WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

end end end % Вывод графиков по слоям по оси Z for s=1:S figure mesh(Y,X,T(:,:,s)) grid on xlabel('y, m') ylabel('x, m') zlabel('T, K') axis([min(Y) max(Y) min(X) max(X) (min(min(min(T)))) max(max(max(T)))]) pause (0.1) end % Вывод 3D графика figure slice(Y, X, Z, T, [Y(fix(3*J/4))], [X(fix(3*I/4))], [Z(fix(S/2))], length(X)) grid on colorbar xlabel('y, m') ylabel('x, m') zlabel('z, m') title('T, K') Рисунок 10 – Распределение температуры в трехмерной структуре Руководство к выполнению лабораторной работы № «Решение двумерного нестационарного уравнения теплопроводности» Рассмотрим в качестве примера задачу нахождения распределения температуры в однородной балке с прямоугольным поперечным сечением при нагреве (стационарный случай рассмотрен во 2 лабораторной работе). На границах сечения балки зададим граничные условия 1 рода – температуру Tenv. Данная задача будет двумерной и нестационарной.

Для однородной среды, двумерной и нестационарной задачи с учетом граничных и начальных условий в декартовой системе координат система уравнений будет иметь вид:

T(x, y, 0) = Tenv;

T y. t) = Tenv;

(0, T(Lx, y, t) = Tenv;

T 0, t) = Tenv;

(x, (17) T Ly, t) = Tenv;

(x, c T(x, y, t) k 2T(x, y, t) + 2T(x, y, t) = f y).

(x, - t x2 y В конечно-разностном виде система уравнений (17), на равномерной сетке с шагом x, y и t для будет следующей:

Ti, j,n = Tenv, i = 1KI, j = 1KJ, n = 1;

i, j,n T = Tenv, i = 1, j = 1KJ, n = 2KN;

Ti, j,n = Tenv, i = I, j = 1KJ, n = 2KN;

T = Tenv, i = 2KI -1, j = 1, n = 2KN;

i, j,n i, j,n T = Tenv, i = 2KI -1, j = J, n = 2KN;

(18) Ti, - Ti, Ti - 2Ti, + Ti c j,n j,n-1 k +1, j,n j,n -1, j,n + - t x j +1,n j,n j + Ti, - 2Ti, + Ti, -1,n - fi, j,n, = y i = 2KI -1, j = 2KJ -1, n = 2KN;

где I, J, N– количество точек по координатам x, y и времени, соответственно.

Стоит обратить внимание, что вектор-столбец переменных T должен имеет размерность 1 IJN, а в системе уравнений (17) размерность матрицы неизвестных I J N. Прежде чем выписывать коэффициенты матрицы A необходимо перенумеровать точки. Введем новый индекс l, который будет изменятся от 1 до L = NIJ, а выражения для пересчета индексов будут иметь следующий вид:

i, j, n l = i + ( j -1)I + (n -1)IJ i +1, j, n l = l +1 = i +1+ ( j -1)I + (n -1)IJ i -1, j, n l = l -1 = i -1+ ( j -1)I + (n -1)IJ, (19) i, j +1, n l = l + I = i + jI + (n -1)IJ i, j -1, n l = l - I = i + ( j - 2)I + (n -1)IJ i, j, n -1 l = l - IJ = i + ( j - 2)I + (n - 2)IJ Система уравнений (18) представляет собой СЛАУ, матрица коэффициентов А и вектор столбец B которой, будут иметь вид:

i = 2KI -1, j = 2KJ -1, n = 2KN, c 2 A(l,l) = - k + t x2 y2, k k A(l,l +1) =, A(l,l -1) =, x2 x (19) k k A(l,l + I) =, A(l,l - I) =, y2 yc A(l,l - IJ ) = -, t B(l,l) = fi, j,n;

A(l,l) = 1, B(l) = Tenv : i = 1KI, j = 1KJ, n = A(l,l) = 1, B(l) = Tenv : i = 1 j = 1KJ, n = 2KN;

A(l,l) = 1, B(l) = Tenv : i = I j = 1KJ, n = 2KN;

A(l,l) = 1, B(l) = Tenv : i = 2KI -1, j = 1 n = 2KN;

A(l,l) = 1, B(l) = Tenv : i = 2KI -1, j = J n = 2KN.

