WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |

хаотическое поведение универсально и проявляется в самых разных областях, таких, например, как в механических осцилляторах, электрических цепях, химических реакциях, нервных клетках, нагреваемых жидкостях, экономических системах, в том числе, как будет показано далее, и на финансовых рынках.

Теория хаоса [34] является основным подходом к анализу так называемых маломасштабных разрывов (резких скачков), крупномасштабными разрывами занимается теория катастроф [5, 93]. Этот тип разрывов был введен Р. Томом в 1972 г. и Е. Зиманом в 1977 г.

Крупномасштабные разрывы (катастрофы) происходят в определенном состоянии переменных при изменении других, управляемых переменных, которые достигают критических бифуркационных значений. В применении к экономике теорию катастроф впервые продемонстрировал Е. Зиман в задаче о крахе спекулятивных «пузырей» на финансовом рынке. Теория катастроф предложила анализ обшей структуры крупномасштабных разрывов, но подверглась критике за отсутствие моделей, позволяющих предсказать их наступление.

Оба подхода к динамике разрывов и теорию катастроф, и теорию хаоса можно рассматривать как частные случаи более широкой категории - теории бифуркаций, поскольку внезапные изменения, разные по масштабу, возникают в бифуркационных точках, где и происходят скачки на плавных хаотических траекториях. Возможным синтезом этих подходов является порядок. Такой прием предложен И. Пригожином в 1977 г. и разработчиком синергетики Г. Хакеном в 1983 г. [101]. По их мнению, оба типа разрывов являются одновременно и большими, и малыми. Последние будут возбуждать первые при колебаниях системы вблизи крупномасштабных точек бифуркации, где будут происходить катастрофы. Таким образом, хотя хаос может возникать из катастроф в смысле последовательности переходных бифуркаций, катастрофы более высоких порядков могут, в свою очередь, возникать из хаоса.

При анализе хаотических явлений необходимы некоторые меры (критерии), позволяющие получить количественную оценку хаоса, сравнить теоретические и экспериментальные наблюдения, выявить отличие хаотического ряда от случайного.

В диссертации предлагаются два метода позволяющих на некоторых временных участках прогнозировать динамику ряда. Это метод Гельдеровых экспонент и метод оценки вероятностей состояний на основе скрытых Марковских цепей. Разрабатываемые методы тесно связаны с обнаружением временных отрезков «русел» и «джокеров» при прогнозировании временных рядов методами нелинейной динамики7.

Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики.-М.: Эдиториал УРСС, -336с.

3.2. Оценка долговременной памяти у временных рядов на основе исследования поведения дисперсии ряда Одним из основных результатов элементарного курса статистики является следующий: “Дисперсия выборочного среднего равна дисперсии одного наблюдения деленной на объем выборки”. Точнее, если x1,x2,…,xn – наблюдения с общим средним M(xi) = µ и дисперсией 2 = D(xi), тогда n D(x) = D( xi ) =. (3.1) n n i=Второй результат, изучаемый в статистике, следующий: “Генеральная средняя оценивается с помощью выборочной средней n X = x i n i=и для достаточно большой (n>30) выборки (1 - ) – доверительный интервал для M(xi) = µ задается формулой:

X ± zq, (3.2) n если 2 – известно, и X ± zqS, (3.3) n если 2 – требует оценки.

n В формулах (2), (3) S = (xi - x)2 - исправленная выборочная n -1i=дисперсия и zq – верхний (1 - /2) – квантиль стандартного нормального распределения. Часто, предположения, для которых справедливы формулы (1) – (3) считаются само собой выполненными. Однако, насколько надежны эти формулы оказываются при использовании их на практике Будет ли формула (1) хорошим приближением для дисперсии среднего, а (2), (3) действительно содержит с вероятностью (1 - ) настоящее значение генеральной средней µ Рассмотрим набор простых условий, при которых формула (1) справедлива.

1) Генеральная средняя M(xi) = µ существует и конечна.

2) Генеральная дисперсия 2 = D(xi) существует и конечна.

3) x1,x2,…,xn – некоррелированные случайные величины, то есть ( i, j ) = 0, i j;

M[(xi - µ)(x - µ)] (i, j) j ( i, j ) = =, (3.4) 2 ( i, j ) – коэффициент корреляции между xi и xj.

