретной случайной величины этот закон называют рядом распределения и его можно представить в виде таблицы:

xi x1 x2 … xn pi(xi) p1 p2 … pn Ряд распределения является исчерпывающей характеристикой для дискретных случайных величин. Для дискретной случайной величины функция распределения:

.

Для непрерывной случайной величины вместо вероятности используют вероятность :



, где – интегральный закон распределения или интегральная функция распределения. – самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных, так и непрерывных.

Основные свойства интегральной функции распределения:

1) ;

2) – не убывающая функция, т. е. при ;

3) ;

4) при функция распределения F(x)=0; ;

5) при функция распределения F(x)=1;.

Основными параметрами распределения являются:

1. Среднее значение. Для дискретных случайных величин:

, (2) где n – количество опытов. Для непрерывных законов распределения:

, (3) где – плотность распределения случайной величины.

2. Среднее квадратичное отклонение. Для дискретных случайных величин:

(4) Для непрерывных законов распределения:

. (5) Аналогично ряду распределения дискретной случайной величины можно построить таблицу для непрерывного распределения параметра, в этом случае вместо дискретных значений приводятся интервалы значений и частоты попаданий в соответствующий интервал (k – число интервалов):

x x1- x2 x2- x3 … xi- xi+1 … xk -xk+m m1 m2 … mi … mk Практическое построение одномерных функций распределения случайных величин проводится на основании записанных (измеренных) значений случайной величины. Запись удобнее производить столбцами по 10 значений в ряд в порядке проведенных измерений. По таблице зарегистрированных значений находим наименьшее и наибольшее значения и. Разность между ними носит название размаха варьирования отдельных значений и обозначается как (6) Определив, далее обычно разбивают размах варьирования на равные интервалы. На практике числом интервалов приходится задаваться. Ширина интервала должна способствовать выявлению основных черт распределения и сглаживанию случайных колебаний. Часто число интервалов берут 7 – 11, в зависимости от числа наблюдений и точности измерений, с таким расчетом, чтобы в каждый интервал попало достаточное число значений величины. Формула для приближенного расчета количества интервалов:

. (7) Ширина интервала не должна быть меньше цены деления измерительного инструмента. Далее размах R делится на заданное число интервалов, и таким образом получают ширину интервала d.

Для того чтобы избежать совпадения наибольшего и наименьшего значений отсчетов с границами интервалов, рекомендуется отступить на половину интервала вправо и на половину интервала влево от верхнего и нижнего предела варьирования. Граничные значения промежуточных интервалов получаются путем прибавления к началу каждого интервала полной ширины интервала d.

Если при построении границы интервалов совпадают с некоторыми значениями, полученными при измерениях, то данное значение вносится в интервал, с нижней границей которого совпадает значение.

Задача 1. Построить функцию распределения емкости конденсатора по данным замера серии из 60-ти конденсаторов (табл. 1).

Таблица 44,0 43,1 44,0 45,5 47,2 45,1 47,1 45,4 43,6 45,45,6 44,2 43,6 44,0 45,9 42,6 43,4 44,3 44,0 47,46,4 47,3 45,6 46,0 43,1 44,2 42,6 43,1 45,9 46,43,0 48,5 48,7 45,0 48,2 46,7 46,5 46,4 47,3 46,45,6 43,4 46,7 45,4 46,6 45,9 46,2 46,7 44,3 44,44,0 47,1 47,8 46,2 45,4 45,0 45,4 43,4 44,7 47,, Размах варьирования:.

Согласно формуле (7) число интервалов. Для того чтобы избежать совпадения наибольшего и наименьшего значений отсчетов с границами интервалов, отступим вправо и влево от верхнего и нижнего предела варьирования на :. Тогда ширина интервала.

Расчет сведен в таблицу 2. Функция распределения емкости конденсатора по данным задачи приведена на рис. 1.

Таблица xi ср Интервал Частота mi Частость pi xi ср· pi 42,5 42 – 43 2 0,0333 1,43,5 43 – 44 9 0,1500 6,44,5 44 – 45 11 0,1835 8,45,5 45 – 46 15 0,2500 11,46,5 46 – 47 12 0,2000 9,47,5 47 – 48 8 0,1332 6,48,5 48 – 49 3 0,0500 2, mi = 60 pi = Рис. 1. Функция распределения емкости конденсатора Задача 2. Определить параметры распределения * и по условиям задачи 1:

, где m – число интервалов, – среднее значение внутри интервала, – частость попадания значений в интервал.

При этом можно считать, что и определяются значениями и * с надежностью, определяемой следующими выражениями:

(8) (9) где n – число измерений, – коэффициент, зависящий от выбранного уровня надежности (вероятности) определения ошибки. Расчет *сведен в табл. 3.

С вероятностью, называемой доверительной вероятностью, можно утверждать, что значения и находятся в интервалах, определяемых приведенными выражениями.

При значения находятся из таблиц интеграла вероятностей с помощью соотношения.

Например:

при при при.

Таблица 42,5 3,04 9,24 0,0333 0,43,5 2,04 4,16 0,1500 0,44,5 1,04 1,08 0,1835 0,45,5 0,04 0,0016 0,2500 0,46,5 0,96 0,922 0,2000 0,47,5 1,96 3,84 0,1332 0,48,5 2,96 8,72 0,0500 0, 2,Задача 3. Определить, в каких пределах лежат истинные значения с доверительной вероятностью для условий задач 1 и 2.

Из таблиц интеграла вероятностей, 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Как известно из разд. 1, по данным измерений непрерывных случайных величин так же, как и для дискретных случайных величин можно построить статистическую интегральную функцию распределения величины (соответствие частоты событий в данной выборке заданным интервалам).

