WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |

1.Размер (количество средств находящее в распоряжении) больших участников рынка подчиняется закону Ципфа (степенному закону распределения) с показателем ;

2. Большие объемы сделок V на рынке и изменение вследствие этого цен инструмента связаны зависимостью p ~ V ;

3.Крупные участники рынка торгуют объемами, находящимися в степенной зависимости от количества средств находящихся под их управлением V = S для некоторого > 0;

4. Частота сделок и величина транзакционных издержек предполагаются постоянными величинами:

Тогда доходность r и объемы Q сделок подчинены степенным законам распределения вида:

1 - --(1+ + ) -(1+ + ) P( r > x) ~ x = x-µ ; P( Q > x) ~ x = x-.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы при дополнительных условиях: =1 и =0,5. Тогда - ) P( r > x) ~ x-3; P( Q > x) ~ x.

1 Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 при =1. Тогда + =1.

µ Итак, кажется уже не остается сомнений, что статические законы на финансовых рынках – степенные. Однако, в 2001 году B.Le Baron показал, что распределения доходностей, которые на вид кажутся степенными, могут быть порождены смесью нормальных законов распределения, заданных на различных временных шкалах [164]. В этой работе предполагалось, что дневные доходности удовлетворяют соотношению:

R(t) = exp[ x(t) + µ] (t), где (t) - независимая нормально распределенная переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Далее функция x(t) = a1 y1(t) + a2 y2(t) + a3 y3(t) является суммой трех случайных процессов на различных временных шкалах. Процесс y1(t) - это AR(1) – процесс вида y1(t + 1) = 1 y1(t) +1(t + 1), где 1= 0:999 и 1(t) независимая гауссова переменная, подобранная таким образом, чтобы дисперсия y1(t) была равна 1. В то время как AR(1) – процесс экспоненциально убывающий, подобранное значение 1(t) имеет полупериод убывания до нуля примерно 2,7 года. Аналогично, y2 (t + 1) = 2 y2(t) +2(t + 1), где 2(t) такой процесс, что дисперсия y2 (t) равна 1, в то время как 2 =0:и y2(t) имеет полупериод убывания до нуля примерно 2,5 недели. Наконец, y3(t) независимая нормально распределенная переменная с нулевым средним и единичной дисперсией представляющей однодневные всплески волатильности.

Нормализованное правило для коэффициентов модели было выбрано в виде 2 2 a1 + a2 + a3 =1.

Коэффициенты a1,a2,, µ подбирались подгонкой под эмпирические данные, которые представляли собой значения индекса Доу за период с по 2000 годы.

Был получен удивительный результат. Оказалось, что расчетная переменная x(t) модели подчиняется степенному закону распределения с параметрами степени от 2.98 до 3.33 при агрегировании данных на промежутках от одного дня до двадцати дней.

Рассматриваемая проблема тесно связана с мультифрактальным анализом временных шкал временного ряда. Мультфрактальность временного ряда проявляется прежде всего в отсутствии самоподобия на различных временных шкалах, то есть в непостоянстве характеристик случайного процесса на разных временных интервалах. Например, изменяются такие характеристики ряда, как показатели Гельдера, постоянная Херста, показатель степени закона распределения, индекс фрактальности и др. Кроме того, можно считать ряд мультифрактальным, если указанные выше характеристики изменяются в широком диапазоне на различных временных участках ряда. Это означает, изменение во времени состояний в которых находятся финансовые рынки и соответственно степень их прогнозируемости. Примеры мультифрактальности были найдены в ряде финансовых временных рядов [116,120,158,168,170] и изучение мультифрактальных финансовых рядов является одним из «горячих» направлений исследований в области финансовой эконофизики.

Однако в экономической литературе есть ряды, которые можно признать монофрактальными. То есть их фрактальные характеристики остаются стабильными на протяжении долгого времени. К таким рядам относятся ряды урожайностей сельскохозяйственных культур [112] и погодные фьючерсы на Чикагской бирже CME.

ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ 2.1. Теория оптимального портфеля Тобина-Марковица Работы Г.Марковица [171-172] заложили основу и сыграли определяющую роль в становлении теории формирования портфеля ценных бумаг. Марковец сформулировал новый подход к выбору и формированию портфеля ценных бумаг на основе учета его ожидаемой доходности и риска.

В дальнейшем этот подход получил развитие в работах Дж. Тобина, У.

Шарпа и др. Меры оценки ожидаемой доходности финансовых активов инвестором выбираются индивидуально, наиболее же известные: метод капитализации доходов, модели нулевого, постоянного или переменного роста, метод, основанный на соотношении «цена-доход» и др.

В рамках данной теории [72] предполагается, что инвестор стремится максимизировать ожидаемую доходность портфеля при заданном уровне риска либо минимизировать риск при заданном уровне ожидаемой доходности при помощи диверсификации своих вложений. Риск в модели оценивается стандартным отклонением (что требует нормального распределения прибылей), и чем оно больше, тем рискованнее вложение в данный портфель.

Для демонстрации этого подхода, называемого «риск-доходность», применяемого для выбора наиболее желаемого портфеля из n инструментов со случайными доходностями ri и с долями xi, i=1,…,n участия i-ого инструмента в капитале портфеля, используются так называемые кривые безразличия. Кривые безразличия – это линии описывающие отношение инвестора к риску и доходности, представляющие собой двухмерный график, где по одной оси откладывается риск (мерой которого является стандартное отклонение портфеля), по другой оси вознаграждение µ (мерой P p которого является средняя ожидаемая доходность портфеля). Каждая кривая представляет собой множество равноценных портфелей соответствующих приемлемому для инвестора уровню риска и доходности.



µp B C D A p Рис. 8. График кривых безразличия инвестора Имеются следующие предположения относительно предпочтений инвестора [104]:

1. Предположение о «ненасыщаемости инвестора». То есть инвестор делающий выбор между двумя идентичными во всем, кроме ожидаемой доходности, портфелями, выберет портфель с большей ожидаемой доходностью.

2. Предположение об избегании риска инвестором. То есть при выборе между двумя идентичными во всем, кроме риска, портфелями, инвестор выберет портфель с меньшим риском.

Данные предположения выражаются в том, что кривые безразличия имеют положительный наклон и выпуклы вниз.

Таким образом, инвесторы с кривыми безразличия, изображенными на рис. 8, портфели A и B будут считать равноценными. Портфель D, имеет большее стандартное отклонение, чем портфель A при почти той же самой ожидаемой доходности и потому является менее привлекательным. В случае избегания риска, портфель, лежащий на кривой безразличия, проходящей выше и левее остальных кривых, и будет являться наиболее привлекательным портфелем. Таковым, в нашем примере, оказывается портфель C.

Задача оптимизации структуры соответствующего портфеля достижением заданной доходности µ с минимальным риском называется p задачей Марковица и имеет следующий вид (данная математическая формализация предложена Дж. Тобином):

2 T = X X min, (2.1.) P X T X µ = µP. (2.2) Выражение:

T X I = 1 (2.3) является условием нормировки искомых переменных.

* * Вектор X = (xi ) - решение задачи Марковица, определяет оптимальную структуру портфеля среди всех возможных портфелей с ожидаемой доходностью µ и - матрицей ковариаций доходностей ri p портфеля. Отметим, что аналитически эта задача минимизации непрерывной функции с двумя ограничениями решается с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа [68, 71].

Множество всех портфелей, которое можно сформировать из N ценных бумаг, называется достижимым множеством (см. рис. 9).

Портфели, являющиеся оптимальными в смысле данной задачи, Г.

Марковец называет эффективными (другое название – оптимальными) портфелями. Эффективные портфели формируют эффективное множество портфелей. На рис. 9 такое множество формирует фронт эффективных портфелей – множество между точками E и S, лежащие на верхней и левой границах достижимого множества.