Если (i, j) = 0, то формула (1) верна, так как i j n n n 2 (i, j) = (i,i) = = n, i, j=1 i=1 i=что и требовалось. Если же (i, j) 0, i j то 1 2 D(X ) = [1+ n ] / n = [1+ (i, j)]. (3.5) n n i j Если ( i, j ) зависит только от k = i - j, тогда формула (5) упрощается n-k n = 2 (1 - )(k). (3.6) n k =Говорят, что процесс стационарен, если M(xi) = µ - const, и ( i, j ) = ( i - j ) = ( k ).

Рассмотрим, для начала, AR(1)-процесс, то есть процесс авторегрессии первого порядка:

Xi = aXi-1+i, a(-1,1) (3.7) c независимыми приращениями t, которые нормально распределены с нулевым средним и постоянной дисперсией. Тогда, легко видеть, что ( i, j ) = ( i - j ) = ai - j. (3.8) Отсюда получаем n n n-1 k i- j D(X ) = (i, j) = n-2 [ 1 + a ] = [1 + 2 (1 - )ak ].

n n ni, j=1 i=1 i j i=Последняя формула переписывается в виде D(X ) = (1+ n) / n, (3.9) где n-1 n-1 n- 2 a - an 2a n = 2 ak - kak = 2 - kak -1 = n 1 - a n i=1 k =1 k = 2a 2a (1 - nan-1)(1 - a) + a - an = (1 - an-1)- = 1 - a n (1 - a) 2a 1 - an-1 - 1 + an + an-= = 1 - a n(1 - a) n(1 - a) 2a 1 - 1 + an.

= 1 - a n(1 - a) n(1 - a) Следовательно, для больших выборок имеем, 2 D(X ) [1+ (a)]/ n = c(a) / n, (3.10) где 2a (a) =, c(a) = 1+ (a).



1 - a В таблице 9 показывается, что если a близко к единице (то есть мы приближаемся к случаю единичного корня), то 2/n - плохая аппроксимация дисперсии D(X ). В этом случае надо уметь оценивать c(a) = 1+ (a). Сильную зависимость между соседними наблюдениями можно наблюдать, если, во-первых, соседние наблюдения близкие (a – близко к единице), и, во- вторых, если соседние наблюдения меняют свое положение относительно общей средней (a -1).

Таблица 9.

a -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,c(а) 0,11 0,25 0,43 0,67 1 1,5 2,23 4 Важно заметить, что за исключением множителя с(а) формула (3.1) не претерпела изменений. Дисперсия X продолжает быть пропорциональной 1/n. Тот же результат будет справедлив, если следующий предел () = lim n () = lim (i, j) (3.11) n n n i j существует, конечен и больше, чем -1. В этом случае 2 D(X ) (1 + ())/ n = c())/ n. (3.12) Хорошо известные модели временных рядов демонстрируют именно такое поведение. Это, в частности, модели авторегрессии – скользящего среднего (АРСС - модели). Формула (3.12) является обобщением формулы (3.1) и позволяет константе c() быть отличной от единицы. Является ли это обобщение достаточным В принципе, константа c() может быть сделана любым положительным числом. Поэтому можно было бы предположить, что формула (3.12) достаточна для всех приложений. Однако, для некоторых временных рядов, дисперсия D(X ) отлична от формулы (3.1) не только за счет константы c(), но и за счет скорости, с которой D(X ) стремится к нулю при n.

Так как есть только конечное число наблюдений, то невозможно доказать со 100% уверенностью, что D(X ) 0 медленнее, чем 1/n. Для данного n есть всегда соответствующая константа с, такая, что D(X )= с/n.

Однако, если брать выборки возрастающего объема, и константы с для этих выборок увеличиваются, то этот факт сигнализирует о том, что предположение о равенстве D(X )= с/n неверно. В этом случае модель, например, АРСС-модель, будет плохо вести себя на проверочной последовательности, а число параметров модели будет велико.

Следовательно, важно правильно определить степень убывания D(X ) к нулю. Предположим, что D(X ) c())/ n, (0,1), (3.13) где c() = lim n -1 (i, j). (3.14) n i j Если (i, j) = (i - j), то, чтобы было выполнено (3.13), потребуем справедливость оценки n-1 n-k n-1 (i, j) = 2(1- )(k) < (k) const *n1-. (3.15) n i j k =1 k =-(n-1) Если < 1, то k = (k) =. (3.16) k =Или, в частном случае, (3.16) выполнено, если (k) c (k) k, (3.17) при k, и с - конечная положительная константа.