Если взять в качестве точек кривой границы интервалов, которые фигурируют в статистическом ряду, то (10) Таким образом, интегральная функция распределения, определенная статистически, представляет собой «накопленную эмпирическую частость».





Ломаная линия, соединяющая точки такой кривой, называется кумулятивной кривой.

Задача 4. Построить эмпирическое интегральное распределение (кумулятивную кривую) по данным задач 1, 2. Расчет сведен в таблицу 4. Эмпирическое интегральное распределение показано на рис. 2.

Таблица Интервал Частость Pi Накопленная частость 42 - 43 0,0333 0,43 - 44 0,1500 0,44 - 45 0,1835 0,45 - 46 0,2500 0,46 - 47 0,2000 0,47 - 48 0,1332 0,48 - 49 0,0500 1, Рис. 2. Эмпирическое интегральное распределение (кумулятивная кривая) 3. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (ФУНКЦИЯ ГАУССА) Из теоретических распределений рассмотрим одно из наиболее распространенных и важных практически распределений – нормальное распределение. Оно задается функцией Гаусса, (11), (12) где – отклонение от центра группирования ( – математическое ожидание), – среднее квадратичное отклонение. Функция Гаусса показана на рис. 3, а.

Нормальный закон распределения используется настолько часто, что для него составлены таблицы. Поскольку в этот закон входят два параметра: математическое ожидание ( ) и дисперсия (2), сочетаний этих параметров может быть великое множество. Поэтому составлена таблица для так называемого нормированного нормального закона, для которого,. В этом случае интегральная функция представляет собой интеграл Лапласа и имеет специальное обозначение. (13) б) а) Рис. 3. Функция Гаусса (а) и ее интегральное представление (б) Если нужно определить значения функции распределения для ненормированного нормального закона, пользуются соотношением (если известны и ). (14) Одним из важных вопросов, возникающих на практике, является степень соответствия теоретического и экспериментального (полученного эмпирически) распределения.

Допустим, что построенную по выборке статистическую функцию распределения мы сгладили с помощью некоторой гипотетической функции распределения. Возникает вопрос: а верна ли гипотеза о том, что функция распределения именно, а не какая-либо другая Точнее, не противоречит ли гипотеза о выбранном законе распределения результатам эксперимента Чтобы ответить на этот вопрос, пользуются критериями согласия.

Под критерием согласия понимают некоторую величину, которая отражает количественную меру расхождения гипотетического F(x) и эмпирического распределений. Эту величину можно выбрать многими способами, в соответствии с которыми получаются и различные критерии проверки интересующей нас гипотезы.

Схема применения критерия согласия следующая. Возьмм настолько малым, чтобы осуществление события с вероятностью можно было считать практически невозможным в единичном опыте. Зная закон распределения случайной величины, найдем ее возможное значение из уравнения. По данной выборке вычислим значение критерия согласия. Если окажется, что, то это значит, что произошло практически невероятное событие. Следовательно, эксперимент опровергает нашу гипотезу, и она отбрасывается. При этом вероятность того, что мы отбросили верную гипотезу, равна. Если, то гипотеза не противоречит эксперименту и должна быть принята. Число называется уровнем значимости критерия.

Критерий согласия Колмогорова дает возможность получить общую оценку отличия статистического интегрального закона распределения от теоретического значения закона распределения. За меру этого отличия берется максимальное значение абсолютной величины их разности (15) Для проверки гипотезы по критерию согласия Колмогорова необходимо построить функции распределения для теоретического и статистического интегрального закона распределения, определить максимальное значение модуля разности между ними D и найти. После этого следует определить по специальной таблице [2] вероятность. Малая вероятность свидетельствует о неприемлемости теоретической функции.

Таким образом, задаваясь пределами отклонения, можно при определенном числе экспериментов n найти вероятность невыхода за выбранные пределы относительно.

Схема применения критерия Колмогорова следующая: строятся статистическая и предполагаемая теоретическая функции распределения, определяется максимум D модуля разности между ними, определяется величина и по таблице находится Критерием согласия Колмогорова можно пользоваться для больших.

Задача 5. Оценить степень совпадения эмпирического распределения, полученного в задаче 4, с нормальным распределением, имеющим, определенными в задачах 1, 2 пользуясь критеи риями Колмогорова. Для удобства расчетов все необходимые материалы сводятся в табл. 5.

Таблица Теоретическое расЭмпирическое распределение Сравнение пределение № инт.

0 –2,34 0,0107 0,1 42 – 43 2 0,0333 0,0333 –1,68 0,047 0,2 43 – 44 9 0,1500 0,1833 –1,02 0,1539 –0,3 44 – 45 11 0,1835 0,3668 –0,357 0,3594 –0,4 45 – 46 15 0,2500 0,6168 0,304 0,6179 0,5 46 – 47 12 0,2000 0,8168 0,97 0,8340 0,6 47 – 48 8 0,1332 0,9500 1,63 0,9484 –0,7 48 – 49 3 0,0500 1,000 2,29 0,9893 –0, 60 Значения функции теоретического распределения находятся по таблице [1, табл. 1. С. 561]. Графики функций теоретического и статистического распределения приведены на рис.4.

i тость тервала Частость Частота m Накоп. часГраницы инСопоставление и дает. Положим По таблице [1, табл.7.6.1. С.157] найдем, т. е. совпадение практически идеальное.

Рис. 4. Эмпирическое (статическая кривая) и нормальное (теоретическая кривая) распределение Сопоставление и дает. Положим По таблице [1, табл.7.6.1. С.157] найдем, т. е. совпадение практически идеальное.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.