Ниже приведен один из вариантов кода программы, позволяющий решить СЛАУ (19) и вывести результаты решения, которые приведены на рисунке 12 и 13.

close all clear all % Решение уравнения теплопроводности k=120; % коэффициент теплопроводности Si (Вт/м/К) ro=2330; % плотность (кг/м^3) c=800; % удельная теплоемкость Дж/(кг*К) f=-1e6; % плотность источника тепла Вт/м^Lx=20e-2;

Ly=30e-2;

Lt=300;

Tenv=300; % температура (К) % Создание геометрии I=11; % число точек по x;

J=12; % число точек по y;

S=17; % число точек по t;

dx=Lx/(I-1);

dy=Ly/(J-1);

dt=Lt/(S-1);

X=0:dx:Lx;

Y=0:dy:Ly;

time=0:dt:Lt;

% Заполнение матриц коэффициентов N=I*J*S;

a=zeros(N,N);

b=zeros(1,N);

% Начальные условия s=1;

for i=1:I for j=1:J n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J;

a(n,n)=1;

b(n)=Tenv;

end end for s=2:S for i=2:I- for j=2:J- n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J;

a(n,n) =ro*c/dt+k*2/dx^2+k*2/dy^2;

a(n,n+1)=-k/dx^2;

a(n,n-1)=-k/dx^2;

a(n,n+I)=-k/dy^2;

a(n,n-I)=-k/dy^2;

a(n,n-I*J)=-ro*c/dt;

b(n) =-f;

end end % граничные условия for j=1:J i=1;

n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J;

a(n,n) = 1;

b(n) = Tenv;

i=I;

n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J;

a(n,n) = 1;

b(n) = Tenv;

end for i=2:I- j=1;

n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J;

a(n,n) = 1;

b(n) = Tenv;

j=J;

n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J;

a(n,n) = 1;

b(n) = Tenv;

end end % Решение СЛАУ TT=b/a';

T=zeros(I,J,S);

Ttime=zeros(1,S);

for s=1:S for i=1:I for j=1:J T(i,j,s)=TT(i+(j-1)*I+(s-1)*I*J);

end end end for s=1:S figure meshc(Y,X,T(:,:,s)) grid on xlabel('y, m') ylabel('x, m') zlabel('T, K') axis([min(Y) max(Y) min(X) max(X) (min(min(min(T)))-10) max(max(max(T)))]) pause (0.1) M(s)=getframe;

end figure movie(M,5,3) for s=1:S Ttime(s)=T(ceil(I/2),ceil(J/2),s);

end figure plot(time,Ttime) grid on xlabel('t, c') ylabel('T, K') 330 320 310 300 290 0.2 0.0.15 0.3 0.15 0.0.1 0.2 0.1 0.0.05 0.1 0.05 0.0 0 x, m x, m y, m y, m а) б) 0.0.15 0.0.1 0.0.05 0.x, m y, m в) Рисунок 12. Распределение температуры в различные моменты времени.

а – в начальный момент времени, б – через 40 секунд, в – через 200 секунд.



0 50 100 150 200 250 t, c Рисунок 13.

Зависимость температуры от времени в точке с координатами (0,1 ; 0,15).

T, K T, K T, K T, K Варианты заданий 1 лабораторная работа вариант Источник тепла Граничные условия 1 T(0)= Tenv f(x) T(L) = Tenv ff (x) x L 2 T(0)= Tenv f(x) q(L)= ff (x) x L 3 T(0)= Tenv f(x) T(L) = Tenv ff (x) x 1/3L L 4 T(0)= Tenv f(x) q(L)= ff (x) x 1/3L L 5 T(0)= Tenv f(x) T(L) = Tenv ff (x) x 1/2L L 6 T(0)= Tenv f(x) q(L)= ff (x) x 1/2L L 7 T(0)= Tenv f(x) T(L) = Tenv ff (x) x 1/2L L 8 T(0)= Tenv f(x) q(L)= ff (x) x 1/2L L 9 q(0)= f(x) T(L) = Tenv ff (x) x 1/2L L 10 T(0)= Tenv f(x) T(L) = Tenv ff (x) x L 11 T(0)= Tenv f(x) T(L) = Tenv ff (x) x 1/2L L 12 T(0)= Tenv f(x) q(L)= ff (x) x 1/2L L 13 T(0)= Tenv f(x) T(L)= Th f (x) = x L 14 T(0)= Th f(x) T(L) = Tenv ff (x) x 1/2L L 15 T(0)= Tenv f(x) T(L) = Tenv ff (x) x 1/2L L 16 T(0)= Th f(x) T(L) = Tenv ff (x) x 1/2L L 17 T(0)= Tenv f(x) T(L) = Tenv ff (x) x 1/3L 2/3L L 18 T(0)= Tenv f(x) q(L)= ff (x) x 1/3L 2/3L L 19 q(0)= f(x) T(L) = Tenv ff (x) x 1/2L L 20 T(0)= Tenv f(x) q(L)= ff (x) x 1/2L L 21 T(0)= Th f(x) T(L) = Tenv ff (x) x L 22 T(0)= Tenv f(x) q(L)= ff (x) x L 2 лабораторная работа y Ly f2 fLy2 f f x 0 Lx1 Lx 1) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

2) Граничные условия:

на 1 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – q(x, y)= 0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= 0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

3) Граничные условия:

на 1 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – q(x, y)= 0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= 0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 3; Lx1 = Lx 3.

4) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= 0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= f0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

5) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – q(x, y)= 0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= 0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

6) Граничные условия:

на 1 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= 0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= 0 ; f4(x, y)= f0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

7) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= 00 ; f2(x, y)= f0 ; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

8) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= 0 ; f4(x, y)= f0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

9) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= 0 ; f2(x, y) = f0 ; f3(x, y)= 0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 3; Lx1 = Lx 3.

10) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – q(x, y)= 0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= f0 ; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= f0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

11) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – q(x, y)= 0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= f0 ; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= f0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

12) Граничные условия:

на 1 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = 0;





на 2 грани – q(x, y)= 0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y) = f0 3; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 4 ; Lx1 = Lx 4.

13) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y) = f0 2 ; f3(x, y)= 0 ; f4(x, y) = f0 2.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

14) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= 0 ; f2(x, y)= f0 ; f3(x, y)= 0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 4 ; Lx1 = Lx 4.

15) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= 0 ; f4(x, y)= f0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 5; Lx1 = Lx 2.

16) Граничные условия:

на 1 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – q(x, y)= 0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= 0 ; f2(x, y)= f0 ; f3(x, y)= 0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 2.

17) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= f0.

Геометрия:

Ly1 = 2Ly 3; Lx1 = 2Lx 3.

18) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – T(x, y) = T0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 3; Lx1 = Lx 3.

19) Граничные условия:

на 1 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – q(x, y)= 0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= 0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 2 ; Lx1 = Lx 3.

20) Граничные условия:

на 1 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – q(x, y)= 0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= 0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 5; Lx1 = Lx 5.

21) Граничные условия:

на 1 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – q(x, y)= 0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – T(x, y) = T0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – q(x, y)= 0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= 0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= f0 ; f4(x, y)= f0.

Геометрия:

Lx1 = 2Lx 3.

22) Граничные условия:

на 1 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = 0;

на 2 грани – q(x, y)= 0 при x = 0, y = 0KLy ;

на 3 грани – q(x, y)= 0 при x = 0KLx, y = Ly ;

на 4 грани – T(x, y) = T0 при x = Lx, y = 0KLy.

Источники тепла:

f1(x, y)= f0 ; f2(x, y)= 0; f3(x, y)= 0 ; f4(x, y)= 0.

Геометрия:

Ly1 = Ly 3; Lx1 = Lx 3.

3 лабораторная работа y fffLzLzLzz x 1) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y, z) = T0 при x = 0KLx, y = 0KLy, z = 0 ;

на 2 грани – T(x, y, z) = T0 при x = 0KLx, y = 0KLy, z = Lz ;

на 3 грани – T(x, y, z) = T0 при x = 0KLx, y = Ly, z = 0KLz ;

на 4 грани – T(x, y, z) = T0при x = 0KLx, y = 0, z = 0KLz ;

на 5 грани – T(x, y, z) = T0 при x = Lx, y = 0KLy, z = 0KLz ;

на 6 грани – T(x, y, z) = T0 при x = 0, y = 0KLy, z = 0KLz.

Источники тепла:

f1(x, y, z)= f0 ; f2(x, y, z)= 0; f3(x, y, z)= 0.

Геометрия:

Lz1 = Lz 3; Lz2 = Lz 3; Lz3 = Lz 3.

2) Граничные условия:

на 1 грани – q(x, y, z) = 0 при x = 0KLx, y = 0KLy, z = 0 ;

на 2 грани – T(x, y, z) = T0 при x = 0KLx, y = 0KLy, z = Lz ;

на 3 грани – T(x, y, z) = T0 при x = 0KLx, y = Ly, z = 0KLz ;

на 4 грани – q(x, y, z)= 0 при x = 0KLx, y = 0, z = 0KLz ;

на 5 грани – T(x, y, z) = T0 при x = Lx, y = 0KLy, z = 0KLz ;

на 6 грани – T(x, y, z) = T0 при x = 0, y = 0KLy, z = 0KLz.

Источники тепла:

f1(x, y, z)= f0 ; f2(x, y, z)= f0 ; f3(x, y, z)= f0.

Геометрия:

Lx = Ly = Lz.

3) Граничные условия:

на 1 грани – T(x, y, z) = T0 при x = 0KLx, y = 0KLy, z = 0 ;

на 2 грани – q(x, y, z)= 0 при x = 0KLx, y = 0KLy, z = Lz ;

на 3 грани – T(x, y, z) = T0 при x = 0KLx, y = Ly, z = 0KLz ;

Pages:     | 1 || 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.