Интуитивно ясно, что если выполнено (3.17) или (3.16), то изучаемый процесс имеет долговременную память. Зависимость между событиями медленно гаснет с увеличением расстояния по времени между ними.

Рассмотрим спектральную плотность такого процесса f ( ) = ( k )eik, k = (3.18) тогда из (3.17) вытекает, что -f () c k eik, и f () c f k = при 0, сf – положительная константа.

Если < 1, то спектральная плотность стремится к бесконечности в начале координат, то есть имеет полюс в нуле. Для АРСС- процессов стремление к нулю автокорреляций экспоненциальное, то есть (k) bak, 0 < k <.

Следовательно, k = (k) <.

k =Ранее это было показано для АР(1)- моделей. Можно заметить, что различие - k между n и D(X ) при (k) = a несущественное для малых a, и становится существенным при a 1. Если же предполагать, что - -0,(k) = k, то различие между n и D(X ) становится существенным уже при малых (см. таблицу 10). В таблице 10 приведены - отношения n / D(X ).

Таблица 10.

k n = 50 n = 100 n = 400 n = ( k ) = a a = 0,1,108 1,107 1,106 1,a = 0,1,755 1,744 1,735 1,a = 0,4,475 4,451 4,410 4,-0,2,007 2,526 4,197 5,( k ) = 0,1k -0,4,018 5,283 9,169 13,( k ) = 0,5 k -0,5,316 7,032 12,269 17,( k ) = 0,9 k - Отметим, что в рядах с долговременной памятью различие между n и D(X ) возрастает также с ростом n, а не только с ростом коэффициента -0,при k.

3.3. Методология расчета локальных Гельдеровых экспонент и анализ их флуктуаций в предкризисный период Расчет характеристик мультифрактальности является одним из основных в данной теории. Как уже отмечалось, новая методология расчета индекса волатильности по сравнению с расчетом классической константы Херста дала возможность значительно продвинутся в изучении фрактальных временных рядов за счет уменьшения числа необходимых для расчета характеристик наблюдений.

Расчет Гельдеровых локальных экспонент осуществляется согласно следующему алгоритму. Пусть Y (t) значение финансового инструмента в момент времени t. Определим функцию X (t,t) формулой X (t,t) = (lnY (t + t) - lnY (t))2. (3.19) Далее разобьем временной интервал [0,T ] на n частей длины t и определим выборочную сумму Zq (T,t)формулой:

q N -Zq (T,t) = X (i t,t) (3.20) i=Далее определим для выборочной суммы Z(T,t) скейлинговую функцию (q) :

ln Zq (T,t) (q) = lim (3.21) ln t tВесь спектр фрактальных размерностей для логнормального квадрата доходности X (t,1) на некотором единичном временном промежутке рассчитаем по формуле:

(q) Dq =. (3.22) q -Наконец, дифференцированием скейлинговой функции (q) получаем локальный показатель Гельдера:

d (q) =. (3.23) dq Прежде всего вычисление локального показателя Гельдера позволяет определить является ли временной ряд монофрактальным (в случае постоянства показателя ) или мультифрактальным (в случае переменного ). Для монофрактальных рядов функция (q) очевидно имеет линейный характер поведения, а Dq D0 для некоторого q. Мультифрактальный характер временного ряда означает, что X (t,t) ~(t) (t). Для геометрического броуновского движения (t) = В работе И.А.Агаева и Ю.А.Куперина [120] изучалась связь между кризисами и поведением локальных Гельдеровых экспонет на двух рынках:





американском рынке акций (DJLA индекс) на двух периодах: с 1980-1988 гг и на 1995-2002гг и на российском валютном рынке (обменный курс RURUSD) за 1992-1993 гг и за 1994-1999 годы. Расчеты проводились с помощью модуля Fraclab – модуля свободно распространяемой программы научных вычислений Scilab. Существуют и более точные алгоритмы расчета локальных Гельдеровых констант (см. отчет «Multifractal Description of Resource Exhaustion Data in Real Time Operating System» М.Shereshevsky, J.