Какой же портфель из этого бесконечного множества выберет инвестор Что бы ответить на этот вопрос, необходимо на множество эффективных портфелей наложить кривые безразличия конкретного инвестора (рис. 10). Среди множества портфелей, оптимальные для инвестора те, в которых происходит пересечение кривых безразличий и фронта эффективных портфелей. На рис. 10 такими являются портфели A, C, и D. Самым эффективным среди них является портфель C, поскольку он лежит на кривой, что выше и левее, кривой, на которой находятся портфели A и D.

S µp E G p Рис. 9. Достижимое и эффективное множество портфелей S µp A C D E G p Рис. 10. Выбор оптимального портфеля с учетом кривых безразличия Позже работа Марковица была дополнена исследованиями Д. Тобина [209], который включил в теорию об оптимальной структуре портфеля проблему распределения капитала между рисковыми и безрисковыми долями. Портфель, сформированный не только из рискового актива, но и безрискового, называется комбинированным. Его структура задается следующим выражением:

T x0 + X I = 1 (2.4.) где X = (x1, x2,..., xN )T - вектор, определяющий структуру рисковой части портфеля инвестора; x0 - доля безрисковых вложений.

Cтруктура оптимального в смысле «риск-доходность» портфеля будет являться решением задачи, известной как задача Тобина:

2 T = X X min, (2.5) P X T T X µ + (1- X 1)R0 = µP, (2.6.) где R0 - ставка доходности безрискового актива за один период владения; µP - ожидаемая доходность портфеля.

µp S T RE p Рис. 11. Множество оптимальных комбинированных портфелей Портфель в точке пересечений линий R0T безрискового актива и фронта эффективных портфелей называется T-портфелем. Этот портфель включает только рисковые активы, что означает, что он принадлежит множеству оптимальных портфелей, а его координаты (µT,T ) являются общими и для множества оптимальных комбинированных портфелей и для фронта эффективных рисковых портфелей. Тобин доказал, что оптимальная структура рискового портфеля единственная, причем не зависящая от склонности инвестора к риску.

Инвестор, который хочет часть капитала сохранить в безрисковых инструментах выбирает оптимальный портфель на прямой R0T. Чем больше доля безрисковых инструментов в портфеле, тем ближе к точке Rвыбирается оптимальная структура портфеля.

2.2. Портфельный анализ с учетом инвестиционного горизонта Как было показано выше построение классического портфеля Тобина– Марковица сводится либо к максимизации арифметической средней доходности портфеля (выборочного математического ожидания портфеля, включая безрисковые инструменты) и ограниченности дисперсии портфеля, либо – к минимизации дисперсии портфеля при заданном уровне средней (арифметической) доходности. Инвестор, использующий портфель с такими характеристиками, предполагает, что он будет составлять однопериодные портфели на одну и ту же сумму средств (балансировать портфель с постоянными оптимальными долями инструментов и с постоянным капиталом вначале периода) в течение многих периодов, а число прогнозных будущих периодов определяется числом предыдущих периодов, по которым вычислялась средняя доходность. При такой постановке - главное предположение – это вера в то, что числовые характеристики портфеля средняя доходность и дисперсия остаются постоянными на всем прогнозном периоде инвестирования. Мы не подвергаем в данной работе сомнению этот постулат теории Тобина-Марковица.





Но даже в традиционной постановке, к сожалению, портфель с положительной средней доходностью может быть убыточен для долгосрочного инвестора. Приведем простой пример. Пусть долгосрочный первый инвестор вкладывает единицу капитала в портфель Тобина– Марковица на два периода, а второй краткосрочный инвестор вкладывает в каждом периоде в портфель Тобина–Марковица единицу капитала сроком на один период. Предположим, что в первом периоде потери портфеля составили 50% капитала, а во втором периоде доходность портфеля составила 70% вложенных средств. Тогда в результате потери первого инвестора за два периода составили 1- 0,5*1,7=0,15, то есть 15% первоначального капитала, а прибыль второго инвестора (0,5+1,7)- 2=0,2, то есть 10% от вложенного за два года капитала.