Crowell and B. Cukic, July 2001. (Технический отчет по проекту“Fractal Analysis of Resource Exhaustion in Real Time Operating System”).

Финансовая электронная библиотека www.mirkin.ru Рис. 21. Логарифмы цен DJIA (верхний график) и соответствующие Гельдеровы экспоненты (нижний график) за период 1980-1988 гг.

Рис.22. Логарифмы цен DJIA (верхний график) и соответствующие Гельдеровы экспоненты (нижний график) за период 1995-2002 гг.

Рис.23. Логарифмы обменного курса RUR-USD) за 1992-1993 гг и локальные Гельдеровы экспоненты. Вертикальные линиии выделяют кризисные периоды.

Рис.24. Логарифмы обменного курса RUR-USD) за 1994-1999 гг и локальные Гельдеровы экспоненты. Вертикальные линиии выделяют кризисные периоды Легко заметить, что кризисные периоды на всех графиках можно предсказать: перед кризисом происходит крутой сравнительно кратковременный подъем Гельдеровой экспоненты до уровня дифференцируемости (до единицы и выше), а затем в графике Гельдеровой экспоненты отмечается характерный плоский отрезок на уровне ниже среднего значения. В этот период и происходят кризисные явления – падение стоимости акций и резкие падения курса рубля.

3.4. О пределах и возможностях прогнозирования временных рядов в естественных науках, природе и экономике Очевидно, что временные ряды, порожденные решением дифференциального уравнения с условием единственности и устойчивости, будут полностью предсказуемы. То есть мы можем точно определить значение ряда t+t по его значению в момент времени t. С вероятностной точки зрения это похоже на дельта функцию – по одному направлению вероятность движения 1, по остальным равна нулю.

Это одна крайняя точка в возможностях предсказания рядов, которая в моем интуитивном представлении ассоциируется с законами классической механики.

На другом противоположном конце наших возможностей предсказания находится временной ряд со случайными независимыми приращениями. В этом случае возможности прогнозирования будущего поведения ряда практически нулевые, за исключением случаев, когда что-то известно о распределении независимых приращений и можно оценить дисперсию разброса значений за время t. В этом случае можно считать, что вероятности движения временного ряда в различных направлениях (например, вверх или вниз, или если речь идет о вложении ряда в пространство состояний более высокой размерности) то вероятности движений в различных направлениях фазового пространства одинакова.

Что находится в промежутке этих крайних точек на условном отрезке степени предсказуемости:

А) решение линейной динамической системы с шумами. Предсказание таких систем хорошо известно из классической теории фильтрации (фильтр Калмана с минимальной дисперсией погрешности).

Б) временной ряд, который образуется динамической системой с хаотическим аттрактором, например, с атрактором Хенона. Тогда, в некоторые периоды, когда мы двигаемся внутри аттрактора, будущее направление движения не определено, но когда мы находимся вблизи границы аттрактора, можно указать направления, по которым изменения временного ряда маловероятно. То есть появляются зоны частичной предсказуемости поведения временного ряда. Будем называть такие ряды рядами с детерминированным хаосом. Эти ряды характеризуются стабильностью ряда числовых показателей принятых в нелинейной динамике. Таким, например, как показатель Херста или корреляционной размерности. Такие временные ряды или близкие к ним, с небольшой стохастической компонентой можно наблюдать при изучении природных явлений, стоках рек, в рядах осадков и температур, рядах урожайностей после соответствующих преобразований. К таким рядам можно применять методы кластерного и дискриминантного анализа для определения вероятных движений ряда внутри фазового пространства. Причем, в данном случае, наблюдается картина аналогичная принципу неопределенности квантовой механики; чем выше требования к точности и регулярности прогноза, тем вероятнее становится ошибочное предсказание. (под регулярностью прогноза понимается доля или процент тех моментов времени t, в которых может осуществляться прогноз) Поддаются фрактальному анализу, вычисляются показатели Херста (>0,5) и стабилизируется корреляционная размерность в рядах урожайностей, осадков и температур. Поэтому, с нашей точки зрения, здесь остаются перспективными методы распознавания образов, такие как дискриминантный и кластерный анализ.

Следующие по сложности предсказания ряды –это ряды, названные нами частично детерминированными.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.