Таким образом, максимизация арифметической средней доходности в долгосрочном периоде, состоящем из N краткосрочных периодов, не означает, что построенный портфель при любой схеме управления капиталом портфеля даст наибольший рост капитала за тот же период. Наибольший прирост капитала за N периодов без ребалансировки обеспечит портфель с максимальным средним геометрическим темпом прироста, то есть портфель для которого N N Tp = (1+ di ) -max, (2.7) i=где di доходность портфеля в i-ом периоде (положительная или отрицательная) измеренная в долях капитала в конце (i-1) -ого периода;

(1+ di )- окупаемость портфеля за i-ый период.

Следовательно, максимизация средней арифметической доходности в портфеле Марковица-Тобина: во-первых дезориентирует наивного инвестора, ожидающего в каждом периоде средний рост капитала соответствующего средней доходности; во-вторых, долгосрочный инвестор, рефинансирующий весь капитал портфеля, использующий портфель Марковица-Тобина при ребалансировке (распределения капитала в соответствии с выделенными на каждый инструмент долями) портфеля в каждом периоде, строит (на исторических данных) портфель не с максимально растущим приростом капитала, а с ростом капитала меньше максимального, так как для портфеля Марковица-Тобина не выполнено условие (1).

Далее, очевидно, что устойчивость роста капитала портфеля с учетом реинвестирования, связана не с разбросом доходностей вокруг среднего значения, а с отклонением TP - среднего темпа прироста капитала за долгосрочный период от показателя, совпадающего с темпом прироста в случае постоянного роста капитала в каждом периоде (также как для случая постоянного инвестированного капитала в каждом периоде, абсолютно устойчив портфель с нулевой дисперсией, когда все значения совпадают со средним). Так как для портфеля с постоянным темпом прироста капитала выражение (1) совпадает со средней доходностью (среднее арифметическое совпадает со средним геометрическим), то колеблемость портфеля V можно определить как отношение Tp V = 1 -. (2.8) k (1 + di ) / k i=Очевидно, что колеблемость V 0, в силу соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим конечного набора положительных чисел.

Приведем, в качестве примера, три графика отражающих зависимость колеблемости от длины N последовательности цепных индексов для положительной последовательности чисел.

Рис. 12. Колеблемость ряда цепных индексов функции f (n) = nsin(n).

Финансовая электронная библиотека www.mirkin.ru Рис. 13. Колеблемость ряда цепных индексов функции значений плотности в точке n нормального распределения с математическим ожиданием n и средним квадратическим отклонением 0,2n.

Рис.14. Колеблемость ряда цепных индексов пятиминутных значений фьючерса на индекс РТС в 2007 году 2.3 Портфели с оптимальным темпом роста капитала Сформулируем теперь оптимизационную задачу построения портфеля с оптимальным темпом роста капитала.

Пусть существует набор из k финансовых инструментов предназначаемых для использования в портфеле. Предположим, что имеется информация по N наблюдениям (обучающей выборке для построения портфеля с оптимальным темпом роста). Обозначим цену i-ого инструмента в j-ый период за dij. Тогда окупаемость (темп роста цены) i-ого инструмента в j-ый период равна di, j xij =, i = 1,...k, j = 1...N (2.9) di, j-Обозначим лi, i = 1,2...,k доли i-ого инструмента в портфеле инвестора. Тогда задача нахождения оптимального портфеля с параметрами лi, i = 1,2...,k состоит в максимизации темпа роста портфеля за исторический период, состоящий из N наблюдений при фиксированном уровне риска портфеля – отклонения среднего темпа роста капитала за один период (среднего геометрического доходностей за N периодов) от арифметической средней доходности записывается в виде:

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.